無理数は有理数よりも多い？｜対角線論法による濃度差の証明

たとえば

$\frac{2}{3}=0.66666\dots$
$-\frac{1}{5}=-0.20000\dots$

のように，(整数)/(整数)の形で表せる数のことを有理数といい，有理数は必ず循環小数で表すことができるのでした．

逆に循環小数も必ず(整数)/(整数)の形で表せるので，循環小数は有理数でもあるのでした．

一方，有理数でない（循環小数で表せない）実数のことを無理数といいます．

義務教育下では有理数は小学校以来扱ってきますが，無理数は中学数学で２次方程式を解くために導入される平方根に関連して$\sqrt{\quad}$が現れるのが最初でしょう．

ここで次の問題を考えます．

無理数と有理数はどちらの方が多いか？

実は数学には「モノの多さ」を計る指標として濃度というものがあり，この濃度を考えると「無理数の方が多い」と結論付けることができます．

この記事では濃度の基本的な考え方を説明し，「無理数が有理数よりも多い」ということを数学的に説明します．

集合に関する基礎知識
数学的な「個数」
対角線論法による濃度差の証明
参考文献
1. 集合・位相入門

集合に関する基礎知識

この記事を読むのに必要な前提知識を最初にまとめておきます．

集合：数学的なモノの集まり
元げん：集合に属する１つ１つの対象
部分集合：集合に含まれる集合

集合を表すには$\{\quad\}$の間に元を並べる方法が基本的で，例えば「$1$と$2$と$3$を元にもつ集合」は$\{1,2,3\}$と表し，集合$\{1,2\}$は集合$\{1,2,3\}$の部分集合というわけですね．

有限集合：元の個数が有限の集合
無限集合：元の個数が無限の集合

また，この記事を通して

$\N$：正の整数の集合$\{1,2,3,\dots\}$
$\Z$：整数の集合$\{\dots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots\}$
$\Q$：有理数の集合
$\R$：実数(数直線上の数)の集合
$\R\setminus\Q$：無理数の集合

で表します．

$\N$, $\Z$, $\Q$, $\R$は大学以降で数学を学習・研究する上で一般的な記号です．

数学的な「個数」

まずは，数学的に「個数が等しい」というのをどのように考えればよいかを考えていきましょう．

「個数」が等しいとは

例えば，

$A=\{1,2,3,4\}$
$B=\{-3,\pi,2.2,-\sqrt{2}\}$

は集合としては$A\neq B$ですが，どちらも元の個数は$4$です．このように元の個数が等しければ，例えば

$\begin{align*}\begin{matrix} 1&\longleftrightarrow&-3\\ 2&\longleftrightarrow&\pi\\ 3&\longleftrightarrow&2.2\\ 4&\longleftrightarrow&-\sqrt{2} \end{matrix}\end{align*}$

と対応付けられますね．一般に同じ個数の元を持つ２つの(有限)集合$A$, $B$があれば，$A$の元と$B$の元で過不足なく「カップル」が作れますね．

$A$の元と$B$の元で過不足なくカップルが作れることを，集合$A$, $B$は１対１に対応すると言います．

数学では「集合$A$, $B$が１対１に対応する」は「全単射$A\to B$が存在する」とも言います．

集合の濃度

いまみた例は有限集合でしたが，無限集合でも「『元の多さ』が等しいこと」を次のように定めます．

[濃度]　(有限集合とは限らない)集合$A$の「元の多さ」を濃度 (cardinality)といい，$\operatorname{card}A$と表す．とくに$A$が$n$個の元からなる有限集合のとき，$\operatorname{card}A=n$と表す．

また，集合$A$, $B$が１対１に対応するとき$\operatorname{card}A=\operatorname{card}B$と表す．

「元の多さ」というのは少々数学的ではない表現ですが，この記事ではこの表現で満足することにします．

例えば，有限集合なら

$A=\{1,2,3\}$なら，$\operatorname{card}A=3$
$B=\{2,-3,\pi,\sqrt{4},3.75\}$なら，$\operatorname{card}B=5$

