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1パラメータユニタリ群に関するストーンの定理

  
   

この記事では,「1パラメータユニタリ群に関するMarshall Harvey Stone(ストーン)の定理(以下,Stoneの定理)」を説明する.

Stoneの定理はHilbert空間上の作用素の族\{T_t\}_{t\in\R}がユニタリ群であるための必要十分条件を述べる定理である.

また,類似の定理としてはHille-Yosidaの定理があり,こちらはBanach空間上の線形作用素Aが半群\{T_t\}_{t\in\R}の生成作用素となる必要十分条件を述べる定理である.

Stoneの定理はHille-Yosidaの定理により証明できるが,歴史的にはStoneの定理の方が古い.

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予備知識

Stoneの定理を述べる前に,この記事で用いる知識について簡単に述べる.

ただし,この記事では\mathcal{H}をHilbert空間とする.

作用素の空間

\mathcal{H}から\mathcal{H}への有界線形作用素であって,定義域が\mathcal{H}であるものの空間をB(\mathcal{H})と表す.

T,S\in B(\mathcal{H}),\alpha\in\Cに対して,和T+Sとスカラー倍\alpha T

(T+S)f:=Tf+Sf,(\alpha T)f:=\alpha(Tf)\ \ f\in\mathcal{H}

で定めると,B(\mathcal{H})は線形空間となる.

T\in B(\mathcal{H})に対して,

\|T\|=\|T\|_{B(\mathcal{H})}:=\sup\limits_{\|f\|_{\mathcal{H}}=1}\|Tf\|_{\mathcal{H}}

と定める.このとき,B(\mathcal{H})\|\cdot\|をノルムとしてBanach空間となる.

T,S\in B(\mathcal{H})の積TS(TS)f:=T(Sf)\ \ f\in\mathcal{H}で定めると,TSB(\mathcal{H})に属する.

作用素の強連続性

作用素の族\{T_t\}_{t\in\R}t_{0}\in\Rで強連続であるとは,任意のf\in\mathcal{H}に対して,極限

\li_{h\to0}\|T(t_{0}+h)f-T(t_{0})f\|_{\mathcal{H}}

が存在することをいう.

注意であるが,「作用素の空間の強連続」と「作用素の空間でない空間の強連続」は異なる.

「作用素の空間でない空間\mathcal{X}」においては,「弱連続」が定義され,弱連続ではない\|\cdot\|_{\mathcal{X}}に関する”普通の”連続性を「強連続」というのであった.

一方,「作用素の空間B(\mathcal{H})」においては,上のような連続性を「強連続」といい,作用素のノルム\|\cdot\|_{B(\mathcal{H})}に関する”普通の”連続性を「ノルム連続」という.

したがって,\mathcal{X}における「強連続」とB(\mathcal{H})における「ノルム連続」は対応するが,\mathcal{X}における「弱連続」とB(\mathcal{H})における「強連続」は対応関係にない.

C0群とユニタリ群

t\in\RをパラメータとするB(\mathcal{H})の族\{T_t\}_{t\in\R}が次を満たすとき,\{T_t\}_{t\in\R}\mathcal{H}上のC_{0}群(強連続群,群)という.

  1. 任意のt,s\in\Rに対して,T_{t}T_{s}=T_{t+s}
  2. T_{0}=I
  3. \{T_t\}_{t\in\R}\R上強連続.

ただし,I\mathcal{H}上の恒等作用素である.

条件1,2は代数的な群の性質であり,条件3は位相的な性質である.条件1〜3に加えて,

任意のt\in\Rに対して,T_{t}は同型,すなわち全単射かつ等長である.

という性質が成り立っているとき,\{T_t\}_{t\R}\mathcal{H}上のユニタリ群(強連続群,群)という.

生成作用素

\mathcal{H}上のC_0\{T_{t}\}_{t\in\R}に対して,

D(A):=\set{f\in\mathcal{H}}{\exists g\in\mathcal{H}\ \ s.t.\ \ \li_{h\to0}\f{T_{h}f-f}{h}=g}
Af=\li_{h\to0}\f{T_{h}f-f}{h}

で定まる\mathcal{H}上の作用素A\{T_{t}\}_{t\in\R}の生成作用素(無限小生成作用素)といい,このときT_{t}=e^{tA}と表す.

自己共役作用素

\mathcal{H}はHilbert空間なので,\mathcal{H}の共役空間\mathcal{H}^{*}はRieszの定理から\mathcal{H}と同型である.したがって,T\in B(\mathcal{H})ならば,Tの共役作用素T^{*}B(\mathcal{H})に属する.

T\in B(\mathcal{H})T=T^{*}を満たすとき,Tは自己共役作用素(自己共役)であるという.

Stoneの定理

準備ができたので,Stoneの定理を述べる.

[Stoneの定理] \{T_{t}\}_{t\in\R}B(\mathcal{H})上の族とする.このとき,\{T_{t}\}_{t\in\R}がユニタリ群であるためには,\mathcal{H}上の自己共役作用素Aが存在して,T_{t}=e^{itA}を満たすことが必要十分である.

言い換えれば,\{T_{t}\}_{t\in\R}がユニタリ群であれば,\{T_{t}\}_{t\in\R}の生成作用素iAが存在して,Aは自己共役である.

逆に,Aが自己共役作用素であれば,iAを生成作用素にもつC_0\{T_{t}\}_{t\R}が存在して,\{T_{t}\}_{t\R}はユニタリ群である.

参考文献

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