弱Lp有界性とマルチンキーヴィッツの実補間定理

関数空間の補間定理として，[Marcinkiewicz(マルチンキーヴィッツ)の実補間定理]がある．

定義はのちに述べるが，作用素の $L^p$ 有界性には，(普通の) $L^p$ 有界性と弱 $L^p$ 有界性がある．言葉からも分かるように，作用素 $T$ が $L^p$ 有界であれば，弱 $L^p$ 有界である．

[Marcinkiewiczの実補間定理]は，ある種の三角不等式を満たす作用素 $T$ が弱 $L^1$ 有界性と弱 $L^q$ 有界性( $1<q$ )をもつとき，任意の $p\in(1,q)$ に対して作用素 $T$ が $L^p$ 有界性をもつことを保証する定理である．

つまり，両端 $L^1$ と $L^q$ で弱有界であれば，その間で $L^p$ 有界となる．「両端は弱でよい」というのが[Marcinkiewiczの実補間定理]の優れた点である．

また，非線形作用素にも適用できる点も優れている．

なお，日本ではMarcinkiewiczは様々な発音で読まれるが，「マルチンキェーヴィツ」がMarcinkiewiczの正確な発音に近いようである．

【リース-ソリンの複素補間定理とその証明】

$L^{p_1}(X)\to L^{q_1}(Y)$ で有界かつ， $L^{p_2}(X)\to L^{q_2}(Y)$ で有界な作用素 $T$ を考える．このとき，2点 $(p_1,q_1)$ , $(p_2,q_2)$ を結ぶ線分上の点 $(a,b)$ に対して， $T$ は $L^{a}(X)\to L^{b}(Y)$ の有界作用素となるという補間定理を[Riesz-Thorinの複素補間定理]という．

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1 Lp有界性と弱Lp有界性
2 Marcinkiewiczの実補間定理
- 2.1 補題
- 2.2 Marcinkiewiczの実補間定理とその証明
3 参考文献

L^p有界性と弱L^p有界性

まず， $L^p$ 有界性を定義する．

$(X,\mathcal{F},\mu)$ を測度空間とする． $p\in[1,\infty]$ に対して， $L^{p}(X)$ 上の作用素 $T$ が $L^{p}$ 有界であるとは，ある $C>0$ が存在して，任意の $f\in L^p(X)$ に対して

$\begin{align*} \|Tf\|_{p}\le C\|f\|_{p} \end{align*}$

が成り立つことをいう．

なお，一般に集合 $S$ 上の作用素 $T$ とは， $T:S\to S$ のことをいう．

次に，上位集合(優位集合)と分布関数を定義する．

$(X,\mathcal{F},\mu)$ を測度空間とする． $X$ 上の実数値または複素数値関数 $f$ と $\lambda\ge0$ に対して，

$\begin{align*} \set{x\in X}{|f(x)|>\lambda} \end{align*}$

を上位集合(優位集合,superlevel set)という．また，次で定まる関数 $\mu_{f}:\R_{\ge0}\to\R_{\ge0}$ を分布関数という：

$\begin{align*} \mu_{f}(\lambda)=\mu\bra{\set{x\in X}{|f(x)|>\lambda}} \end{align*}$

測度空間 $(X,\mathcal{F},\mu)$ としては， $X=\R$ , $\mathcal{F}$ は $\R$ のLebesugue集合やBorel集合， $\mu$ をLebesgue測度として考えれば良い．また，定義から容易に分かるように，

$\begin{align*} \mu_{f}(\lambda)=\int_{\set{x\in X}{|Tf(x)|>\lambda}}\,dx \end{align*}$

であることにも注意する．

この分布関数を用いて，弱 $L^p$ 有界性を定義する．

$(X,\mathcal{F},\mu)$ を測度空間とする． $p\in[1,\infty)$ に対して， $L^{p}(X)$ 上の作用素 $T$ が弱 $L^{p}$ 有界であるとは，ある $C>0$ が存在して，任意の $\lambda>0$ と $f\in L^p(X)$ に対して

$\begin{align*} \mu_{Tf}(\lambda)\le C\bra{\frac{\|f\|_{p}}{\lambda}}^{p} \end{align*}$