といった具合ですね．

さて，「有理数と無理数でどちらが多いか」ということがこの記事のテーマでしたから，濃度の言葉で言えば

$\operatorname{card}\Q$
$\operatorname{card}{(\R\setminus\Q)}$

のどちらが大きいかを考えようというわけですね．

$\Q$は「有理数の集合」，$\R\setminus\Q$は無理数の集合なのでした．

しかし，$\operatorname{card}\Q$も$\operatorname{(\R\setminus\Q)}$も有限集合ではないので，これらの差と言われてもすぐにはピンときませんね．

可算濃度

無限集合で濃度が等しい例として，次の補題を示しておきましょう．

正の整数の集合$\N$と整数の集合$\Z$に対して，$\operatorname{card}\N=\operatorname{card}\Z$が成り立つ．

証明を表示

対応

$\begin{align*}\N\to\Z;\left\{\begin{matrix}1&\longmapsto&0\\2n&\longmapsto&n\\2n+1&\longmapsto&-n\end{matrix}\right.\end{align*}$

によって$\N$, $\Z$は１対１に対応する．ただし，$n$は正の整数である．

$\begin{align*}\begin{matrix} \N&&\Z\\ 1&\longrightarrow&0\\ 2&\longrightarrow&1\\ 3&\longrightarrow&-1\\ 4&\longrightarrow&2\\ 5&\longrightarrow&-2\\ &\vdots& \end{matrix}\end{align*}$

よって，$\operatorname{card}\N=\operatorname{card}\Z$が成り立つ．

集合としては$\N$より$\Z$の方が大きいのに，濃度が等しいのは不思議な感じがしますね．

無限集合においては一方の集合が他方の集合に含まれていても濃度が等しいことはよくありますので，このことには慣れておきましょう．

これは無限集合の面白さの理由の１つといえます．

濃度$\operatorname{card}\N$を可算濃度といい$\aleph_0$と表す：

$\begin{align*}\operatorname{card}{\N}=\aleph_0.\end{align*}$

また，濃度が$\aleph_0$の集合を可算集合または可付番集合という．

つまり，上で示したことは「$\operatorname{card}{\Z}=\aleph_0$である」「$\Z$は可算集合（可付番集合）である」などとも表現できますね．

$\aleph$はヘブライ文字で「アレフ」と読みます．また，$\aleph_0$は「アレフゼロ」と読みます．

$\N$の元と１対１に対応付けられることから，濃度が$\aleph_0$の集合$S$は「$S$の元に１から番号をつけて並べることができる」と表現することもできますね．

濃度の差

さて，濃度の大小を次のように定義することも自然ですね．

集合$A$が集合$B$の部分集合$B’$と１対１に対応付けられるとき，$\operatorname{card}A\le\operatorname{card}B$と定める．

さらに，$\operatorname{card}A\neq\operatorname{card}B$をみたすとき，$\operatorname{card}A<\operatorname{card}B$と定める．

$\operatorname{card}A\le\operatorname{card}B$かつ$\operatorname{card}A\ge\operatorname{card}B$のとき，$A$と$B$は１対１に対応します．すなわち，$\operatorname{card}A=\operatorname{card}B$が成り立ちます．

つまり，

$A$と$B$が１対１に対応しない
$A$がピッタリと対応する$B$に含まれる$B’$がある

という２つを満たすとき，$S$の濃度は$T$の濃度より大きいというわけですね．

この定義から，次のことが従います．

[無限集合の濃度]　任意の無限集合$S$に対して，$\aleph_0\le\operatorname{card}S$が成り立つ．

証明を表示

無限集合$S$から要素を１つずつ取り出し順に$a_1,a_2,\dots$と名付けていくと，$S$の部分集合$\{a_1,a_2,\dots\}$ができる．

このとき，正の整数$n$を$a_n$に対応させれば１対１対応となるから，

$\begin{align*}\aleph_0 =\operatorname{card}\N =\operatorname{card}\{a_1,a_2,\dots\} \le\operatorname{card}S\end{align*}$

