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弱Lp有界性とマルチンキーヴィッツの実補間定理

関数空間の補間定理として,[Marcinkiewicz(マルチンキーヴィッツ)の実補間定理]がある.

定義はのちに述べるが,作用素のL^p有界性には,(普通の)L^p有界性と弱L^p有界性がある.言葉からも分かるように,作用素TL^p有界であれば,弱L^p有界である.

[Marcinkiewiczの実補間定理]は,ある種の三角不等式を満たす作用素Tが弱L^1有界性と弱L^q有界性(1<q)をもつとき,任意のp\in(1,q)に対して作用素TがL^p有界性をもつことを保証する定理である.

つまり,両端L^1L^qで弱有界であれば,その間でL^p有界となる.「両端は弱でよい」というのが[Marcinkiewiczの実補間定理]の優れた点である.

また,非線形作用素にも適用できる点も優れている.

なお,日本ではMarcinkiewiczは様々な発音で読まれるが,「マルチンキェーヴィツ」がMarcinkiewiczの正確な発音に近いようである.

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Lp有界性と弱Lp有界性

まず,L^p有界性を定義する.

(X,\mathcal{F},\mu)を測度空間とする.p\in[1,\infty]に対して,L^{p}(X)上の作用素TL^{p}有界であるとは,あるC>0が存在して,任意のf\in L^p(X)に対して

\begin{align*} \|Tf\|_{p}\le C\|f\|_{p} \end{align*}

が成り立つことをいう.

なお,一般に集合S上の作用素Tとは,T:S\to Sのことをいう.

次に,上位集合(優位集合)と分布関数を定義する.

(X,\mathcal{F},\mu)を測度空間とする.X上の実数値または複素数値関数f\lambda\ge0に対して,

\begin{align*} \set{x\in X}{|f(x)|>\lambda} \end{align*}

を上位集合(優位集合,superlevel set)という.また,次で定まる関数\mu_{f}:\R_{\ge0}\to\R_{\ge0}を分布関数という:

\begin{align*} \mu_{f}(\lambda)=\mu\bra{\set{x\in X}{|f(x)|>\lambda}} \end{align*}

測度空間(X,\mathcal{F},\mu)としては,X=\R, \mathcal{F}\RのLebesugue集合やBorel集合,\muをLebesgue測度として考えれば良い.また,定義から容易に分かるように,

\begin{align*} \mu_{f}(\lambda)=\int_{\set{x\in X}{|Tf(x)|>\lambda}}\,dx \end{align*}

であることにも注意する.

この分布関数を用いて,弱L^p有界性を定義する.

(X,\mathcal{F},\mu)を測度空間とする.p\in[1,\infty)に対して,L^{p}(X)上の作用素Tが弱L^{p}有界であるとは,あるC>0が存在して,任意の\lambda>0f\in L^p(X)に対して

\begin{align*} \mu_{Tf}(\lambda)\le C\bra{\frac{\|f\|_{p}}{\lambda}}^{p} \end{align*}

が成り立つことをいう.

冒頭でも述べたように,作用素TL^p有界であれば,弱L^p有界である.

実際,作用素TL^p有界であれば,あるC>0が存在して\|Tf\|_{p}\le C\|f\|_{p}をみたす.L^{p}有界作用素Tは,任意のf\in L^{p}(X)\lambda>0に対して,

\begin{align*} \mu_{Tf}(\lambda) =&\int_{\{\abs{Tf(x)}>\lambda\}}\,dx \\\le&\int_{\{|Tf(x)|>\lambda\}}\bra{\frac{|Tf(x)|}{\lambda}}^{p}\,dx \\\le&\int_{X}\bra{\frac{|Tf(x)|}{\lambda}}^{p}\,dx \\=&\bra{\frac{\|Tf\|_{p}}{\lambda}}^{p} \\\le& C^{p}\bra{\frac{\|f\|_{p}}{\lambda}}^{p} \end{align*}

を満たす.したがって,L^{p}有界作用素Tは弱L^{p}有界作用素である.

この意味で,L^p有界性ではないことを強調して,L^p有界性を「強L^p有界性」と言うこともある.

なお,ここでは本質的に[Chebyshevの不等式]を用いている.

[Chebyshevの不等式] (X,\mathcal{F},\mu)を測度空間とする.任意のf\in L^p(X)\lambda>0に対して,次の不等式が成り立つ.

\begin{align*} \mu_f(\lambda)\le\bra{\frac{\|f\|_{p}}{\lambda}}^p \end{align*}

Marcinkiewiczの実補間定理

この節では,Marcinkiewiczの実補間定理の主張とその証明を述べる.

補題

準備として,まずは補題を示す.

(X,\mathcal{F},\mu)を測度空間とする.任意のf\in L^1_{loc}(X)p\in[1,\infty)に対して,

\begin{align*} \int_{X}|f(x)|^{p}\,dx =p\int_0^{\infty}\sigma^{p-1}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma \end{align*}

が成り立つ.また,a,b\in\R (a\le b)に対して,a\le|f(x)|\le bであるとき,

\begin{align*} \int_{X}|f(x)|^{p}\,dx =p\int_{a}^{b}\sigma^{p-1}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma \end{align*}

が成り立つ.

