Riesz-Thorinの複素補間定理とその証明

関数解析
関数解析

作用素の中でも有界作用素は様々な良い性質をもちます.

[Riesz(リース)-Thorin(ソリン,トーリン)の複素補間定理]は1つの有界作用素が2つの有界性を持つとき「その間の有界性」を保証する定理の1つで,大雑把には次のように述べられます.

作用素$T$が$L^{p_0}\to L^{q_0}$と$L^{p_1}to L^{q_1}$の有界性をもつとき,$\theta\in(0,1)$に対して

   \begin{align*}p_{\theta}:=\bra{\frac{1-\theta}{p_0}+\frac{\theta}{p_1}}^{-1},\quad q_{\theta}:=\bra{\frac{1-\theta}{q_0}+\frac{\theta}{q_1}}^{-1}\end{align*}

とすると$T$は$L^{p_{\theta}}\to L^{q_{\theta}}$の有界性をもつ.

座標平面上の点$(p_{\theta},q_{\theta})$は2点$(p_0,q_0)$, $(p_1,q_1)$を結ぶ線分の内分点となりますね.

つまり,ある2点$(p,q)=(p_0,q_0),(p_1,q_1)$で作用素$T$が$L^p\to L^q$の有界性があれば,この2点を結ぶ線分上の任意の点$(p’,q’)$においても,$T$は$L^{p’}\to L^{q’}$の有界性をもつというわけですね.

ある2つの状況で成り立っており,それらの「間」の場合にも成り立つことを保証する定理を一般に補間定理といいます.

[Riesz-Thorinの複素補間定理]の証明には,[Hadamard-Phragmén-Lindelöfの三線定理]を用います.

三線定理

次の定理を[Hadamard-Phragmén-Lindelöfの三線定理]といいます.

[Hadamard-Phragmén-Lindelöfの三線定理] 複素関数$F$を

   \begin{align*}S:=\set{x+yi\in\C}{x\in[0,1],y\in\R}\end{align*}

で連続かつ有界で,$S$の内部$S^{\circ}$で正則であるとする.$M_0,M_1>0$が

   \begin{align*}\sup_{y\in\R}|F(iy)|\le M_0,\quad \sup_{y\in\R}|F(1+iy)|\le M_1\end{align*}

を満たすとすると,任意の$z=x+iy\in S^{\circ}$に対して,$|F(z)|\le M_0^{1-x}M_1^{x}$が成り立つ.

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$G(z):=\frac{F(z)}{M_0^{1-z}M_1^{z}}$とし,$n\in\N_{>0}$に対して,$G_n(z):=G(z)e^{(z^2-1)/n}$とする.

$G$が有界であることに注意すると,

   \begin{align*}\sup_{x\in[0,1]}|G_n(x+iy)| =&\sup_{x\in[0,1]}|G(x+iy)|e^{-y^2/n} \\\to&0\quad(|y|\to\infty)\end{align*}

だから,$R>0$が存在して,$|y|\ge R$なら$\sup\limits_{x\in[0,1]}|G_n(x+iy)|\le1$を満たす.また,任意の$z=x+iy\in S$に対して,

   \begin{align*}|G_n(z)| =&|G(z)e^{(x^2+ixy-y^2-1)/n}| \\=&|G(z)|e^{-y^2/n} \le|G(z)|\end{align*}

だから,

   \begin{align*}\sup_{y\in\R}|G_n(iy)| \le&\sup_{y\in\R}|G(iy)| \\\le&\abs{\frac{F(iy)}{M_0}}\le1, \\\sup_{y\in\R}|G_n(1+iy)| \le&\sup_{y\in\R}|G(1+iy)| \\\le&\abs{\frac{F(1+iy)}{M_1}}\le1\end{align*}

である.$G_n$は$S’:=\set{x+yi\in\C}{x\in[0,1],y\in[-R,R]}$上で連続,$S’$の内部で正則だから,最大絶対値の原理から

   \begin{align*}\sup_{z\in S'}|G_n(z)|\le\sup_{z\in\partial S'}|G_n(z)|\le1\end{align*}

を得る.以上より,任意の$z\in S$に対して,$|G_n(z)|\le1$だから,$|G(z)|=\lim\limits_{n\to\infty}|G_n(z)|\le1$が従う.よって,

   \begin{align*}\abs{\frac{F(z)}{M_0^{1-z}M_1^{z}}}\le1 \iff |F(z)|\le M_0^{1-x}M_1^{x}\end{align*}

が従う.

Riesz-Thorinの補間定理

[三線定理]を用いて,次の[Riesz-Thorinの補間定理]を示します.

