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集合論一覧

ハメル基底とf(x+y)=f(x)+f(y)をみたす関数

1つ問題を考える.aを実数として,f:\R\to\R;x\mapsto axで定まる関数fが等式

    \begin{align*} f(x+y)=f(x)+f(y) \end{align*}

をみたすことは簡単に分かるが,逆にこの等式を満たす関数f:\R\to\R

    \begin{align*} f(x)=ax\quad(a\in\R) \end{align*}

の形のものに限るだろうか?

実は,Hamel(ハメル)基底というものを用いれば,f(x+y)=f(x)+f(y)を満たすがf(x)=axの形をしていない関数f:\R\to\Rの存在を示すことができる.

この記事では,

  • Hamel基底を説明し,
  • f(x+y)=f(x)+f(y)をみたす関数f:\R\to\R

を考える.

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[ベクトル空間の基底]と[ハメル基底]の存在の証明

Zorn(ツォルン)の補題は選択公理と同値な存在定理であり,Zornの補題を用いることで様々なものの存在を証明することができる.

例えば,この記事で扱う

  • ベクトル空間における基底
  • Hamel基底

の存在は両者ともZornの補題によって証明することができる.

なお,Hamal基底のイメージなどについては以下の記事でも説明しているので参照されたい.

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