複素関数とは何か?グラフを複素平面上に図示する方法も解説

複素解析の基本
複素解析の基本

大学理系学部の多くの1年生が学ぶ微分積分学では

    \begin{align*}f:\R\to\R;x\mapsto x^{2}\end{align*}

のような実変数の実数値関数の微分積分を考えました.学年が進むと

    \begin{align*}f:\C\to\C;z\mapsto z^{2}\end{align*}

のような複素変数の複素数値関数の微分積分を考えるようになるのですが,この分野を複素解析といいます.

もともと複素解析は実数の微分積分に応用するために研究されていた側面があり,この一連の記事では実数の微分積分への重要な応用がある留数定理を目標として説明していきます.

この記事では

  • 複素関数とは何か?
  • 複素関数の図示の考え方

を具体例とともに説明します.

複素解析の参考文献

以下は複素解析に関するオススメの教科書です.

複素関数入門

複素解析の基礎を丁寧に解説した初学者向けの入門書です.

複素関数

まずは複素関数の主役である複素関数を定義し,複素関数の図示の方法を説明します.

複素関数の定義

「複素数を与えて複素数を返す関数」を複素関数といいます.もう少しきちんとした言葉で述べると次のようになりますね.

複素変数の複素数値関数を複素関数という.

よって,冒頭で紹介した

    \begin{align*}f:\C\to\C;z\mapsto z^{2}\end{align*}

も複素関数ですね.定義域は必ずしも複素数全体$\C$である必要はなく,

    \begin{align*}f:\C\setminus\{i,-i\}\to\C;z\mapsto \frac{1}{z+i}+\frac{1}{z-i}\end{align*}

なども複素関数です.

一般に集合$A$, $B$に対して$A\setminus B$は$A$から$B$を除いた集合$A\cap B^c$を表します.

よって,$\C\setminus\{i,-i\}$は複素数全体から$\pm i$を除いた集合を表しますね.

複素関数の図示

実変数の実数値関数は変数の軸$\R$と返ってくる値の軸$\R$の2本を用いて1枚の図でグラフを描けるのでした.例えば,

    \begin{align*}f:\R\to\R;x\mapsto x^{2}\end{align*}

は次のように図示できますね.

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一方,複素関数を図示するには変数の複素平面$\C$と返ってくる値の複素平面$\C$が必要なので,1枚の図でグラフを描くには4次元必要となるので手書きではかなり困難です.

そこで複素関数を図示するには2枚の複素平面を並べて図示することも多いです.

複素関数$f:\C\to\C$を

    \begin{align*}f(z)=z^{2}\end{align*}

で定める.2枚の複素平面を用いて$f$を図示せよ.

冪(指数)の計算は極形式で考えるのが鉄板ですね.

そこで,例えば$z=\sqrt{2}(\cos{60^\circ}+i\sin{60^\circ})$なら,ド・モアルブルの定理より

    \begin{align*}f(z)=&\brb{\sqrt{2}(\cos{60^\circ}+i\sin{60^\circ})}^2 \\=&2(\cos{120^\circ}+i\sin{120^\circ})\end{align*}

なので,これは以下のように図示できます.

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つまり,ド・モアブルの定理から偏角は2倍されます.

また,この例では$z$の絶対値$\sqrt{2}$が1より大きいので$z^2$の絶対値はより大きくなりますが,$z$の絶対値$\sqrt{2}$が1より小さい場合には$z^2$の絶対値はより小さくなりますね.

このことから,以下のように解答が書けることが分かります.

原点中心,半径$r$の円周を$C_{r}$とします.

$z\in C_{r}$は$z=r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})$ ($r\ge0$, $0\le\theta<2\pi$)と極形式で表すことができるので,[ド・モアブルの定理]より

    \begin{align*}f(z)=r^{2}(\cos{2\theta}+i\sin{2\theta})\end{align*}

となるから,$z$が$C_r$上を1周するとき,$f(z)$は$C_{r^2}$上を2周することが分かりますね.

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図中の矢印の位置と向きも対応していることに注意してください.

複素関数の具体例

他にもいくつか複素関数を図示してみましょう.

例1(複素共役)

複素関数$f$を$f(z)=\overline{z}$で定める.2枚の複素平面を用いて$f$を図示せよ.

$z\in\C$とその共役$\overline{z}$は複素平面上で実軸対称な点を表しますから,下図のようになりますね.

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この他にもさまざまな図示が考えられます.例えば,下図のように図示してもよいですね.

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例2(回転と平行移動)

$\alpha=s(\cos{\phi}+i\sin{\phi})$($s>0$, $\phi\in\R$)とし,複素関数$g$を$g(z)=\alpha z+i$で定める.2枚の複素平面を用いて$g$を図示せよ.

原点中心,半径$r$の円周を$C_{r}$とします.

$z\in C_{r}$は$z=r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})$ ($r\ge0$, $\theta\in\R$)と極形式で表すことができ,

    \begin{align*}g(z)=rs(\cos{(\theta+\phi)}+i\sin{(\theta+\phi)})+i\end{align*}

となりますから,$g$は$C_{r}$を原点中心に$s$倍に拡大,$+\phi$回転し,虚軸方向に$+1$平行移動させた円に移しますね.

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管理人

プロフィール

山本やまもと 拓人たくと

元予備校講師.講師として駆け出しの頃から予備校の生徒アンケートで抜群の成績を残し,通常の8倍の報酬アップを提示されるなど頭角を表す.

飛び級・首席合格で大学院に入学しそのまま首席修了するなど数学の深い知識をもち,本質をふまえた分かりやすい授業に定評がある.

現在はオンライン家庭教師,社会人向け数学教室での講師としての教育活動とともに,京都大学で数学の研究も行っている.専門は非線形偏微分方程式論.大学数学系YouTuberとしても活動中.

趣味は数学,ピアノ,甘いもの食べ歩き.公式LINEを友達登録で【限定プレゼント】配布中.

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