[Riesz-Thorinの補間定理] $p_0,q_0,p_0,q_0\ge1$は$p_0\neq p_1$, $q_0\neq q_1$を満たすとし,$(X,\mathcal{A},\mu)$, $(Y,\mathcal{B},\nu)$を測度空間とする.さらに,

  • 作用素$T$は$L^{p_0}(X)$から$L^{q_0}(Y)$への有界作用素で,このときの作用素ノルムは$M_0$
  • 作用素$T$は$L^{p_1}(X)$から$L^{q_1}(Y)$への有界作用素で,このときの作用素ノルムは$M_1$

を満たすとする.このとき,任意の$\theta\in(0,1)$に対して,$p_{\theta}$, $q_{\theta}$を

   \begin{align*}p_{\theta}:=\bra{\frac{1-\theta}{p_0}+\frac{\theta}{p_1}}^{-1},\quad q_{\theta}:=\bra{\frac{1-\theta}{q_0}+\frac{\theta}{q_1}}^{-1}\end{align*}

と定めると,$T$は$L^{p_{\theta}}(X)$から$L^{q_{\theta}}(Y)$への有界作用素で,このときの作用素ノルム$M_{\theta}$は$M_0^{1-\theta}M_1^{\theta}$以下である.

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一般の測度空間で定理を述べているので,$X=\R^n$, $Y=\R^n$のルベーグ空間でも問題なく成り立ちます.


任意に$\theta\in(0,1)$をとる.$X$上の単関数$f$と$Y$上の単関数$g$で,$\|f\|_{p_{\theta}}=\|g\|_{q_{\theta}}=1$を満たすものをそれぞれ$f=\dsum_{j} a_jI_{X_j}$, $g=\dsum_{k} a_kI_{Y_k}$とする.

また,$p_{\theta}’,q_{\theta}’,p_{z},q_{z}’\ge1$を

   \begin{align*}&p_{\theta}':=\bra{1-\frac{1}{p_{\theta}}}^{-1},\quad q_{\theta}':=\bra{1-\frac{1}{q_{\theta}}}^{-1}, \\&p_{z}:=\bra{\frac{1-z}{p_0}+\frac{z}{p_1}}^{-1},\quad q_{z}':=\bra{\frac{1-z}{q_0'}+\frac{z}{q_1'}}^{-1}\end{align*}

で定める.さらに,$S:=\{z\in\C|\Re{z}\in[0,1]\}$とし,$X\times S$上の関数$\phi$と$Y\times S$上の関数$\psi$をそれぞれ

   \begin{align*}&\phi(x,z):=\sum_j|a_j|^{p_{\theta}/p_{z}}e^{i\arg{a_j}}I_{X_j}(x), \\&\psi(y,z):=\sum_k|b_k|^{q_{\theta}'/q_{z}'}e^{i\arg{b_k}}I_{Y_k}(y)\end{align*}

で定め,$S$上の関数$F$を

   \begin{align*}F(z):=\anb{T(\phi(\cdot,z)),\psi(\cdot,z)}=\dint_{Y}T(\phi(\cdot,z))(y)\psi(y,z)\,dy\end{align*}

で定める.このとき,$T$と積分の線形性より,

   \begin{align*}F(z):=\sum_{j,k}|a_j|^{p_{\theta}/p_{z}}|b_k|^{q_{\theta}'/q_{z}'}e^{i(\arg{a_j}+\arg{b_k})}\anb{TI_{X_j},I_{Y_k}}\end{align*}

であって,各$k,j$に対して

   \begin{align*}&|a_j|^{p_{\theta}/p_{z}}=|a_j|^{p_{\theta}\bra{\frac{1-z}{p_0}+\frac{z}{p_1}}}, \\&|b_k|^{q_{\theta}'/q_{z}'}=|b_j|^{q_{\theta}'\bra{\frac{1-z}{q_0'}+\frac{z}{p_1'}}}\end{align*}