[証明]

補題の前半は,

\begin{align*} \int_{X}|f(x)|^{p}\,dx =&\int_{X}\int_0^{|f(x)|}p\sigma^{p-1}\,d\sigma\,dx \\=&\int_{X}\int_0^{\infty}p\sigma^{p-1}I_{[0,|f(x)|]}(\sigma)\,d\sigma\,dx \\=&\int_0^{\infty}\int_{X}p\sigma^{p-1}I_{\{0<\sigma<|f(x)|\}}(\sigma)\,dx\,d\sigma \\=&p\int_0^{\infty}\sigma^{p-1}\int_{X}I_{\{\sigma<|f(x)|\}}(x)\,dx\,d\sigma \\=&p\int_0^{\infty}\sigma^{p-1}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma \end{align*}

となって従う.

補題の後半は,\sigma0\le\sigma<aまたはb<\sigmaをみたすときa\le|f(x)|\le bにより\mu_{f}(\sigma)=0だから,前半の等式の右辺の積分範囲が[a,b]になることが分かる.

[証明終]

Marcinkiewiczの実補間定理とその証明

今示した補題により,[Marcinkiewiczの実補間定理]を示す.

[Marcinkiewiczの実補間定理] (X,\mathcal{F},\mu)を測度空間とする.q\in(1,\infty]とする.次の1〜3を満たすL^1(X)+L^{q}(X)=\set{f_1+f_2}{f_1\in L^1(X),f_2\in L^{q}(X)}上の作用素Tを考える.

  1. f\in L^1+L^{q}の任意の分解f=f_1+f_2\ \ (f_1\in L^1(X),f_2\in L^{q}(X))に対して,x\in X上ほとんど至るところで|Tf(x)|\le|Tf_1(x)|+|Tf_2(x)|が成り立つ.
  2. Tは弱L^1有界である.
    • q\in(1,\infty)のとき,Tは弱L^q有界である.
    • q=\inftyのとき,あるC>0が存在して,任意のf\in L^\infty(X)に対して,x\in X上ほとんど至るところで|Tf(x)|\le C\|f\|_{\infty}が成り立つ.

このとき,任意のp\in(1,q)に対して,TL^{p}有界作用素に拡張できる.

[証明]

q\in(1,\infty)のときと,q=\inftyのときで分けて証明する.

Step.1

q\in(1,\infty)のときを示す.

任意のp\in(1,q),f\in L^{p}(X)\lambda>0に対して,

\begin{align*} &f_1 :=\begin{cases} f-\lambda&(f(x)>\lambda)\\ 0&(|f(x)|\le\lambda)\\ f+\lambda&(f(x)<-\lambda) \end{cases}, \\&f_2:=f-f_1 \end{align*}

とする. f\in L^{p}(X)から \mu(\mrm{supp}{f_1})=\mu\bra{\set{x\in X}{|f(x)|>\lambda}}<\inftyなので,

\begin{align*} \int_{X}|f_1(x)|\,dx =&\int_{\mrm{supp}f_1}|f_1(x)|\,dx \\\le&\bra{\int_{\mrm{supp}f_1}\,dx}^{1/p'}\bra{\int_{\mrm{supp}f_1}|f_1(x)|^{p}\,dx}^{1/p} \\\le&\bra{\int_{\mrm{supp}f_1}\,dx}^{1/p'}\bra{\int_{X}|f(x)|^{p}\,dx}^{1/p} <\infty \end{align*}

である.ここに,p'pのHölder共役である.また,\|f_2\|_{L^{\infty}(X)}\le\lambdaだから,

\begin{align*} \int_{X}|f_2(x)|^{q}\,dx \le{\|f_2\|_{L^{\infty}}}^{q-p}\int_{X}|f_2(x)|^{p}\,dx <\infty \end{align*}

だから,f_1\in L^1f_2\in L^qが成り立つ.

したがって,仮定1から\left[|Tf_1(x)|\le\frac{\lambda}{2}\right. かつ \left.|Tf_2(x)|\le\frac{\lambda}{2}\right]であれば,|Tf(x)|\le\lambdaをみたす.この対偶を考えて,|Tf(x)|>\lambdaなら\left[|Tf_1(x)|>\frac{\lambda}{2}\right.または \left.|Tf_2(x)|>\frac{\lambda}{2}\right]が成り立つ.

