弱Lp有界性とマルチンキーヴィッツの実補間定理

関数空間の補間定理として，[Marcinkiewicz(マルチンキーヴィッツ)の実補間定理]がある．

定義はのちに述べるが，作用素の $L^p$ 有界性には，(普通の) $L^p$ 有界性と弱 $L^p$ 有界性がある．言葉からも分かるように，作用素 $T$ が $L^p$ 有界であれば，弱 $L^p$ 有界である．

[Marcinkiewiczの実補間定理]は，ある種の三角不等式を満たす作用素 $T$ が弱 $L^1$ 有界性と弱 $L^q$ 有界性( $1<q$ )をもつとき，任意の $p\in(1, q)$ に対して作用素 $T$ が $L^p$ 有界性をもつことを保証する定理である．

つまり，両端 $L^1$ と $L^q$ で弱有界であれば，その間で $L^p$ 有界となる．「両端は弱でよい」というのが[Marcinkiewiczの実補間定理]の優れた点である．

また，非線形作用素にも適用できる点も優れている．

なお，Marcinkiewiczは様々な発音で読まれるが，「マルチンキェーヴィツ」がMarcinkiewiczの正確な発音に近いようである．

【参考記事：リース-ソリンの複素補間定理】

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1 Lp有界性と弱Lp有界性
2 Marcinkiewiczの実補間定理
- 2.1 補題
- 2.2 Marcinkiewiczの実補間定理とその証明
3 参考文献

L^p有界性と弱L^p有界性

まず， $L^p$ 有界性を定義する．

$(X,\mathcal{F},\mu)$ を測度空間とする． $p\in[1,\infty]$ に対して， $L^{p}(X)$ 上の作用素 $T$ が $L^{p}$ 有界であるとは，次を満たすことをいう：

$\exi C>0\ \ s.t.\ \ \all f\in L^{p}\ \ \|Tf\|_{p}\le C\|f\|_{p}$

なお，一般に集合 $S$ 上の作用素 $T$ とは， $T:S\to S$ のことをいう．

次に，上位集合(優位集合)と分布関数を定義する．

$(X,\mathcal{F},\mu)$ を測度空間とする． $X$ 上の実数値または複素数値関数 $f$ と $\lambda\ge0$ に対して，

$\set{x\in X}{|f(x)|>\lambda}$

を上位集合(優位集合,superlevel set)という．また，次で定まる関数 $\mu_{f}:\R_{\ge0}\to\R_{\ge0}$ を分布関数という：

$\mu_{f}(\lambda)=\mu\bra{\set{x\in X}{|f(x)|>\lambda}}$

測度空間 $(X,\mathcal{F},\mu)$ としては， $X=\R$ ， $\mathcal{F}$ は $\R$ のLebesugue集合やBorel集合， $\mu$ をLebesgue測度として考えれば良い．また，定義から容易に分かるように，

$\mu_{f}(\lambda)=\int_{\set{x\in X}{|Tf(x)|>\lambda}}\,dx$

であることにも注意する．

この分布関数を用いて，弱 $L^p$ 有界性を定義する．

$(X,\mathcal{F},\mu)$ を測度空間とする． $p\in[1,\infty)$ に対して， $L^{p}(X)$ 上の作用素 $T$ が弱 $L^{p}$ 有界であるとは，次を満たすことをいう：

$\exi C>0\ \ s.t.\ \ \all \lambda>0\ \ \all f\in L^{p}\ \ \mu_{Tf}(\lambda)\le C\bra{\f{\|f\|_{p}}{\lambda}}^{p}$

冒頭でも述べたように，作用素 $T$ が $L^p$ 有界であれば，弱 $L^p$ 有界である．

実際，作用素 $T$ が $L^p$ 有界であれば，ある $C>0$ が存在して $\|Tf\|_{p}\le C\|f\|_{p}$ をみたす． $L^{p}$ 有界作用素 $T$ は，任意の $f\in L^{p}(X),\lambda>0$ に対して，