が成り立つことをいう．

冒頭でも述べたように，作用素 $T$ が $L^p$ 有界であれば，弱 $L^p$ 有界である．

実際，作用素 $T$ が $L^p$ 有界であれば，ある $C>0$ が存在して $\|Tf\|_{p}\le C\|f\|_{p}$ をみたす． $L^{p}$ 有界作用素 $T$ は，任意の $f\in L^{p}(X)$ と $\lambda>0$ に対して，

$\begin{align*} \mu_{Tf}(\lambda) =&\int_{\{\abs{Tf(x)}>\lambda\}}\,dx \\\le&\int_{\{|Tf(x)|>\lambda\}}\bra{\frac{|Tf(x)|}{\lambda}}^{p}\,dx \\\le&\int_{X}\bra{\frac{|Tf(x)|}{\lambda}}^{p}\,dx \\=&\bra{\frac{\|Tf\|_{p}}{\lambda}}^{p} \\\le& C^{p}\bra{\frac{\|f\|_{p}}{\lambda}}^{p} \end{align*}$

を満たす．したがって， $L^{p}$ 有界作用素 $T$ は弱 $L^{p}$ 有界作用素である．

この意味で，弱 $L^p$ 有界性ではないことを強調して， $L^p$ 有界性を「強 $L^p$ 有界性」と言うこともある．

なお，ここでは本質的に[Chebyshevの不等式]を用いている．

[Chebyshevの不等式]　 $(X,\mathcal{F},\mu)$ を測度空間とする．任意の $f\in L^p(X)$ と $\lambda>0$ に対して，次の不等式が成り立つ．

$\begin{align*} \mu_f(\lambda)\le\bra{\frac{\|f\|_{p}}{\lambda}}^p \end{align*}$

Marcinkiewiczの実補間定理

この節では，Marcinkiewiczの実補間定理の主張とその証明を述べる．

補題

準備として，まずは補題を示す．

$(X,\mathcal{F},\mu)$ を測度空間とする．任意の $f\in L^1_{loc}(X)$ と $p\in[1,\infty)$ に対して，

$\begin{align*} \int_{X}|f(x)|^{p}\,dx =p\int_0^{\infty}\sigma^{p-1}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma \end{align*}$

が成り立つ．また， $a,b\in\R$ ( $a\le b$ )に対して， $a\le|f(x)|\le b$ であるとき，

$\begin{align*} \int_{X}|f(x)|^{p}\,dx =p\int_{a}^{b}\sigma^{p-1}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma \end{align*}$

が成り立つ．

[証明]

補題の前半は，

$\begin{align*} \int_{X}|f(x)|^{p}\,dx =&\int_{X}\int_0^{|f(x)|}p\sigma^{p-1}\,d\sigma\,dx \\=&\int_{X}\int_0^{\infty}p\sigma^{p-1}I_{[0,|f(x)|]}(\sigma)\,d\sigma\,dx \\=&\int_0^{\infty}\int_{X}p\sigma^{p-1}I_{\{0<\sigma<|f(x)|\}}(\sigma)\,dx\,d\sigma \\=&p\int_0^{\infty}\sigma^{p-1}\int_{X}I_{\{\sigma<|f(x)|\}}(x)\,dx\,d\sigma \\=&p\int_0^{\infty}\sigma^{p-1}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma \end{align*}$

となって従う．

補題の後半は， $\sigma$ が $0\le\sigma<a$ または $b<\sigma$ をみたすとき $a\le|f(x)|\le b$ により $\mu_{f}(\sigma)=0$ だから，前半の等式の右辺の積分範囲が $[a,b]$ になることが分かる．

[証明終]

Marcinkiewiczの実補間定理とその証明

今示した補題により，[Marcinkiewiczの実補間定理]を示す．

[Marcinkiewiczの実補間定理]　 $(X,\mathcal{F},\mu)$ を測度空間とする． $q\in(1,\infty]$ とする．次の1〜3を満たす $L^1(X)+L^{q}(X)=\set{f_1+f_2}{f_1\in L^1(X),f_2\in L^{q}(X)}$ 上の作用素 $T$ を考える．

$f\in L^1+L^{q}$ の任意の分解 $f=f_1+f_2\ \ (f_1\in L^1(X),f_2\in L^{q}(X))$ に対して, $x\in X$ 上ほとんど至るところで $|Tf(x)|\le|Tf_1(x)|+|Tf_2(x)|$ が成り立つ．
$T$ は弱 $L^1$ 有界である．
- $q\in(1,\infty)$ のとき， $T$ は弱 $L^q$ 有界である．
- $q=\infty$ のとき，ある $C>0$ が存在して，任意の $f\in L^\infty(X)$ に対して， $x\in X$ 上ほとんど至るところで $|Tf(x)|\le C\|f\|_{\infty}$ が成り立つ．

