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弱Lp有界性とマルチンキーヴィッツの実補間定理

      

関数空間の補間定理として,[Marcinkiewicz(マルチンキーヴィッツ)の実補間定理]がある.

定義はのちに述べるが,作用素のL^p有界性には,(普通の)L^p有界性と弱L^p有界性がある.言葉からも分かるように,作用素TL^p有界であれば,弱L^p有界である.

[Marcinkiewiczの実補間定理]は,ある種の三角不等式を満たす作用素Tが弱L^1有界性と弱L^q有界性(1<q)をもつとき,任意のp\in(1, q)に対して作用素TがL^p有界性をもつことを保証する定理である.

つまり,両端L^1L^qで弱有界であれば,その間でL^p有界となる.「両端は弱でよい」というのが[Marcinkiewiczの実補間定理]の優れた点である.

また,非線形作用素にも適用できる点も優れている.

なお,Marcinkiewiczは様々な発音で読まれるが,「マルチンキェーヴィツ」がMarcinkiewiczの正確な発音に近いようである.

【参考記事:リース-ソリンの複素補間定理

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Lp有界性と弱Lp有界性

まず,L^p有界性を定義する.

(X,\mathcal{F},\mu)を測度空間とする.p\in[1,\infty]に対して,L^{p}(X)上の作用素TL^{p}有界であるとは,次を満たすことをいう:

\exi C>0\ \ s.t.\ \ \all f\in L^{p}\ \ \|Tf\|_{p}\le C\|f\|_{p}

なお,一般に集合S上の作用素Tとは,T:S\to Sのことをいう.

次に,上位集合(優位集合)と分布関数を定義する.

(X,\mathcal{F},\mu)を測度空間とする.X上の実数値または複素数値関数f\lambda\ge0に対して,

\set{x\in X}{|f(x)|>\lambda}

を上位集合(優位集合,superlevel set)という.また,次で定まる関数\mu_{f}:\R_{\ge0}\to\R_{\ge0}を分布関数という:

\mu_{f}(\lambda)=\mu\bra{\set{x\in X}{|f(x)|>\lambda}}

測度空間(X,\mathcal{F},\mu)としては,X=\R\mathcal{F}\RのLebesugue集合やBorel集合,\muをLebesgue測度として考えれば良い.また,定義から容易に分かるように,

\mu_{f}(\lambda)=\int_{\set{x\in X}{|Tf(x)|>\lambda}}\,dx

であることにも注意する.

この分布関数を用いて,弱L^p有界性を定義する.

(X,\mathcal{F},\mu)を測度空間とする.p\in[1,\infty)に対して,L^{p}(X)上の作用素Tが弱L^{p}有界であるとは,次を満たすことをいう:

\exi C>0\ \ s.t.\ \ \all \lambda>0\ \ \all f\in L^{p}\ \ \mu_{Tf}(\lambda)\le C\bra{\f{\|f\|_{p}}{\lambda}}^{p}

冒頭でも述べたように,作用素TL^p有界であれば,弱L^p有界である.

実際,作用素TL^p有界であれば,あるC>0が存在して\|Tf\|_{p}\le C\|f\|_{p}をみたす.L^{p}有界作用素Tは,任意のf\in L^{p}(X),\lambda>0に対して,

\mu_{Tf}(\lambda) =\dint_{\{\abs{Tf(x)}>\lambda\}}\,dx
\le\dint_{\{|Tf(x)|>\lambda\}}\bra{\f{|Tf(x)|}{\lambda}}^{p}\,dx
\le\dint_{X}\bra{\f{|Tf(x)|}{\lambda}}^{p}\,dx
=\bra{\f{\|Tf\|_{p}}{\lambda}}^{p} \le C^{p}\bra{\f{\|f\|_{p}}{\lambda}}^{p}

を満たす.したがって,作用素Tは弱L^{p}有界作用素である.

この意味で,弱L^p有界性ではないことを強調して,L^p有界性を「強L^p有界性」と言うこともある.

なお,ここでは本質的に[Chebyshevの不等式]を用いている.

[Chebyshevの不等式] (X,\mathcal{F},\mu)を測度空間とする.任意のf\in L^p(X),\lambda>0に対して,次の不等式が成り立つ.

\mu_f(\lambda)\le\bra{\f{\|f\|_{p}}{\lambda}}^p

Marcinkiewiczの実補間定理

この節では,Marcinkiewiczの実補間定理の主張とその証明を述べる.

補題

準備として,まずは補題を示す.

(X,\mathcal{F},\mu)を測度空間とする.任意のf\in L^{1}_{loc}(X),p\in[1,\infty)に対して,

\dint_{X}|f(x)|^{p}\,dx=p\dint_{0}^{\infty}\sigma^{p-1}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma

が成り立つ.また,a,b\in\R,a\le bに対して,a\le|f(x)|\le bであるとき,

\dint_{X}|f(x)|^{p}\,dx=p\dint_{a}^{b}\sigma^{p-1}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma

が成り立つ.