が成り立つ．

この正の整数の集合$\N$の濃度を可算濃度というのでしたから，可算濃度$\aleph_0$は無限集合の中でも最小の濃度ということができますね．

厳密に証明するには選択公理というものが必要なのですが，以上の証明でも成り立つことは直感的に分かるので，この記事ではこれ以上は立ち入らないことにします．

有理数の可算性

さて，この記事の主役の１つである有理数の集合の濃度$\operatorname{card}\Q$が$\aleph_0$であることを証明しておきましょう．

有理数の集合$\Q$に対して，$\operatorname{card}\Q=\aleph_0$が成り立つ．

証明を表示

$\operatorname{card}\Z=\aleph_0$だったので，$\operatorname{card}\Q=\operatorname{card}\Z$を示せばよい．

$\Q$の元は$\dfrac{q}{p}$ ($p$, $q$は互いに素な整数，$q\geqq0$)と表せる．対応

$\begin{align*}\Q\to\Z;\frac{q}{p}\longmapsto 2^{q}(2p-1)\end{align*}$

によって$\Q$と$\Z$の部分集合は１対１に対応する．よって，$\operatorname{card}\Q\le\operatorname{card}\Z$が成り立つ．

また，$\N\subset\Q$なので$\operatorname{card}\Q\ge\operatorname{card}\Z$が成り立つ．

以上で両方の向きの不等号が証明できたから，$\operatorname{card}\Q=\operatorname{card}\Z$が成り立つ．

証明中の対応は，たとえば

$\dfrac{1}{2}\ \longleftrightarrow\ 2^{1-1}(2\cdot2-1)=3$
$\dfrac{2}{3}\ \longleftrightarrow\ 2^{2-1}(2\cdot3-1)=10$
$\dfrac{3}{5}\ \longleftrightarrow\ 2^{3-1}(2\cdot5-1)=36$
$-\dfrac{3}{5}\ \longleftrightarrow\ 2^{3-1}\{2\cdot(-5)-1\}=-36$

と対応しており，

分子を行き先の整数の素因数$2$の個数
分母を行き先の整数の素因数分解の奇数部分

に対応させているわけですね．

つまり，この証明では全ての整数が$2^{q}$×(奇数) ($q$は$0$以上の整数)の形に表せることを用いているわけですね．

いま考えたように

正の整数の集合$\N$
整数の集合$\Z$
有理数の集合$\Q$

は集合としては異なりますが，濃度が全て可算無限$\alpha_0$で等しいことは当たり前にしておきたいところです．

対角線論法による濃度差の証明

以上で「無理数が有理数より多い」ことの証明の準備が整いました．

有理数の集合$\Q$と無理数の集合$\R\setminus\Q$に対して

$\begin{align*}\operatorname{card}\Q<\operatorname{card}{(\R\setminus\Q)}\end{align*}$

が成り立つ．

このとき，$\aleph_0=\operatorname{card}\Q$なので，$\aleph_0<\operatorname{card}{(\R\setminus\Q)}$を示せばよい．

$S$を１以下の正の無理数の集合とすると，$S$は$\R\setminus\Q$の部分集合だから

$\begin{align*}\operatorname{card}{S}\le\operatorname{card}{(\R\setminus\Q)}\end{align*}$

である．よって，$\aleph_0<\operatorname{card}{S}$を示せば，$\aleph_0<\operatorname{card}{(\R\setminus\Q)}$が成り立つ．

$S$は無限集合だから，先ほど示した定理[無限集合の濃度]より$\aleph_0\le\operatorname{card}{S}$が成り立つので，あとは$\aleph_0\neq\operatorname{card}{S}$を示せばよい．

$\operatorname{card}S=\aleph_0$と仮定する．

このとき，矛盾が導かれればこの仮定が誤りとなり，$\operatorname{card}S\neq\aleph_0$が成り立つ．

仮定$\operatorname{card}S=\operatorname{card}\N$より$S$と$\N$は１対１に対応付けられる．

このとき，$S=\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4,\dots\}$とし，$n\in\N$と$\alpha_n\in S$が対応付けられたとする：