$\mu_{Tf}(\lambda) =\dint_{\{\abs{Tf(x)}>\lambda\}}\,dx$
$\le\dint_{\{|Tf(x)|>\lambda\}}\bra{\f{|Tf(x)|}{\lambda}}^{p}\,dx$
$\le\dint_{X}\bra{\f{|Tf(x)|}{\lambda}}^{p}\,dx$
$=\bra{\f{\|Tf\|_{p}}{\lambda}}^{p} \le C^{p}\bra{\f{\|f\|_{p}}{\lambda}}^{p}$

を満たす．したがって，作用素 $T$ は弱 $L^{p}$ 有界作用素である．

この意味で，弱 $L^p$ 有界性ではないことを強調して， $L^p$ 有界性を「強 $L^p$ 有界性」と言うこともある．

なお，ここでは本質的に[Chebyshevの不等式]を用いている．

[Chebyshevの不等式]　 $(X,\mathcal{F},\mu)$ を測度空間とする．任意の $f\in L^p(X),\lambda>0$ に対して，次の不等式が成り立つ．

$\mu_f(\lambda)\le\bra{\f{\|f\|_{p}}{\lambda}}^p$

Marcinkiewiczの実補間定理

この節では，Marcinkiewiczの実補間定理の主張とその証明を述べる．

補題

準備として，まずは補題を示す．

$(X,\mathcal{F},\mu)$ を測度空間とする．任意の $f\in L^{1}_{loc}(X),p\in[1,\infty)$ に対して，

$\dint_{X}|f(x)|^{p}\,dx=p\dint_{0}^{\infty}\sigma^{p-1}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma$

が成り立つ．また， $a,b\in\R,a\le b$ に対して， $a\le|f(x)|\le b$ であるとき，

$\dint_{X}|f(x)|^{p}\,dx=p\dint_{a}^{b}\sigma^{p-1}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma$

が成り立つ．

[証明]

補題の前半は，

$\dint_{X}|f(x)|^{p}\,dx =\dint_{X}\dint_{0}^{|f(x)|}p\sigma^{p-1}\,d\sigma\,dx$
$=\dint_{X}\dint_{0}^{\infty}p\sigma^{p-1}I_{[0,|f(x)|]}(\sigma)\,d\sigma\,dx$
$=\dint_{0}^{\infty}\dint_{X}p\sigma^{p-1}I_{\{0<\sigma<|f(x)|\}}(\sigma)\,dx\,d\sigma$
$=p\dint_{0}^{\infty}\sigma^{p-1}\dint_{X}I_{\{\sigma<|f(x)|\}}(x)\,dx\,d\sigma$
$=p\dint_{0}^{\infty}\sigma^{p-1}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma$

となって従う．

補題の後半は， $\sigma$ が $0\le\sigma<a,b<\sigma$ をみたすとき $a\le|f(x)|\le b$ により $\mu_{f}(\sigma)=0$ だから，前半の等式の右辺の積分範囲が $[a,b]$ になることが分かる．

[証明終]

Marcinkiewiczの実補間定理とその証明

今示した補題により，[Marcinkiewiczの実補間定理]を示す．

[Marcinkiewiczの実補間定理]　 $(X,\mathcal{F},\mu)$ を測度空間とする． $q\in(1,\infty]$ とする．次の1〜3を満たす $L^{1}(X)+L^{q}(X)=\set{f_{1}+f_{2}}{f_{1}\in L^{1}(X),f_{2}\in L^{q}(X)}$ 上の作用素 $T$ を考える．

$f\in L^{1}+L^{q}$ の任意の分解 $f=f_1+f_2\ \ (f_1\in L^{1}(X),f_{2}\in L^{q}(X))$ に対して, $x\in X$ 上ほとんど至るところで $|Tf(x)|\le|Tf_1(x)|+|Tf_2(x)|$ が成り立つ．
$T$ は弱 $L^1$ 有界である．
- $q\in(1,\infty)$ のとき， $T$ は弱 $L^q$ 有界である．
- $q=\infty$ のとき，ある $C>0$ が存在して，任意の $f\in L^\infty(X)$ に対して， $x\in X$ 上ほとんど至るところで $|Tf(x)|\le C\|f\|_{\infty}$ が成り立つ．

このとき，任意の $p\in(1,q)$ に対して， $T$ は $L^{p}$ 有界作用素に拡張できる．

[証明]

