例えば，３次列ベクトル全部の線形空間$\R^3$のどんなベクトル$\m{x}$もベクトル
の線形結合で表すことができます．
さらに，ベクトル$\m{e}_1$, $\m{e}_2$. $\m{e}_3$は線形独立になっています．
このような，線形空間全体を生成を生成し，線形独立であるベクトルたちの組を線形空間の基底といいます．
また，線形空間$V$の任意のベクトルも基底をなすベクトルの線形結合による表し方は一通りしかないという基本性質も当たり前にしておきましょう．
この記事では
- 線形空間の基底の定義と考え方
- 基底であることの証明のテンプレートと具体例
- 基底をなすベクトルの線形結合の一意性
を順に解説します．
「線形空間の基本」の一連の記事
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なお，列ベクトルの線形空間$\R^n$の部分空間だけで十分なら，列ベクトルの部分空間に絞って解説した以下の記事が分かりやすいでしょう．
線形空間の基底の定義と考え方
線形空間$V$を捉える際，その$V$がどのようなベクトルたちによって生成されているかが重要な手掛かりとなることがよくあります．
組$(\m{v}_1,\m{v}_2,\dots,\m{v}_n)$が線形空間$V$の基底であることの定義
ざっくり言葉で言えば，線形空間$V$のベクトルたちが，２つの条件
- $V$に属する全てのベクトルを線形結合で表せる
- 全て線形独立
を満たすとき基底であるといいます．
線形空間$V$に属するベクトルの組$(\m{v}_1,\m{v}_2,\dots,\m{v}_n)$が$V$の基底（basis）であるとは
- $\spn{(\m{v}_1,\m{v}_2,\dots,\m{v}_n)}=V$
- $\m{v}_1,\m{v}_2,\dots,\m{v}_n$は線形独立
を同時に満たすことをいう．
この記事では特に気にする必要はありませんが，基底は「組」なので順番が違うと異なる基底とみなします．なお，順番が変わっても同じとみなす場合は「組み合わせ」と言いますね．
この基底の定義で意識したいことは
- ベクトルが多いほど$V$を生成しやすい
- ベクトルが少ないほど線形独立になりやすい
ということです．このことからベクトル$\m{v}_1,\m{v}_2,\dots,\m{v}_n$が多くても少なくても基底にはなれなさそうなことが分かります．
基底であることの証明のテンプレートと具体例
基底の定義が２つの条件からなるので，基底であることを証明するにはこの２つの条件を証明します．
つまり，線形空間$V$に属するベクトルの組$(\m{v}_1,\m{v}_2,\dots,\m{v}_n)$が$V$の基底であることの証明では，
- 空間の生成：任意の$\m{v}\in V$に対して，$\m{v}=k_1\m{v}_1+k_2\m{v}_2+\dots+k_n\m{v}_n$となる係数$k_1,k_2,\dots,k_n$が取れる
- 線形独立性：零ベクトル$\m{0}\in V$に対して，$\m{0}=k_1\m{v}_1+k_2\m{v}_2+\dots+k_n\m{v}_n$となる係数$k_1,k_2,\dots,k_n$をとると，$k_1=k_2=\dots=k_n=0$が成り立つ
の２つを証明するのがテンプレートです．
具体例１（３次列ベクトル全部の線形空間$\R^3$の基底）
３次列ベクトル全部の線形空間$\R^3$に対して，$\m{e}_1,\m{e}_2,\m{e}_3\in\R^3$を
で定めると，これらの組$(\m{e}_1,\m{e}_2,\m{e}_3)$は$\R^3$の基底です．実際，
- 任意の$\m{x}=\sbmat{a\\b\\c}\in\R^3$は，$\m{x}=a\m{e}_1+b\m{e}_2+c\m{e}_3$と$\m{e}_1,\m{e}_2,\m{e}_3$の線形結合で表せる
- $\m{0}=k_1\m{e}_1+k_2\m{e}_2+k_3\m{e}_3$なる$k_1,k_2,k_3\in\R$をとると，$\sbmat{0\\0\\0}=\sbmat{k_1\\0\\0}+\sbmat{0\\k_2\\0}+\sbmat{0\\0\\k_3}$なので，各成分を比較して$k_1=k_2=k_3=0$と分かるから，$\m{e}_1,\m{e}_2,\m{e}_3$は線形独立である
ですね．
一般に，$\m{e}_k\in\R^n$（$k=1,2,\dots,n$）を「第$k$成分が１，他の全ての成分が０のベクトル」とすると，組$\anb{\m{e}_1,\m{e}_2,\dots,\m{e}_n}$は$\R^n$の基底です．この基底を$\R^n$の標準基底といいます．
具体例２（$\R^3$の線形部分空間の基底）
３次列ベクトル全部の線形空間$\R^3$の線形部分空間$V$を
で定めます．すなわち，$V$は$xyz$空間上の平面$3x+y+3z=0$ですね．$V$の定義を変形すると
