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バナッハ空間とヒルベルト空間の完備でない部分空間の例

完備なノルム空間をBanach(バナッハ)空間といい,完備な内積空間をHilbert(ヒルベルト)空間という.

Banach空間(Hilbert空間)はもとより線型空間なので,線型空間としての部分空間を考えることができる.この部分空間に元の空間と同じノルム(内積)を与えたものはノルム空間(内積空間)となるが,完備性を持つとは限らない.

すなわち,Banach空間の部分空間が同じノルムでBanach空間になるとは限らないし,Hilbert空間の部分空間が同じ内積でHilbert空間になるとは限らない.

本稿では,Hilbert空間の部分ノルム空間で完備でないものの例を考える.その際,以下の事実に注意する.

一般に,Banach空間,Hilbert空間の部分空間が同じノルムで完備であるためには,部分空間が閉であることが必要十分である.したがって,Banach空間,Hilbert空間の閉でない部分ノルム空間は完備でない.

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ノルム空間と部分空間

ノルム空間の定義をみる.

K上の線型空間\mathcal{X}に対して,\mathcal{X}上の関数\|\cdot\|:\mathcal{X}\to\R_{\ge0}がノルムであるとは,以下を同時に満たすことをいう.

  1. \|u\|=0\iff u=o
  2. \|\alpha u\|=|\alpha|\|u\| (\alpha\in K,u\in\mathcal{X})
  3. \|u+v\|\le\|u\|+\|v\| (u,v\in\mathcal{X})

また,線型空間とノルムの組(\mathcal{X},\|\cdot\|)を体K上のノルム空間という.ノルムが明らかなときは,単に\mathcal{X}を部分ノルム空間という.

大雑把に言えば,ノルムは線型空間の元の「大きさ」を表す写像のことである.

したがって,d(u,v):=\|u-v\|_{\mathcal{X}}により写像d:\mathcal{X}\times\mathcal{X}\to\R_{\ge0}を定めると,d\mathcal{X}上の距離となる.

また,線型空間の部分空間を次のように定義する.

K上の線型空間\mathcal{X}に対して,集合として\mathcal{Y}\subset\mathcal{X}を満たし,\mathcal{X}と同じ和とスカラー倍が定義された線型空間\mathcal{Y}を,\mathcal{X}の線型部分空間,または部分空間という.

ノルム空間(\mathcal{X},\|\cdot\|)に対して,\mathcal{X}の部分空間\mathcal{Y}とノルム\|\cdot\|の組(\mathcal{Y},\|\cdot\|)はノルム空間となる.

閉部分空間と完備性

ノルム空間(\mathcal{X},\|\cdot\|)に対して,\mathcal{X}の部分空間であって,ノルム\|\cdot\|に関して閉集合になっているものを閉部分空間という.詳しくは以下のように定義される.

ノルム空間(\mathcal{X},\|\cdot\|)に対して,\mathcal{X}の部分空間\mathcal{Y}がノルム\|\cdot\|に関して閉であるとは,次が成り立つことをいう:\mathcal{Y}上の点列\{u_n\}_{n\in\N}u\in\mathcal{X}

\begin{align*} \lim\limits_{n\to\infty}\|u_n-u\|=0 \end{align*}

を満たすなら,u\in\mathcal{Y}が成り立つ.

また,ノルム空間,内積空間の完備性は以下で定義される.

ノルム空間(\mathcal{X},\|\cdot\|)が完備であるとは,\mathcal{X}の任意のCauchy列が,\mathcal{X}の収束列である.ここで,\mathcal{X}の点列\{u_n\}がCauchy列であるとは,任意の\epsilon>0に対して,あるn_0\in\Nが存在して,

\begin{align*} m,n>n_0\Ra\|u_n-u\|<\epsilon \end{align*}

を満たすことをいう.このとき,ノルム空間(\mathcal{X},\|\cdot\|)をBanach空間という.

また,内積空間をノルム空間とみなすことで同様に内積空間の完備性が定義でき,完備な内積空間をHilbert空間という.

