フルネ-セレの公式の導出|曲線の曲率と捩率の公式

ベクトル解析
ベクトル解析

3次元ユークリッド空間$\R^3$上の$t$をパラメーターとする滑らかな曲線$C:\m{r}=\m{r}(t)$に対して

  • 「進む向き」を表す接ベクトル$\m{v}_1(t)$
  • 「曲がる向き」を表す法線ベクトル$\m{v}_2(t)$
  • 「ねじれる向き」を表す従法線ベクトル$\m{v}_3(t)$

を考えることができます.

このときの$[\m{v}_1(t),\m{v}_2(t),\m{v}_3(t)]$と$[{\m{v}_1}'(t),{\m{v}_2}'(t),{\m{v}_3}'(t)]$との関係をフルネ-セレ(Frenet-Serret)の公式といいます.

フルネ-セレの公式は

  • 1847年にジャン・フレデリック・フルネ(Jean Frédéric Frenet)によって
  • 1851年にジョセフ・アルフレッド・セレ(Joseph Alfred Serret)によって

それぞれ独立に発見されました.

この記事では,

  • 基礎知識の準備
  • フルネ-セレの公式のための準備
  • フルネ-セレの公式

を順に説明します.

基礎知識の準備

以下,パラメーター$t$はある開区間$(\alpha,\beta)$ ($\alpha<\beta$)上を動くとします.

内積,ノルム,外積の定義

以下で$\R^3$上の内積,ノルム,外積を定義します.

$\m{a}=\bmat{a_1\\a_2\\a_3},\m{b}=\bmat{b_1\\b_2\\b_3}\in\R^3$に対し,次を定義する.

  • 次の$\anb{\m{a},\m{b}}$を$\m{a}$と$\m{b}$の内積 (inner product)という:

        \begin{align*}\anb{\m{a},\m{b}}:=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.\end{align*}

  • 次の$\|\m{a}\|$を$\m{a}$のノルム (norm)という:

        \begin{align*}\|\m{a}\|:=\sqrt{\anb{\m{a},\m{a}}}=\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2}.\end{align*}

  • 次の$\m{a}\times \m{b}$を$\m{a}$と$\m{b}$の外積 (outer product)という:

        \begin{align*}\m{a}\times \m{b}:=\bmat{a_2b_3-a_3b_2\\a_3b_1-a_1b_3\\a_1b_2-a_2b_1}.\end{align*}

内積と外積に関して,定義から

    \begin{align*}\anb{\m{a},\m{b}}=\anb{\m{b},\m{a}},\quad \m{a}\times \m{b}=-\m{b}\times \m{a}\end{align*}

が成り立つことが分かります.また,$\m{a}$と$\m{b}$が直交するとは,$\anb{\m{a},\m{b}}=0$となることをいいます.

さらに,外積$\m{a}\times \m{b}$は以下を満たします(証明略).

  • $\m{a}$とも$\m{b}$とも直交する.
  • $\m{a}$と$\m{b}$のなす角を$\theta$とするとき,$\|\m{a}\times\m{b}\|=\|\m{a}\|\|\m{b}\|\sin\theta$が成り立つ.

微分の定義

次に,以下で$\R^3$上の導関数を定義します.

パラメーター$t$をもつ$\m{p}(t)=\bmat{p_1(t)\\p_2(t)\\p_3(t)}\in\R^3$に関して,$p_1,p_2,p_3$はいずれも$t$に関して微分可能であるとする.このとき,$\m{p}$は微分可能であるといい,$\m{p}$の導関数$\m{p}’$を

    \begin{align*}\m{p}'(t)=\bmat{{p_1}'(t)\\{p_2}'(t)\\{p_3}'(t)}\end{align*}

で定める.

すなわち,ベクトルの微分は各成分で微分したものと定めるわけですね.

内積・外積と微分

ここでは準備として[補題1],[補題2]を示します.

次の[補題1]は内積,外積の導関数に関する積の微分公式ですね.