だから,$F$は$S$上連続で,$S$の内部で正則である.また,任意の$y\in\R$に対して,

   \begin{align*}\|\phi(\cdot,iy)\|_{p_0} =&\Big\|\sum_j|a_j|^{p_{\theta}/p_{iy}}I_{X_j}\Big\|_{p_0} \\=&\Big\||f|^{p_{\theta}\left(\frac{1-iy}{p_0}+\frac{iy}{p_1}\right)}\Big\|_{p_0} \\=&\||f|^{p_{\theta}/p_0}\|_{p_0} =\|f\|_{p_{\theta}}^{p_{\theta}/p_0} =1, \\\|\psi(\cdot,iy)\|_{q_0'} =&\Big\|\sum_k|b_k|^{q_{\theta}'/q_{iy}'}I_{Y_j}\Big\|_{q_0'} \\=&\Big\||f|^{q_{\theta}'\left(\frac{1-iy}{q_0'}+\frac{iy}{q_1'}\right)}\Big\|_{q_0'} \\=&\||f|^{q_{\theta}'/q_0'}\|_{q_0'} =\|f\|_{q_{\theta}'}^{q_{\theta}'/q_0'} =1, \\\|\phi(\cdot,1+iy)\|_{p_1} =&\Big\|\sum_j|a_j|^{p_{\theta}/p_{1+iy}}I_{X_j}\Big\|_{p_1} \\=&\Big\||f|^{p_{\theta}\left(\frac{1-(1+iy)}{p_0}+\frac{1+iy}{p_1}\right)}\Big\|_{p_1} \\=&\||f|^{p_{\theta}/p_1}\|_{p_1} =\|f\|_{p_{\theta}}^{p_{\theta}/p_1} =1 \\\|\psi(\cdot,1+iy)\|_{q_1'} =&\Big\|\sum_k|b_k|^{q_{\theta}'/q_{1+iy}'}I_{Y_j}\Big\|_{q_1'} \\=&\Big\||f|^{q_{\theta}'\left(\frac{1-(1+iy)}{q_0'}+\frac{1+iy}{q_1'}\right)}\Big\|_{q_1'} \\=&\||f|^{q_{\theta}'/q_1'}\|_{q_1'} =\|f\|_{q_{\theta}'}^{q_{\theta}'/q_1'} =1\end{align*}

だから,

   \begin{align*}|F(iy)| \le&\|T\phi(\cdot,iy)\|_{q_0}\|\psi(\cdot,iy)\|_{q_0'} \\\le&M_0\|\phi(\cdot,iy)\|_{p_0}\|\psi(\cdot,iy)\|_{q_0'} \\=&M_0, \\|F(1+iy)| \le&\|T\phi(\cdot,1+iy)\|_{q_1}\|\psi(\cdot,1+iy)\|_{q_1'} \\\le&M_1\|\phi(\cdot,1+iy)\|_{p_1}\|\psi(\cdot,1+iy)\|_{q_1'} \\=&M_1\end{align*}

が成り立つ.よって,三線定理から,任意の$z=x+iy\in S^{\circ}$に対して,

   \begin{align*}|\anb{Tf,g}| =&|\anb{T\phi(\cdot,\theta),\psi(\cdot,\theta)}| \\=&|F(\theta)| \le M_0^{1-\theta}M_1^{\theta}\end{align*}

が従う.単関数近似により,$\|f\|_{p_{\theta}}=\|g\|_{q_{\theta}}=1$を満たす任意の$f\in L^{p_{\theta}},g\in L^{q_{\theta}}$に対しても,$|\anb{Tf,g}|\le M_0^{1-\theta}M_1^{\theta}$が成り立つ.

したがって,双対性より

   \begin{align*}\|T\| =&\sup\limits_{\|f\|_{p_{\theta}}=1}\|Tf\|_{q_{\theta}} \\=&\sup\limits_{\|f\|_{p_{\theta}}=\|g\|_{q_{\theta}}=1}|\anb{Tf,g}| \\\le& M_0^{1-\theta}M_1^{\theta}\end{align*}

が従う.

[Riesz-Thorinの補間定理]は自由Schrödinger発展作用素の[分散型評価]の証明に[Riesz-Thorinの補間定理]の応用があります.

シュレディンガー方程式の分散性|基本解のLpLq評価の導出
シュレディンガー方程式の基本解に関してLpLq評価という基本的な不等式があります.LpLq評価はシュレディンガー方程式を考える上で重要なストリッカーツ評価のベースとなります.

参考文献

以下は参考文献です.

非線形発展方程式の実解析的方法

[小川卓克 著/丸善出版(シュプリンガー現代数学シリーズ)]

本書は関数空間に関する予備知識をじっくりと準備し,

  • 波動方程式
  • 熱方程式
  • Schrödinger方程式
  • Navier-Stokes方程式

といった非線形発展方程式を考えていきます.

本書の特徴は,様々な非線形発展方程式を広く扱っている点と,証明へのアプローチを説明して直感的な理解を促している点です.

本書が全19章と多くの章から構成されていることからも,広くトピックを扱っていることが見てとれますね.

誤植が多いのがただ1つ残念な点ではありますが,これほどに広く丁寧に非線形発展方程式を扱っている和書は他に見当たらず,この分野の基礎や考え方をカバーするには良い教科書と言えます.

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