線形空間の基本

一般に，線型空間Vのベクトルv₁,v₂,……,vₙが(1)Vを生成し(2)全て線形独立であるとき，組(v₁,v₂,……,vₙ)をVの基底といいます．この記事では，基底であることの定義・具体例を説明し，基底による線形結合の一意性も証明します．

線形空間V上のいくつかのベクトルv₁,v₂,……,vₙの線形結合で表されるベクトル全部の集合は線形部分空間となり，この線形部分空間を「v₁,v₂,……,vₙにより生成される部分空間」などといい，span(v₁,v₂,……,vₙ)と表します．

ベクトルv₁,v₂,……,vₙたちのスカラー倍と和で表されるベクトルを線形結合と言います．また，v₁,v₂,……,vₙの線形結合で零ベクトルを作るために係数を全て０にするしかないとき，v₁,v₂,……,vₙは線形独立であると言います．

線形空間Vの部分集合UがVの和とスカラー倍について閉じているとき，UをVの線形部分空間といいます．この記事では線形部分空間の定義と証明のテンプレートを紹介し，基本性質を証明します

集合ℝ²上の和とスカラー倍は，交換法則や分配法則などの「よい性質」を満たします．ℝ²以外の集合上でも「よい性質」をもつ和とスカラー倍を備えた空間を「線形空間」といい，ℝ²と同様に扱うことができます．