$q\in(1,\infty)$ のときと， $q=\infty$ のときで分けて証明する．

Step.1

$q\in(1,\infty)$ のときを示す．

任意の $p\in(1,q),f\in L^{p}(X),\lambda>0$ に対して，

$f_{1}:=\begin{cases} f-\lambda&(f(x)>\lambda)\\ 0&(|f(x)|\le\lambda)\\ f+\lambda&(f(x)<-\lambda) \end{cases},$
$f_{2}:=f-f_{1}$

とする． $f\in L^{p}(X)$ から $\mu(\mrm{supp}f_{1})=\mu\bra{\set{x\in X}{|f(x)|>\lambda}}<\infty$ なので，

$\dint_{X}|f_{1}(x)|\,dx =\dint_{\mrm{supp}f_{1}}|f_{1}(x)|\,dx$
$\le\bra{\dint_{\mrm{supp}f_{1}}\,dx}^{1/p'}\bra{\dint_{\mrm{supp}f_{1}}|f_{1}(x)|^{p}\,dx}^{1/p}$
$\le\bra{\dint_{\mrm{supp}f_{1}}\,dx}^{1/p'}\bra{\dint_{X}|f(x)|^{p}\,dx}^{1/p} <\infty$

である．ここに， $p'$ は $p$ のHölder共役である．また， $\|f_{2}\|_{L^{\infty}(X)}\le\lambda$ だから，

$\dint_{X}|f_{2}(x)|^{q}\,dx \le{\|f_{2}\|_{L^{\infty}}}^{q-p}\dint_{X}|f_{2}(x)|^{p}\,dx <\infty$

だから， $f_{1}\in L^{1},f_{2}\in L^{q}$ が成り立つ．

したがって，仮定1から $\left[|Tf_{1}(x)|\le\f{\lambda}{2}\right.$ かつ $\left.|Tf_{2}(x)|\le\f{\lambda}{2}\right]$ であれば， $|Tf(x)|\le\lambda$ をみたす．この対偶を考えて， $|Tf(x)|>\lambda$ なら $\left[|Tf_{1}(x)|>\f{\lambda}{2}\right.$ または $\left.|Tf_{2}(x)|>\f{\lambda}{2}\right]$ が成り立つ．

したがって，補題と仮定2,3より

$\mu_{Tf}(\lambda)\le\mu_{Tf_{1}}\bra{\f{\lambda}{2}}+\mu_{Tf_{2}}\bra{\f{\lambda}{2}}$
$\le\f{2C}{\lambda}\nor{f_{1}}_{L^{1}} +\f{2C}{\lambda^{q}}\nor{f_{2}}_{L^{q}}^{q}$
$\le\f{C}{\lambda}\dint_{X}|f_{1}(x)|\,dx +\f{C}{\lambda^{q}}\dint_{X}|f_{2}(x)|^{q}\,dx$
$=\f{C}{\lambda}\dint_{0}^{\infty}\mu_{f_{1}}(\sigma)\,d\sigma +\f{C}{\lambda^{q}}\dint_{\{|f(x)|>\lambda\}}|f_{2}(x)|^{q}\,dx +\f{C}{\lambda^{q}}\dint_{\{|f(x)|\le\lambda\}}|f_{2}(x)|^{q}\,dx$
$=\f{C}{\lambda}\dint_{\lambda}^{\infty}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma +\f{C}{\lambda^{q}}\dint_{\{|f(x)|>\lambda\}}\lambda^{q}\,dx +\f{C}{\lambda^{q}}\dint_{\{|f(x)|\le\lambda\}}|f(x)|^{q}\,dx$
$\le\f{C}{\lambda}\dint_{\lambda}^{\infty}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma +C\mu_{f}(\lambda) +\f{Cq}{\lambda^{q}}\int_{0}^{\lambda}\sigma^{q-1}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma$