[証明]

補題の前半は,

\dint_{X}|f(x)|^{p}\,dx =\dint_{X}\dint_{0}^{|f(x)|}p\sigma^{p-1}\,d\sigma\,dx
=\dint_{X}\dint_{0}^{\infty}p\sigma^{p-1}I_{[0,|f(x)|]}(\sigma)\,d\sigma\,dx
=\dint_{0}^{\infty}\dint_{X}p\sigma^{p-1}I_{\{0<\sigma<|f(x)|\}}(\sigma)\,dx\,d\sigma
=p\dint_{0}^{\infty}\sigma^{p-1}\dint_{X}I_{\{\sigma<|f(x)|\}}(x)\,dx\,d\sigma
=p\dint_{0}^{\infty}\sigma^{p-1}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma

となって従う.

補題の後半は,\sigma0\le\sigma<a,b<\sigmaをみたすときa\le|f(x)|\le bにより\mu_{f}(\sigma)=0だから,前半の等式の右辺の積分範囲が[a,b]になることが分かる.

[証明終]

Marcinkiewiczの実補間定理とその証明

今示した補題により,[Marcinkiewiczの実補間定理]を示す.

[Marcinkiewiczの実補間定理] (X,\mathcal{F},\mu)を測度空間とする.q\in(1,\infty]とする.次の1〜3を満たすL^{1}(X)+L^{q}(X)=\set{f_{1}+f_{2}}{f_{1}\in L^{1}(X),f_{2}\in L^{q}(X)}上の作用素Tを考える.

  1. f\in L^{1}+L^{q}の任意の分解f=f_1+f_2\ \ (f_1\in L^{1}(X),f_{2}\in L^{q}(X))に対して,x\in X上ほとんど至るところで|Tf(x)|\le|Tf_1(x)|+|Tf_2(x)|が成り立つ.
  2. Tは弱L^1有界である.
    • q\in(1,\infty)のとき,Tは弱L^q有界である.
    • q=\inftyのとき,あるC>0が存在して,任意のf\in L^\infty(X)に対して,x\in X上ほとんど至るところで|Tf(x)|\le C\|f\|_{\infty}が成り立つ.

このとき,任意のp\in(1,q)に対して,TL^{p}有界作用素に拡張できる.

[証明]

q\in(1,\infty)のときと,q=\inftyのときで分けて証明する.

Step.1

q\in(1,\infty)のときを示す.

任意のp\in(1,q),f\in L^{p}(X),\lambda>0に対して,

f_{1}:=\begin{cases} f-\lambda&(f(x)>\lambda)\\ 0&(|f(x)|\le\lambda)\\ f+\lambda&(f(x)<-\lambda) \end{cases},
f_{2}:=f-f_{1}

とする. f\in L^{p}(X)から \mu(\mrm{supp}f_{1})=\mu\bra{\set{x\in X}{|f(x)|>\lambda}}<\inftyなので,

\dint_{X}|f_{1}(x)|\,dx =\dint_{\mrm{supp}f_{1}}|f_{1}(x)|\,dx
\le\bra{\dint_{\mrm{supp}f_{1}}\,dx}^{1/p'}\bra{\dint_{\mrm{supp}f_{1}}|f_{1}(x)|^{p}\,dx}^{1/p}
\le\bra{\dint_{\mrm{supp}f_{1}}\,dx}^{1/p'}\bra{\dint_{X}|f(x)|^{p}\,dx}^{1/p} <\infty

である.ここに,p'pのHölder共役である.また,\|f_{2}\|_{L^{\infty}(X)}\le\lambdaだから,

\dint_{X}|f_{2}(x)|^{q}\,dx \le{\|f_{2}\|_{L^{\infty}}}^{q-p}\dint_{X}|f_{2}(x)|^{p}\,dx <\infty

だから,f_{1}\in L^{1},f_{2}\in L^{q}が成り立つ.

したがって,仮定1から\left[|Tf_{1}(x)|\le\f{\lambda}{2}\right. かつ \left.|Tf_{2}(x)|\le\f{\lambda}{2}\right]であれば,|Tf(x)|\le\lambdaをみたす.この対偶を考えて, |Tf(x)|>\lambdaなら\left[|Tf_{1}(x)|>\f{\lambda}{2}\right. または \left.|Tf_{2}(x)|>\f{\lambda}{2}\right]が成り立つ.