$\begin{align*}\begin{matrix} 1&\longrightarrow&\alpha_1\\ 2&\longrightarrow&\alpha_2\\ 3&\longrightarrow&\alpha_3\\ 4&\longrightarrow&\alpha_4\\ &\vdots& \end{matrix}\end{align*}$

また，$\alpha_n$の小数第$k$位の数を$p^{(n)}_{k}$と表す：

$\begin{align*}&\alpha_1=0.p^{(1)}_{1}p^{(1)}_{2}p^{(1)}_{3}p^{(1)}_{4}\dots, \\&\alpha_2=0.p^{(2)}_{1}p^{(2)}_{2}p^{(2)}_{3}p^{(2)}_{4}\dots, \\&\alpha_3=0.p^{(3)}_{1}p^{(3)}_{2}p^{(3)}_{3}p^{(3)}_{4}\dots, \\&\alpha_4=0.p^{(4)}_{1}p^{(4)}_{2}p^{(4)}_{3}p^{(4)}_{4}\dots, \\&\qquad\vdots\end{align*}$

このとき，$0$以上$1$以下の$\alpha=0.p_1p_2p_3p_4\dots$を

$p_1\neq p^{(1)}_{1}$
$p_2\neq p^{(2)}_{2}$
$p_3\neq p^{(3)}_{3}$
$p_4\neq p^{(4)}_{4}$
……

をみたし，$\alpha$が循環小数にならないようにとると

$\alpha_1$と$\alpha$は小数第１位の数が異なる
$\alpha_2$と$\alpha$は小数第２位の数が異なる
$\alpha_3$と$\alpha$は小数第３位の数が異なる
$\alpha_4$と$\alpha$は小数第４位の数が異なる
……

となっているので，$\alpha$は$\alpha_1,\alpha_2,\dots$のどれとも異なった$S$の元となっている．

しかし，$\N$と$S$は全て対応付けられていたはずなので，新たな$S$の元がとれてしまうのは仮定に反している．

よって，そもそも「$\N$と$S$が１対１に対応付けられる」とした仮定が誤っていることになる．

すなわち，$\N$と$S$は１対１に対応付けられることはないから，$\operatorname{card}S\neq\aleph_0$となる．

$S$の元$0.p_1p_2p_3p_4\dots$をつくるときに，

$0.{\color{blue}\underline{p^{(1)}_{1}}}p^{(1)}_{2}p^{(1)}_{3}p^{(1)}_{4}\dots$
$0.p^{(2)}_{1}{\color{blue}\underline{p^{(2)}_{2}}}p^{(2)}_{3}p^{(2)}_{4}\dots$
$0.p^{(3)}_{1}p^{(3)}_{2}{\color{blue}\underline{p^{(3)}_{3}}}p^{(3)}_{4}\dots$
$0.p^{(4)}_{1}p^{(4)}_{2}p^{(4)}_{3}{\color{blue}\underline{p^{(4)}_{4}}}\dots$
……

と対角に$p^{(1)}_{1},p^{(2)}_{2},\dots$を考えていきました．このことから，この論法のことを対角線論法と言います．

この論法を考えたドイツの数学者ゲオルク・フェルディナント・ルートヴィッヒ・フィリップ・カントール (Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantorにちなんで，カントールの対角線論法ということもあります．

また，この記事では示しませんが，実数の集合$\R$の濃度と有理数の集合$\R\setminus\Q$の濃度が等しいことが分かります．すなわち，$\operatorname{card}\R=\operatorname{card}{(\R\setminus\Q)}$が成り立ちます．

この濃度も数学では重要で，連続濃度といい$\aleph$で表します．

証明中で$\alpha$が循環小数にならないようにとれることは

$k=2^n$ ($n=1,2,\dots$)のとき，$p_{k}^{(k)}\neq1$なら$p_{k}=1$とし，$p_{k}^{(k)}=1$なら$p_{k}=0$とする
$k\neq2^n$ ($n=1,2,\dots$)のとき，$p_{k}^{(k)}\neq2$なら$p_{k}=2$とし，$p_{k}^{(k)}=2$なら$p_{k}=3$とする