このとき，任意の $p\in(1,q)$ に対して， $T$ は $L^{p}$ 有界作用素に拡張できる．

[証明]

$q\in(1,\infty)$ のときと， $q=\infty$ のときで分けて証明する．

Step.1

$q\in(1,\infty)$ のときを示す．

任意の $p\in(1,q),f\in L^{p}(X)$ と $\lambda>0$ に対して，

$\begin{align*} &f_1 :=\begin{cases} f-\lambda&(f(x)>\lambda)\\ 0&(|f(x)|\le\lambda)\\ f+\lambda&(f(x)<-\lambda) \end{cases}, \\&f_2:=f-f_1 \end{align*}$

とする． $f\in L^{p}(X)$ から $\mu(\mrm{supp}{f_1})=\mu\bra{\set{x\in X}{|f(x)|>\lambda}}<\infty$ なので，

$\begin{align*} \int_{X}|f_1(x)|\,dx =&\int_{\mrm{supp}f_1}|f_1(x)|\,dx \\\le&\bra{\int_{\mrm{supp}f_1}\,dx}^{1/p'}\bra{\int_{\mrm{supp}f_1}|f_1(x)|^{p}\,dx}^{1/p} \\\le&\bra{\int_{\mrm{supp}f_1}\,dx}^{1/p'}\bra{\int_{X}|f(x)|^{p}\,dx}^{1/p} <\infty \end{align*}$

である．ここに， $p'$ は $p$ のHölder共役である．また， $\|f_2\|_{L^{\infty}(X)}\le\lambda$ だから，

$\begin{align*} \int_{X}|f_2(x)|^{q}\,dx \le{\|f_2\|_{L^{\infty}}}^{q-p}\int_{X}|f_2(x)|^{p}\,dx <\infty \end{align*}$

だから， $f_1\in L^1$ と $f_2\in L^q$ が成り立つ．

したがって，仮定1から $\left[|Tf_1(x)|\le\frac{\lambda}{2}\right.$ かつ $\left.|Tf_2(x)|\le\frac{\lambda}{2}\right]$ であれば， $|Tf(x)|\le\lambda$ をみたす．この対偶を考えて， $|Tf(x)|>\lambda$ なら $\left[|Tf_1(x)|>\frac{\lambda}{2}\right.$ または $\left.|Tf_2(x)|>\frac{\lambda}{2}\right]$ が成り立つ．

したがって，補題，仮定2，仮定3より

$\begin{align*} \mu_{Tf}(\lambda) \le&\mu_{Tf_1}\bra{\frac{\lambda}{2}}+\mu_{Tf_2}\bra{\frac{\lambda}{2}} \\\le&\frac{2C}{\lambda}\|f_1\|_{L^1}+\frac{2C}{\lambda^{q}}\|f_2\|_{L^q}^{q} \\\le&\frac{C}{\lambda}\int_{X}|f_1(x)|\,dx+\frac{C}{\lambda^{q}}\int_{X}|f_2(x)|^{q}\,dx \\=&\frac{C}{\lambda}\int_0^{\infty}\mu_{f_1}(\sigma)\,d\sigma +\frac{C}{\lambda^{q}}\int_{\{|f(x)|>\lambda\}}|f_2(x)|^{q}\,dx +\frac{C}{\lambda^{q}}\int_{\{|f(x)|\le\lambda\}}|f_2(x)|^{q}\,dx \\=&\frac{C}{\lambda}\int_{\lambda}^{\infty}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma +\frac{C}{\lambda^{q}}\int_{\{|f(x)|>\lambda\}}\lambda^{q}\,dx +\frac{C}{\lambda^{q}}\int_{\{|f(x)|\le\lambda\}}|f(x)|^{q}\,dx \\\le&\frac{C}{\lambda}\int_{\lambda}^{\infty}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma+C\mu_{f}(\lambda) +\frac{Cq}{\lambda^{q}}\int_0^{\lambda}\sigma^{q-1}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma \end{align*}$

