複素解析1
複素関数とは何か?図示の仕方も説明

大学理系学部の多くの1年生が学ぶ微分積分学では

\begin{align*} f:\R\to\R;x\mapsto x^{2} \end{align*}

のような実変数の実数値関数の微分積分を考えました.学年が進むと

\begin{align*} f:\C\to\C;z\mapsto z^{2} \end{align*}

のような複素変数の複素数値関数の微分積分を考えるようになるのですが,この分野を複素解析といいます.

もともと複素解析は実数の微分積分に応用するために研究されていた側面があり,この一連の記事では実数の微分積分への重要な応用がある留数定理を目標として説明していきます.

この記事では

  • 複素関数とは何か?
  • 複素関数の図示の考え方

を具体例とともに説明します.

解説動画

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【複素解析①複素関数】複素解析の主役!複素数から複素数を返す関数

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複素関数

まずは複素関数の主役である複素関数を定義し,複素関数の図示の方法を説明します.

複素関数の定義

「複素数を与えて複素数を返す関数」を複素関数といいます.もう少しきちんとした言葉で述べると次のようになりますね.

複素変数の複素数値関数を複素関数という.

よって,冒頭で紹介した

\begin{align*} f:\C\to\C;z\mapsto z^{2} \end{align*}

も複素関数ですね.定義域は必ずしも複素数全体$\C$である必要はなく,

\begin{align*} f:\C\setminus\{i,-i\}\to\C;z\mapsto \frac{1}{z+i}+\frac{1}{z-i} \end{align*}

なども複素関数です.

一般に集合$A$, $B$に対して$A\setminus B$は$A$から$B$を除いた集合$A\cap B^c$を表します.

よって,$\C\setminus\{i,-i\}$は複素数全体から$\pm i$を除いた集合を表しますね.

複素関数の図示

実変数の実数値関数は変数の軸$\R$と返ってくる値の軸$\R$の2本を用いて1枚の図でグラフを描けるのでした.例えば,

\begin{align*} f:\R\to\R;x\mapsto x^{2} \end{align*}

は次のように図示できますね.

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一方,複素関数を図示するには変数の複素平面$\C$と返ってくる値の複素平面$\C$が必要なので,1枚の図でグラフを描くには4次元必要となるので手書きではかなり困難です.

そこで複素関数を図示するには2枚の複素平面を並べて図示することも多いです.

複素関数$f:\C\to\C$を

\begin{align*} f(z)=z^{2} \end{align*}

で定める.2枚の複素平面を用いて$f$を図示せよ.

冪(指数)の計算は極形式で考えるのが鉄板ですね.

そこで,例えば$z=\sqrt{2}(\cos{60^\circ}+i\sin{60^\circ})$なら,[ド・モアルブルの定理]より

\begin{align*} f(z) =&\brb{\sqrt{2}(\cos{60^\circ}+i\sin{60^\circ})}^2 \\=&2(\cos{120^\circ}+i\sin{120^\circ}) \end{align*}

なので,これは以下のように図示できます.

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つまり,[ド・モアブルの定理]から偏角は2倍されます.

また,この例では$z$の絶対値$\sqrt{2}$が1より大きいので$z^2$の絶対値はより大きくなりますが,$z$の絶対値$\sqrt{2}$が1より小さい場合には$z^2$の絶対値はより小さくなりますね.

このことから,以下のように解答が書けることが分かります.

原点中心,半径$r$の円周を$C_{r}$とします.

$z\in C_{r}$は$z=r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})$ ($r\ge0$, $0\le\theta<2\pi$)と極形式で表すことができるので,[ド・モアブルの定理]より

\begin{align*} f(z)=r^{2}(\cos{2\theta}+i\sin{2\theta}) \end{align*}

となるから,$z$が$C_r$上を1周するとき,$f(z)$は$C_{r^2}$上を2周することが分かりますね.

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図中の矢印の位置と向きも対応していることに注意してください.

複素関数の具体例

他にもいくつか複素関数を図示してみましょう.

例1

複素関数$f$を

\begin{align*} f(z)=\overline{z} \end{align*}

で定める.2枚の複素平面を用いて$f$を図示せよ.


$z\in\C$とその共役$\overline{z}$は複素平面上で実軸対称な点を表しますから,下図のようになりますね.

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この他にもさまざまな図示が考えられます.例えば,下図のように図示してもよいですね.

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例2

$\alpha=s(\cos{\phi}+i\sin{\phi})$ ($s>0$, $\phi\in\R$)とする.複素関数$g$を

\begin{align*} g(z)=\alpha z+i \end{align*}

で定める.2枚の複素平面を用いて$g$を図示せよ.


(2) 原点中心,半径$r$の円周を$C_{r}$とします.

$z\in C_{r}$は$z=r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})$ ($r\ge0$, $\theta\in\R$)と極形式で表すことができ,

\begin{align*} g(z)=rs(\cos{(\theta+\phi)}+i\sin{(\theta+\phi)})+i \end{align*}

となりますから,$g$は$C_{r}$を原点中心に$s$倍に拡大,$+\phi$回転し,虚軸方向に$+1$平行移動させた円に移しますね.

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参考文献

[新装版]複素関数論の要諦

[堀川穎二 著/日本評論社]

本書は著者が実際に大学の授業で行った授業をもとに書かれており,説明も丁寧で分かりやすいです.

まえがきに「大学1年生の微分・積分の概要を理解している人を想定している」と書いてあるように,初めて複素解析を学ぶ人が基礎を理解するにはちょうど良いレベル感で書かれています.

式変形も丁寧になされており行間が少ないので,これは初学者にとって嬉しいポイントですね.

内容も留数定理,偏角の原理までフォローされているので,ひとまず複素解析が実数の定積分への応用まで学ぶことができます.

また,巻末に実際に授業を行った際のアンケートなどが載っており,学生から見て本書の内容(の授業)がどのようであったかを感じられるのは本書の面白いところです.