[補題1] パラメーター$t\in(\alpha,\beta)$をもつ$\m{p}(t),\m{q}(t)\in\R^3$が微分可能であるとする.このとき,次が成り立つ:

    \begin{align*}&\frac{d}{dt}\anb{\m{p}(t),\m{q}(t)}=\anb{\m{p}'(t),\m{q}(t)}+\anb{\m{p}(t),\m{q}'(t)}, \\&\frac{d}{dt}(\m{p}(t)\times \m{q}(t))=\m{p}'(t)\times \m{q}(t)+\m{p}(t)\times \m{q}'(t)\end{align*}


$\m{p}(t)=\bmat{p_1(t)\\p_2(t)\\p_3(t)}$, $\m{q}(t)=\bmat{q_1(t)\\q_2(t)\\q_3(t)}$とする.計算により

    \begin{align*}&\od{}{t}\anb{\m{p}(t),\m{q}(t)} \\=&\od{}{t}\{p_1(t)q_1(t)+p_2(t)q_2(t)+p_3(t)q_3(t)\} \\=&\sum_{i=1}^{3}\bra{{p_i}'(t)q_i(t)+p_i(t){q_i}'(t)} \\=&\sum_{i=1}^{3}{p_i}'(t)q_i(t)+\sum_{i=1}^{3}p_i(t){q_i}'(t) \\=&\anb{\m{p}'(t),\m{q}(t)}+\anb{\m{p}(t),\m{q}'(t)}\end{align*}

と,

    \begin{align*}&\frac{d}{dt}(\m{p}(t)\times \m{q}(t)) \\=&\od{}{t}\bmat{p_2(t)q_3(t)-p_3(t)q_2(t)\\p_3(t)q_1(t)-p_1(t)q_3(t)\\p_1(t)q_2(t)-p_2(t)q_1(t)} \\=&\bmat{{p_2}'(t)q_3(t)+p_2(t){q_3}'(t)-{p_3}'(t)q_2(t)-p_3(t){q_2}'(t)\\ {p_3}'(t)q_1(t)+p_3(t){q_1}'(t)-{p_1}'(t)q_3(t)-p_1(t){q_3}'(t)\\ {p_1}'(t)q_2(t)+p_1(t){q_2}'(t)-{p_2}'(t)q_1(t)-p_2(t){q_1}'(t)} \\=&\bmat{{p_2}'(t)q_3(t)-{p_3}'(t)q_2(t)\\{p_3}'(t)q_1(t)-{p_1}'(t)q_3(t)\\{p_1}'(t)q_2(t)-{p_2}'(t)q_1(t)} +\bmat{p_2(t){q_3}'(t)-p_3(t){q_2}'(t)\\p_3(t){q_1}'(t)-p_1(t){q_3}'(t)\\p_1(t){q_2}'(t)-p_2(t){q_1}'(t)} \\=&\m{p}'(t)\times \m{q}(t)+\m{p}(t)\times \m{q}'(t)\end{align*}

が従う.

次の[補題2]は基本的ですが,フルネ-セレの公式の導出でキーとなる補題です.

[補題2] パラメーター$t$に関する$\R^3$の元$\m{p}(t)$が微分可能で$\|\m{p}(t)\|$が$t$によらず常に一定であるとする.このとき,$\m{p}(t)$と$\m{p}'(t)$は$t$によらず常に直交する.すなわち,次が成り立つ:

    \begin{align*}\anb{\m{p}(t),\m{p}'(t)}=0\end{align*}


$t$によらない定数$C>0$を

    \begin{align*}C:=\|\m{p}(t)\|=\sqrt{\anb{\m{p}(t),\m{p}(t)}}\end{align*}

で定める.$C^2=\anb{\m{p}(t),\m{p}(t)}$の両辺を$t$で微分すると,左辺$C^2$が定数であることと,[補題1]から

    \begin{align*}0=&\anb{\m{p}'(t),\m{p}(t)}+\anb{\m{p}(t),\m{p}'(t)} \\=&2\anb{\m{p}(t),\m{p}'(t)}\end{align*}

が分かる.よって,両辺を2で割って$0=\anb{\m{p}(t),\m{p}'(t)}$が従う.

フルネ-セレの公式のための準備

パラメーター$t\in(\alpha,\beta)$をもつ$\R^3$内の曲線$C:\m{r}=\m{r}(t)$を考えます.ただし,$\m{r}$は次の条件を満たしているとします.