である．ただし， $C$ は適当な定数であり，一定とは限らない(以下同様)．よって，

$\|Tf\|_{p}^{p} =p\dint_{0}^{\infty}\lambda^{p-1}\mu_{Tf}(\lambda)\,d\lambda$
$\le p\dint_{0}^{\infty}\lambda^{p-1}\bra{\f{C}{\lambda}\dint_{\lambda}^{\infty}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma +C\mu_{f}(\lambda) +\f{Cq}{\lambda^{q}}\dint_{0}^{\lambda}\sigma^{q-1}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma}\,d\lambda$
$\le Cp\bra{\dint_{0}^{\infty}\lambda^{p-2}\dint_{\lambda}^{\infty}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma\,d\lambda +\dint_{0}^{\infty}\lambda^{p-1}\mu_{f}(\lambda)\,d\lambda +\dint_{0}^{\infty}\lambda^{p-q-1}\int_{0}^{\lambda}\sigma^{q-1}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma\,d\lambda}$
$\le C\bra{\dint_{0}^{\infty}\mu_{f}(\sigma)\dint_{0}^{\sigma}\lambda^{p-2}\,d\lambda\,d\sigma +\dint_{0}^{\infty}|f(x)|^{p}\,d\lambda +\dint_{0}^{\infty}\sigma^{q-1}\mu_{f}(\sigma)\dint_{\sigma}^{\infty}\lambda^{p-q-1}\,d\lambda\,d\sigma}$
$\le C\bra{\dint_{0}^{\infty}\sigma^{p-1}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma +\|f\|_{p}^{p} +\int_{0}^{\infty}\sigma^{p-1}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma} \le C\|f\|_{p}^{p}$

が従う．

Step.2

$q=\infty$ のときを示す．

任意の $p\in(1,\ q),\ f\in L^{p},\ \lambda>0$ に対して，

$f_{1}:=\begin{cases} f-\lambda&(f(x)>\lambda)\\ 0&(|f(x)|\le\lambda)\\ f+\lambda&(f(x)<-\lambda) \end{cases},$
$f_{2}:=f-f_{1}$

とする．

[1]と同様に， $f_{1}\in L^{1},\ f_{2}\in L^{\infty}$ だから，1から

$|Tf(x)| \le|Tf_{1}(x)|+|Tf_{2}(x)|$
$\le|Tf_{1}(x)|+C\nor{f_{2}}_{L^{\infty}}$
$\le|Tf_{1}(x)|+C\lambda$

だから， $Tf(x)>2C\lambda\Ra Tf_{1}(x)>C\lambda$ が成り立つ．

したがって，補題4.1と仮定2，3より

$\mu_{Tf}(2C\lambda) \le\mu_{Tf_{1}}\bra{C\lambda} \le\f{C}{\lambda}\nor{f_{1}}_{L^{1}}$
$=\f{C}{\lambda}\dint_{X}|f_{1}(x)|\,dx =\f{C}{\lambda}\dint_{0}^{\infty}\mu_{f_{1}}(\sigma)\,d\sigma =\f{C}{\lambda}\dint_{\lambda}^{\infty}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma$

である．よって，

$\|Tf\|_{p}^{p} =p\dint_{0}^{\infty}\lambda^{p-1}\mu_{f}(\lambda)\,d\lambda$
$=p(2C)^{p}\dint_{0}^{\infty}\lambda^{p-1}\mu_{f}(2C\lambda)\,d\lambda$
$\le C\dint_{0}^{\infty}\lambda^{p-1}\cdot\f{C}{\lambda}\dint_{\lambda}^{\infty}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma\,d\lambda$
$\le Cp\dint_{0}^{\infty}\lambda^{p-2}\dint_{\lambda}^{\infty}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma\,d\lambda$
$\le C\dint_{0}^{\infty}\mu_{f}(\sigma)\dint_{0}^{\sigma}\lambda^{p-2}\,d\lambda\,d\sigma$
$\le C\dint_{0}^{\infty}\sigma^{p-1}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma \le C\|f\|_{p}^{p}$

が従う．

[証明終]

参考文献

以下は参考文献である．

「非線形発展方程式の実解析的方法」(小川卓克著，丸善出版(シュプリンガー現代数学シリーズ))
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“Introduction to Nonlinear Dispersive Equations”(Felipe Linares, Gustavo Ponce 著，Springer)
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