となり，$V$は$\m{a}_1:=\sbmat{1\\-3\\0}$, $\m{a}_2:=\sbmat{0\\-3\\1}$で生成されることが分かります．
また，$\m{0}=k_1\m{a}_1+k_2\m{a}_2$なる$k_1,k_2\in\R$をとると，$\sbmat{0\\0\\0}=\sbmat{k_1\\-3k_1\\0}+\sbmat{0\\-3k_2\\k_2}$なので，各成分を比較して$k_1=k_2=0$と分かるから，$\m{a}_1,\m{a}_2$は線形独立である．
以上より，これらの組$(\m{a}_1,\m{a}_2)$は$V$の基底です．
具体例３（２次以下の多項式全部の線形空間$\R[x]_2$の基底）
２次以下の実数係数多項式全部の線形空間$\R[x]_2$に対して，$1,x,x^2\in\R[x]_2$の組$(1,x,x^2)$は$\R[x]_2$の基底です．実際，
- 任意の$f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2\in\R[x]_2$は，$f(x)=a_0\cdot1+a_1\cdot x+a_2\cdot x^2$と$1,x,x^2$の線形結合で表せる
- $0=k_1\cdot1+k_2\cdot x+k_3\cdot x^2$なる$k_1,k_2,k_3\in\R$をとると，両辺の係数を比較して$k_1=k_2=k_3=0$と分かるから，$1,x,x^2$は線形独立である
ですね．
一般に，組$(1,x,x^2,\dots,x^n)$は$n$次以下の実数係数多項式全部の線形空間$\R[x]_n$の基底です．
線形独立性を示すときの仮定$0=k_1\cdot1+k_2\cdot x+k_3\cdot x^2$の左辺は，実数の０ではなく係数が全て０の多項式です．
具体例４（漸化式を満たす実数列全部の線形空間の基底）
実数列全部の線形空間$\ell(\R)$の線形部分空間$V$を
で定めます．すなわち，$V$は漸化式$a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}$を満たす実数列$\{a_n\}$全部の線形空間です．
このとき，
- $a_1=1,a_2=0$で定まる$\{a_n\}\in V$
- $b_1=1,b_2=0$で定まる$\{b_n\}\in V$
で定めると，これらの組$(\{a_n\},\{b_n\})$は$V$の基底です．実際，
- $\{x_n\}\in V$は$x_1$と$x_2$が定まれば一意に決まるから，任意の$\{x_n\}\in V$は$\{x_n\}=x_1\cdot\{a_n\}+x_2\cdot\{b_n\}$と$\{a_n\},\{b_n\}$の線形結合で表せる
- $0=k_1\{a_n\}+k_2\{b_n\}$なる$k_1,k_2\in\R$をとると，両辺の初項と第２項を比較して$k_1=k_2=0$と分かるから，$\{a_n\},\{b_n\}$は線形独立である
ことから，組$(\{a_n\},\{b_n\})$は$V$の基底です．
線形独立性を示すときの仮定$0=k_1\{a_n\}+k_2\{b_n\}$の左辺は，実数の０ではなく全ての項が０の実数列です．
基底をなすベクトルの線形結合の一意性
線形空間$V$の基底は，２つの条件
を満たすベクトルの組と定義しましたが，条件(2)は線形結合の一意性を用いて言い換えることもできます．
線形空間$V$に対して，$\m{v}_1,\m{v}_2,\dots,\m{v}_n\in V$が$\spn{(\m{v}_1,\m{v}_2,\dots,\m{v}_n)}=V$を満たすとき，次は同値である．
- $\m{v}_1,\m{v}_2,\dots,\m{v}_n$は線形独立である
- 任意の$\m{x}\in V$に対して，$\m{x}$を$\m{v}_1,\m{v}_2,\dots,\m{v}_n$の線形結合で表すときの係数は一意に定まる
［$(1)\Ra(2)$の証明］(1)が成り立つとする．任意に$\m{x}\in V$をとる．
を満たすスカラー$k_i$, $k_i$をとる（$i=1,2,\dots,n$）．このとき，
が成り立つから，$\m{v}_1,\m{v}_2,\dots,\m{v}_n$は線形独立性より$k_i-\ell_i=0\iff k_i=\ell_i=0$が成り立つ．
すなわち，$\m{x}$を$\m{v}_1,\m{v}_2,\dots,\m{v}_n$の線形結合で表すときの係数は一意に定まる．
［$(2)\Ra(1)$の証明］(2)が成り立つとすると，零ベクトル$\m{0}$を$\m{v}_1,\m{v}_2,\dots,\m{v}_n$の線形結合で表すときの係数は一意に定まる．
よって，$\m{0}$は自明な線形結合$\m{0}=0\m{v}_1+0\m{v}_2+\dots+0\m{v}_n$でしか表せないから，$\m{v}_1,\m{v}_2,\dots,\m{v}_n$は線形独立である．
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