Banach空間の部分空間について,閉であることと完備であることは同値である.

詳しく書くと,以下の定理が成り立つ.

(\mathcal{X},\|\cdot\|)をBanach空間,\mathcal{Y}\mathcal{X}の部分空間とする.このとき,次は同値である.

  1. ノルム空間(\mathcal{Y},\|\cdot\|)は完備
  2. \mathcal{Y}はノルム\|\cdot\|に関して閉

[証明]

[1\Ra2の証明] \mathcal{Y}上の点列\{u_n\}_{n\in\N}u\in\mathcal{X}

\begin{align*} \lim_{n\to\infty}\|u_n-u\|=0 \end{align*}

を満たすとする.一般に収束列はCauchy列であることに注意すると,収束列\{u_n\}_{n\in\N}(\mathcal{Y},\|\cdot\|)上のCauchy列なので,(\mathcal{Y},\|\cdot\|)の完備性(1の仮定)からv\in\mathcal{Y}が存在して

\begin{align*} \lim_{n\to\infty}\|u_n-v\|=0 \end{align*}

が成り立つ.よって,極限の一意性からu=vとなり,v\in\mathcal{Y}だったからu\in\mathcal{Y}が従う.

[2\Ra1の証明] ノルム空間(\mathcal{Y},\|\cdot\|)上の点列\{u_n\}_{n\in\N}がCauchy列であるとする.このとき,点列\{u_n\}_{n\in\N}はBanach空間(\mathcal{X},\|\cdot\|)上のCauchy列でもあるから,完備性よりu\in\mathcal{X}が存在して

\begin{align*} \lim_{n\to\infty}\|u_n-u\|=0 \end{align*}

が成り立つ.よって,部分空間\mathcal{Y}が閉であること(2の仮定)から,u\in\mathcal{Y}である.これより,点列\{u_n\}_{n\in\N}(\mathcal{Y},\|\cdot\|)上の収束列であることが従う.

[証明終]

この定理の対偶を考えることより,Banach空間(\mathcal{X},\|\cdot\|)に対して,\mathcal{X}の部分空間でノルム\|\cdot\|に関して閉でないものが,\|\cdot\|に関して完備でない部分空間の例となる.

また,内積空間に関しても同様な以下の系が成り立つ.

(\mathcal{X},\anb{\cdot,\cdot})をHilbert空間,\mathcal{Y}\mathcal{X}の部分空間とする.このとき,次は同値である.

  1. 内積空間(\mathcal{Y},\anb{\cdot,\cdot})は完備
  2. \mathcal{Y}は内積\anb{\cdot,\cdot}に依るノルムに関して閉

閉でない部分空間の例

ここでは,Hilbert空間の部分空間で完備でないものの例を考える.その例はHilbert空間をBanach空間とみなせるから,Banach空間の完備でない部分空間でもある.

具体的には,Lebesgue空間L^2の元で,1次の重みxを付けてもL^2に属するような関数の空間は閉でないL^2の部分空間である.すなわち,以下が成り立つ.

I:=[1,\infty)とする.Lebesgue空間L^2:=L^2(I)をHilbert空間とみるとき,

\begin{align*} X:=\set{u\in L^2}{\big\||\cdot|u\big\|_{L^2(I)}:=\bra{\dint_{I}\big||x|u(x)\big|^2\,dx}^{1/2}<\infty} \end{align*}

L^2と同じ和,スカラー倍を定義すると,XL^2の閉でない部分空間である.

[証明]

2つのStepに分けて示す.

Step 1.

XL^2の部分空間であることを示す.

任意のu,v\in X\alpha,\beta\in\Cとすると,L^2が線型空間であることと,明らかな包含関係X\subset L^2により

\begin{align*} \alpha u+\beta v\in L^2 \end{align*}

である.また,Minkowskiの不等式(L^2の三角不等式)により,

\begin{align*} \big\||\cdot|(\alpha u+\beta v)\big\|_{L^2(I)} =&\big\||\cdot|\alpha u+|\cdot|\beta v\big\|_{L^2(I)} \\\le&|\alpha|\big\| |\cdot|u \big\|_{L^2(I)}+|\beta|\big\| |\cdot|v \big\|_{L^2(I)}<\infty \end{align*}

だから,\alpha u+\beta v\in Xが従う.よって,XL^2の部分空間である.