と$\alpha$が構成できることから分かります：

参考文献

集合・位相入門

[松坂和夫著/岩波書店]

本書は「集合論」「位相空間論」をこれから学ぶ人のための入門書です．

説明が丁寧で行間が少ないのは初学者にありがたいところですね．

実際，本書は1968年に発刊されて以来売れ続けている超ロングセラーで，2018年に新装版が発売されたことからも現在でも教科書として広く使われていることが分かります．

具体例が多く扱われているのも特徴で，新しい概念のイメージも掴みやすいように書かれています．

また，各セクションの終わりに少なくない数の演習問題も載っており，演習書的な使い方もできます．

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なお，本書については，以下の記事で書評としてまとめています．

【オススメの教科書｜集合・位相入門(松坂和夫著，岩波書店)】

本書の目次・必要な知識・良い点と気になる点・オススメの使い方などをレビューしています．

通りすがりより:
2022-06-14 1:07 pm
>$\alpha$が循環小数にならないようにとると
と書いてありますが、こうなるように選ぶ事が出来ることは示されていますでしょうか？
$\alpha$の小数分の各桁の数値は当然可算回決定しないといけない訳ですが、一般にその元となる$\alpha_n$の方もどういう順序で並んでいるか（この証明では）分からない状況の中で、$\alpha$がいかなる周期でも循環していないことを示すには、容易でないと思われます（すくなくとも上記の証明では示されてません）。
返信
- yama-taku より:
  2022-06-14 3:34 pm
  確かに証明中では示していませんが，簡単に構成できるので具体例を示しておきますね：$\alpha$の小数第$k$位$p_{k}$について，
  [1]$k=2^n$ ($n=1,2,\dots$)のとき，$p_{k}^{(k)}\neq1$なら$p_{k}=1$とし，$p_{k}^{(k)}=1$なら$p_{k}=0$とする．
  [2]$k\neq2^n$ ($n=1,2,\dots$)のとき，$p_{k}^{(k)}\neq2$なら$p_{k}=2$とし，$p_{k}^{(k)}=2$なら$p_{k}=3$とする．
  とすると$\alpha$の小数第$2^n$位にのみ$0$または$1$が現れます．これは循環小数ではないですね．
  返信
  - 通りすがりより:
    2022-06-14 4:35 pm
    そういう具体的な構成を与えるなら、別に$p_k^{(k)}$が偶数なら$p_k=3$, $p_k^{(k)}$が奇数なら$p_k=4$とする、とかで十分でないですか？「循環小数でない」というのは、多分0.89999….. のようなものを排除する為、ですかね？でも今書いた方法なら、そもそも「循環小数ではない」というのを示す必要もないはずです。
    返信
    - yama-taku より:
      2022-06-14 5:32 pm
      主張されている構成法では$\alpha$は循環小数になり得ます．
      というのは，最初にご指摘されているように$\alpha_n$はどのように並んでいるか分かりません．
      そのため，たとえば$p_k^{(k)}$が全て偶数となっているかも知れず，この場合は$\alpha=0.333\dots$ですね(他にも$p_k^{(k)}$が交互に偶数，奇数となっていれば，$0.3434\dots$と循環小数になりますね)．
      また後半の主張について，この証明は新たな無理数$\alpha$を取ってきて矛盾を示す論法なので，$\alpha$が循環小数でない($\iff$ $\alpha$が有理数でない$\iff$ $\alpha$が無理数である)ということは重要です．
      そのため，$0.8999\dots$のようなものを排除するのは当然ですが，$0.3434\dots$のようなものも排除しないといけませんね．
      そこで，周期的でない構成法であれば循環しないことは容易に分かるので，(本質的に別の構成法もあるでしょうが)先ほどの構成法を例示した次第です．
      返信