したがって,補題と仮定2,3より

\mu_{Tf}(\lambda)\le\mu_{Tf_{1}}\bra{\f{\lambda}{2}}+\mu_{Tf_{2}}\bra{\f{\lambda}{2}}
\le\f{2C}{\lambda}\nor{f_{1}}_{L^{1}} +\f{2C}{\lambda^{q}}\nor{f_{2}}_{L^{q}}^{q}
\le\f{C}{\lambda}\dint_{X}|f_{1}(x)|\,dx +\f{C}{\lambda^{q}}\dint_{X}|f_{2}(x)|^{q}\,dx
=\f{C}{\lambda}\dint_{0}^{\infty}\mu_{f_{1}}(\sigma)\,d\sigma +\f{C}{\lambda^{q}}\dint_{\{|f(x)|>\lambda\}}|f_{2}(x)|^{q}\,dx +\f{C}{\lambda^{q}}\dint_{\{|f(x)|\le\lambda\}}|f_{2}(x)|^{q}\,dx
=\f{C}{\lambda}\dint_{\lambda}^{\infty}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma +\f{C}{\lambda^{q}}\dint_{\{|f(x)|>\lambda\}}\lambda^{q}\,dx +\f{C}{\lambda^{q}}\dint_{\{|f(x)|\le\lambda\}}|f(x)|^{q}\,dx
\le\f{C}{\lambda}\dint_{\lambda}^{\infty}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma +C\mu_{f}(\lambda) +\f{Cq}{\lambda^{q}}\int_{0}^{\lambda}\sigma^{q-1}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma

である.ただし,Cは適当な定数であり,一定とは限らない(以下同様).よって,

\|Tf\|_{p}^{p} =p\dint_{0}^{\infty}\lambda^{p-1}\mu_{Tf}(\lambda)\,d\lambda
\le p\dint_{0}^{\infty}\lambda^{p-1}\bra{\f{C}{\lambda}\dint_{\lambda}^{\infty}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma +C\mu_{f}(\lambda) +\f{Cq}{\lambda^{q}}\dint_{0}^{\lambda}\sigma^{q-1}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma}\,d\lambda
\le Cp\bra{\dint_{0}^{\infty}\lambda^{p-2}\dint_{\lambda}^{\infty}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma\,d\lambda +\dint_{0}^{\infty}\lambda^{p-1}\mu_{f}(\lambda)\,d\lambda +\dint_{0}^{\infty}\lambda^{p-q-1}\int_{0}^{\lambda}\sigma^{q-1}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma\,d\lambda}
\le C\bra{\dint_{0}^{\infty}\mu_{f}(\sigma)\dint_{0}^{\sigma}\lambda^{p-2}\,d\lambda\,d\sigma +\dint_{0}^{\infty}|f(x)|^{p}\,d\lambda +\dint_{0}^{\infty}\sigma^{q-1}\mu_{f}(\sigma)\dint_{\sigma}^{\infty}\lambda^{p-q-1}\,d\lambda\,d\sigma}
\le C\bra{\dint_{0}^{\infty}\sigma^{p-1}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma +\|f\|_{p}^{p} +\int_{0}^{\infty}\sigma^{p-1}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma} \le C\|f\|_{p}^{p}

が従う.

Step.2

q=\inftyのときを示す.

任意のp\in(1,\ q),\ f\in L^{p},\ \lambda>0に対して,

f_{1}:=\begin{cases} f-\lambda&(f(x)>\lambda)\\ 0&(|f(x)|\le\lambda)\\ f+\lambda&(f(x)<-\lambda) \end{cases},
f_{2}:=f-f_{1}

とする.

[1]と同様に,f_{1}\in L^{1},\ f_{2}\in L^{\infty}だから,1から

|Tf(x)| \le|Tf_{1}(x)|+|Tf_{2}(x)|
\le|Tf_{1}(x)|+C\nor{f_{2}}_{L^{\infty}}
\le|Tf_{1}(x)|+C\lambda

だから,Tf(x)>2C\lambda\Ra Tf_{1}(x)>C\lambdaが成り立つ.

したがって,補題4.1と仮定2,3より

\mu_{Tf}(2C\lambda) \le\mu_{Tf_{1}}\bra{C\lambda} \le\f{C}{\lambda}\nor{f_{1}}_{L^{1}}
=\f{C}{\lambda}\dint_{X}|f_{1}(x)|\,dx =\f{C}{\lambda}\dint_{0}^{\infty}\mu_{f_{1}}(\sigma)\,d\sigma =\f{C}{\lambda}\dint_{\lambda}^{\infty}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma

である.よって,

\|Tf\|_{p}^{p} =p\dint_{0}^{\infty}\lambda^{p-1}\mu_{f}(\lambda)\,d\lambda
=p(2C)^{p}\dint_{0}^{\infty}\lambda^{p-1}\mu_{f}(2C\lambda)\,d\lambda
\le C\dint_{0}^{\infty}\lambda^{p-1}\cdot\f{C}{\lambda}\dint_{\lambda}^{\infty}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma\,d\lambda
\le Cp\dint_{0}^{\infty}\lambda^{p-2}\dint_{\lambda}^{\infty}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma\,d\lambda
\le C\dint_{0}^{\infty}\mu_{f}(\sigma)\dint_{0}^{\sigma}\lambda^{p-2}\,d\lambda\,d\sigma
\le C\dint_{0}^{\infty}\sigma^{p-1}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma \le C\|f\|_{p}^{p}

が従う.

[証明終]

参考文献

以下は参考文献である.

  • 「非線形発展方程式の実解析的方法」(小川卓克 著,丸善出版(シュプリンガー現代数学シリーズ))
  • “Introduction to Nonlinear Dispersive Equations”(Felipe Linares, Gustavo Ponce 著,Springer)

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