したがって,補題,仮定2,仮定3より

\begin{align*} \mu_{Tf}(\lambda) \le&\mu_{Tf_1}\bra{\frac{\lambda}{2}}+\mu_{Tf_2}\bra{\frac{\lambda}{2}} \\\le&\frac{2C}{\lambda}\|f_1\|_{L^1}+\frac{2C}{\lambda^{q}}\|f_2\|_{L^q}^{q} \\\le&\frac{C}{\lambda}\int_{X}|f_1(x)|\,dx+\frac{C}{\lambda^{q}}\int_{X}|f_2(x)|^{q}\,dx \\=&\frac{C}{\lambda}\int_0^{\infty}\mu_{f_1}(\sigma)\,d\sigma +\frac{C}{\lambda^{q}}\int_{\{|f(x)|>\lambda\}}|f_2(x)|^{q}\,dx +\frac{C}{\lambda^{q}}\int_{\{|f(x)|\le\lambda\}}|f_2(x)|^{q}\,dx \\=&\frac{C}{\lambda}\int_{\lambda}^{\infty}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma +\frac{C}{\lambda^{q}}\int_{\{|f(x)|>\lambda\}}\lambda^{q}\,dx +\frac{C}{\lambda^{q}}\int_{\{|f(x)|\le\lambda\}}|f(x)|^{q}\,dx \\\le&\frac{C}{\lambda}\int_{\lambda}^{\infty}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma+C\mu_{f}(\lambda) +\frac{Cq}{\lambda^{q}}\int_0^{\lambda}\sigma^{q-1}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma \end{align*}

である.ただし,Cは適当な定数であり,一定とは限らない(以下同様).よって,

\begin{align*} \|Tf\|_{p}^{p} =&p\int_0^{\infty}\lambda^{p-1}\mu_{Tf}(\lambda)\,d\lambda \\\le& p\int_0^{\infty}\lambda^{p-1}\bra{\frac{C}{\lambda}\int_{\lambda}^{\infty}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma +C\mu_{f}(\lambda) +\frac{Cq}{\lambda^{q}}\int_0^{\lambda}\sigma^{q-1}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma}\,d\lambda \\\le& Cp\bra{\int_0^{\infty}\lambda^{p-2}\int_{\lambda}^{\infty}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma\,d\lambda +\int_0^{\infty}\lambda^{p-1}\mu_{f}(\lambda)\,d\lambda +\int_0^{\infty}\lambda^{p-q-1}\int_0^{\lambda}\sigma^{q-1}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma\,d\lambda} \\\le& C\bra{\int_0^{\infty}\mu_{f}(\sigma)\int_0^{\sigma}\lambda^{p-2}\,d\lambda\,d\sigma +\int_0^{\infty}|f(x)|^{p}\,d\lambda +\int_0^{\infty}\sigma^{q-1}\mu_{f}(\sigma)\int_{\sigma}^{\infty}\lambda^{p-q-1}\,d\lambda\,d\sigma} \\\le& C\bra{\int_0^{\infty}\sigma^{p-1}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma +\|f\|_{p}^{p} +\int_0^{\infty}\sigma^{p-1}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma} \\\le& C\|f\|_{p}^{p} \end{align*}

が従う.

Step.2

q=\inftyのときを示す.

任意のp\in(1,\ q),\ f\in L^{p},\ \lambda>0に対して,

\begin{align*} &f_1 :=\begin{cases} f-\lambda&(f(x)>\lambda)\\ 0&(|f(x)|\le\lambda)\\ f+\lambda&(f(x)<-\lambda) \end{cases}, \\&f_2:=f-f_1 \end{align*}

とする.

[1]と同様に,f_1\in L^1,\ f_2\in L^{\infty}だから,Step.1から

\begin{align*} |Tf(x)| \le&|Tf_1(x)|+|Tf_2(x)| \\\le&|Tf_1(x)|+C\nor{f_2}_{L^{\infty}} \\\le&|Tf_1(x)|+C\lambda \end{align*}

だから,Tf(x)>2C\lambda\Ra Tf_1(x)>C\lambdaが成り立つ.

したがって,補題4.1,仮定2,仮定3より

\begin{align*} \mu_{Tf}(2C\lambda) \le&\mu_{Tf_1}(C\lambda) \\\le&\frac{C}{\lambda}\|f_1\|_{L^1} \\=&\frac{C}{\lambda}\int_{X}|f_1(x)|\,dx \\=&\frac{C}{\lambda}\int_0^{\infty}\mu_{f_1}(\sigma)\,d\sigma \\=&\frac{C}{\lambda}\int_{\lambda}^{\infty}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma \end{align*}

である.よって,

\begin{align*} \|Tf\|_{p}^{p} =&p\int_0^{\infty}\lambda^{p-1}\mu_{f}(\lambda)\,d\lambda \\=&p(2C)^{p}\int_0^{\infty}\lambda^{p-1}\mu_{f}(2C\lambda)\,d\lambda \\\le& C\int_0^{\infty}\lambda^{p-1}\cdot\frac{C}{\lambda}\int_{\lambda}^{\infty}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma\,d\lambda \\\le& Cp\int_0^{\infty}\lambda^{p-2}\int_{\lambda}^{\infty}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma\,d\lambda \\\le& C\int_0^{\infty}\mu_{f}(\sigma)\int_0^{\sigma}\lambda^{p-2}\,d\lambda\,d\sigma \\\le& C\int_0^{\infty}\sigma^{p-1}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma \\\le& C\|f\|_{p}^{p} \end{align*}

が従う.

[証明終]

参考文献

以下は参考文献である.

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