Step 2.

Xが閉でないことを示す.

\begin{align*} &u_n(x)=\frac{1}{x}\sqrt{\dfrac{n}{x^2+n}}\quad(n\in\N), \\&u(x)=\frac{1}{x} \end{align*}

とする.

関数列\{u_n\}_{n\in\N}Xの関数列であって,関数列\{u_n\}_{n\in\N}L^2において極限u\in L^2\setminus Xをもつことを示す.

任意のx\in Iに対して1\le xだから,任意のn\in\Nに対して,

\begin{align*} \|u_n\|_{L^2(I)}^2 \le&\big\||\cdot|u_n\big\|_{L^2(I)}^2 =\int_{I}|xu_n(x)|^2\,dx =\int_{I}\frac{n}{x^2+n}\,dx \\=&\int_{\alpha_n}^{\pi/2}\frac{n}{n\tan^2\theta+n}\cdot\frac{\sqrt{n}\,d\theta}{\cos^2\theta} \\&\bra{x:=\sqrt{n}\tan\theta,\alpha_n:=\tan^{-1}n^{-1/2}} \\=&\sqrt{n}\int_{\alpha_n}^{\pi/2}d\theta \le \sqrt{n}\int_0^{\pi/2}d\theta =\frac{\pi\sqrt{n}}{2}<\infty \end{align*}

だから,u_n\in Xである.また,

\begin{align*} \nor{u_n-n}_{L^2(I)}^2 =&\int_{I}\abs{\dfrac{1}{x}\sqrt{\frac{n}{x^2+n}}-\frac{1}{x}}^2\,dx \\=&\int_{I}\abs{\dfrac{\sqrt{n}-\sqrt{x^2+n}}{x\sqrt{x^2+n}}}^2\,dx \\=&\int_{I}\abs{\dfrac{n-(x^2+n)}{x\sqrt{x^2+n}(\sqrt{n}+\sqrt{x^2+n})}}^2\,dx \\=&\int_{I}\dfrac{x^4}{x^2(x^2+n)(\sqrt{n}+\sqrt{x^2+n})^2}\,dx \\\le&\int_{I}\dfrac{x^2}{(x^2+n)^2}\,dx \end{align*}

である.任意のn\in\Nに対して

\begin{align*} \frac{x^2}{(x^2+n)^2}\le\frac{1}{x^2} \end{align*}

であり,右辺は

\begin{align*} \int_{I}\frac{1}{x^2}\,dx=1<\infty \end{align*}

を満たし,各x\in I

\begin{align*} \lim_{n\to\infty}\frac{x^2}{(x^2+n)^2}=0 \end{align*}

だから,Lebesgueの収束定理から

\begin{align*} \lim_{n\to\infty}\int_{I}\frac{x^2}{(x^2+n)^2}\,dx=0 \end{align*}

が従う.よって,0\le\nor{u_n-n}_{L^2(I)}^2と併せて,L^2上でu_nuに収束する.一方,

\begin{align*} \big\||\cdot|u\big\|_{L^2(I)} =\int_{I}|xu(x)|^2\,dx =\int_{I}dx=|I|=\infty \end{align*}

だから,u\notin Xを得る.以上より,命題が従う.

[証明終]

L^2の定義域をIから全体\Rに変えても同様に

\begin{align*} Y:=\set{u\in L^2(\R)}{\big\||\cdot|u\big\|_{L^2(\R)}<\infty} \end{align*}

が閉でない部分空間となる.

実際,上の命題で与えたYの関数列\{u_n\}L^2(\R)の関数u\R全体に0-拡張したものを考えれば,Yが閉でないことが分かる.

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