関数解析

完備なノルム空間，完備な内積空間をそれぞれBanach空間，Hilbert空間といいます．Banach空間の部分空間，Hilbert空間の部分空間はそれぞれノルム空間，内積空間となりますが，完備になるとは限りません．この記事では，そのような完備でない部分空間の例を挙げます．

マルチンキーヴィッツの実補間定理は，ある不等式を満たす作用素Tが弱L¹有界かつ弱Lᶢ有界(1<g)であるとき，任意のp∈(1,g)に対してTが強Lᵖ有界になるという定理です．この記事では定理の主張と証明をしています．

pとqがヘルダー共役であれば，Lp空間の共役空間(双対空間)とLq空間は同型である．この記事では，Lqの元を用いてLpノルムを表せることを説明する．

三線定理を用いて証明される「リース-トーリン（Riesz-Thorin）の複素補間定理」は線形作用素Lᵃ→Lᵇが有界であるための十分条件を述べた定理です．この定理を用いるとシュレディンガー方程式の線形解の分散型評価を証明することができます．

ヒルベルト空間における有界線形作用素の族がユニタリ群であるための必要十分条件を与える[Stoneの定理]を説明します．[Hille(ヒレ)-Yosida(吉田)の定理]の特別な場合として，シュレディンガー方程式にも応用されます．