である．ただし， $C$ は適当な定数であり，一定とは限らない(以下同様)．よって，

$\begin{align*} \|Tf\|_{p}^{p} =&p\int_0^{\infty}\lambda^{p-1}\mu_{Tf}(\lambda)\,d\lambda \\\le& p\int_0^{\infty}\lambda^{p-1}\bra{\frac{C}{\lambda}\int_{\lambda}^{\infty}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma +C\mu_{f}(\lambda) +\frac{Cq}{\lambda^{q}}\int_0^{\lambda}\sigma^{q-1}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma}\,d\lambda \\\le& Cp\bra{\int_0^{\infty}\lambda^{p-2}\int_{\lambda}^{\infty}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma\,d\lambda +\int_0^{\infty}\lambda^{p-1}\mu_{f}(\lambda)\,d\lambda +\int_0^{\infty}\lambda^{p-q-1}\int_0^{\lambda}\sigma^{q-1}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma\,d\lambda} \\\le& C\bra{\int_0^{\infty}\mu_{f}(\sigma)\int_0^{\sigma}\lambda^{p-2}\,d\lambda\,d\sigma +\int_0^{\infty}|f(x)|^{p}\,d\lambda +\int_0^{\infty}\sigma^{q-1}\mu_{f}(\sigma)\int_{\sigma}^{\infty}\lambda^{p-q-1}\,d\lambda\,d\sigma} \\\le& C\bra{\int_0^{\infty}\sigma^{p-1}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma +\|f\|_{p}^{p} +\int_0^{\infty}\sigma^{p-1}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma} \\\le& C\|f\|_{p}^{p} \end{align*}$

が従う．

Step.2

$q=\infty$ のときを示す．

任意の $p\in(1,\ q),\ f\in L^{p},\ \lambda>0$ に対して，

$\begin{align*} &f_1 :=\begin{cases} f-\lambda&(f(x)>\lambda)\\ 0&(|f(x)|\le\lambda)\\ f+\lambda&(f(x)<-\lambda) \end{cases}, \\&f_2:=f-f_1 \end{align*}$

とする．

[1]と同様に， $f_1\in L^1,\ f_2\in L^{\infty}$ だから，Step.1から

$\begin{align*} |Tf(x)| \le&|Tf_1(x)|+|Tf_2(x)| \\\le&|Tf_1(x)|+C\nor{f_2}_{L^{\infty}} \\\le&|Tf_1(x)|+C\lambda \end{align*}$

だから， $Tf(x)>2C\lambda\Ra Tf_1(x)>C\lambda$ が成り立つ．

したがって，補題4.1，仮定2，仮定3より

$\begin{align*} \mu_{Tf}(2C\lambda) \le&\mu_{Tf_1}(C\lambda) \\\le&\frac{C}{\lambda}\|f_1\|_{L^1} \\=&\frac{C}{\lambda}\int_{X}|f_1(x)|\,dx \\=&\frac{C}{\lambda}\int_0^{\infty}\mu_{f_1}(\sigma)\,d\sigma \\=&\frac{C}{\lambda}\int_{\lambda}^{\infty}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma \end{align*}$

である．よって，

$\begin{align*} \|Tf\|_{p}^{p} =&p\int_0^{\infty}\lambda^{p-1}\mu_{f}(\lambda)\,d\lambda \\=&p(2C)^{p}\int_0^{\infty}\lambda^{p-1}\mu_{f}(2C\lambda)\,d\lambda \\\le& C\int_0^{\infty}\lambda^{p-1}\cdot\frac{C}{\lambda}\int_{\lambda}^{\infty}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma\,d\lambda \\\le& Cp\int_0^{\infty}\lambda^{p-2}\int_{\lambda}^{\infty}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma\,d\lambda \\\le& C\int_0^{\infty}\mu_{f}(\sigma)\int_0^{\sigma}\lambda^{p-2}\,d\lambda\,d\sigma \\\le& C\int_0^{\infty}\sigma^{p-1}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma \\\le& C\|f\|_{p}^{p} \end{align*}$

が従う．

[証明終]

参考文献

以下は参考文献である．

「非線形発展方程式の実解析的方法」(小川卓克著，丸善出版(シュプリンガー現代数学シリーズ))
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“Introduction to Nonlinear Dispersive Equations”(Felipe Linares, Gustavo Ponce 著，Springer)