  1. $\m{r}$は$C^\infty$級である.
  2. 任意の$t\in(\alpha,\beta)$に対して,$\m{r}'(t)\neq0$である.
  3. 任意の$t\in(\alpha,\beta)$に対して,$\m{r}^{\prime\prime}(t)\times \m{r}'(t)\neq0$である.

条件(1)は「$\m{r}$は何回でも微分可能」,条件(2)は「$\m{r}$の速度は$0$にならない」,条件(3)は「曲線$C$の軌跡は曲がっている」ということを述べています.

3つのベクトルの定義

$\m{r}$に対し,接線ベクトル主法線ベクトル従法線ベクトルを次のように定義します.

$\m{v}_1(t),\m{v}_2(t),\m{v}_3(t)\in\R^3$を

    \begin{align*}&\m{v}_1(t):=\frac{\m{r}'(t)}{\|\m{r}'(t)\|}, \\&\m{v}_2(t):=\frac{{\m{v}_1}'(t)}{\|{\m{v}_1}'(t)\|}, \\&\m{v}_3(t):=\m{v}_1(t)\times \m{v}_2(t)\end{align*}

で定義し,$\m{v}_1(t)$を$C$の接線ベクトル,$\m{v}_2(t)$を$C$の主法線ベクトル,$\m{v}_3(t)$を$C$の従法線ベクトルという.また,$\kappa(t):=\|{\m{v}_1}'(t)\|$を$C$の曲率という.

なお,冒頭で書いた通り

  • 接ベクトル$\m{v}_1(t)$は曲線$C$の「進む向き」
  • 法線ベクトル$\m{v}_2(t)$は曲線$C$の「曲がる向き」
  • 従法線ベクトル$\m{v}_3(t)$曲線$C$の「ねじれる向き」

に相当します.

捩率の定義

ここで,次の[命題1]を示します.

[命題1] $\m{v}_2(t)$と${\m{v}_3}'(t)$は$t$によらず平行である.


$\m{v}_3(t)=\m{v}_1(t)\times \m{v}_2(t)$より,両辺$t$で微分して

    \begin{align*}{\m{v}_3}'(t)={\m{v}_1}'(t)\times \m{v}_2(t)+\m{v}_1(t)\times{\m{v}_2}'(t)\end{align*}

が成り立つ.また,${\m{v}_1}'(t)$と$\m{v}_2(t)$は平行だから${\m{v}_1}'(t)\times \m{v}_2(t)=0$なので,

    \begin{align*}{\m{v}_3}'(t)=\m{v}_1(t)\times{\m{v}_2}'(t)\end{align*}

となって,${\m{v}_3}'(t)$は$t$によらず$\m{v}_1(t)$, ${\m{v}_2}'(t)$の両方と直交する.

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$\|\m{v}_1(t)\|=1$は定数だから[補題2]より$\m{v}_1(t)$と${\m{v}_1}'(t)$は$t$によらず直交し,さらに$\m{v}_2(t)=\dfrac{{\m{v}_1}'(t)}{\|{\m{v}_1}'(t)\|}$だから,$\m{v}_1(t)$と$\m{v}_2(t)$は$t$によらず直交する.

また,$\|\m{v}_2(t)\|=1$は定数だから[補題2]より$\m{v}_2(t)$と${\m{v}_2}'(t)$は$t$によらず直交する.

したがって,$\m{v}_2(t)$は$t$によらず$\m{v}_1(t)$, ${\m{v}_2}'(t)$の両方と直交する.

いまは$\R^3$で考えているので,${\m{v}_3}'(t)$と$\m{v}_2(t)$は$t$によらず平行である.

[命題1]より次のように捩率れいりつが定義できます.

${\m{v}_3}'(t)=-\tau(t)\m{v}_2(t)$によって定まる$\tau$を曲線$C$の捩率という.

捩率$\tau$は時刻$t$で「接線ベクトル$\m{v}_1$,主法線ベクトル$\m{v}_2$の張る平面から,曲線$C$がどれくらいの勢いではみ出そうとするのか」ということを表す関数となっています.

したがって,例えば同一平面上を動く曲線の捩率は$0$になります.

3つのベクトルの正規直交性

[命題2] パラメーター$t$によらず行列$A(t):=[\m{v}_1(t),\m{v}_2(t),\m{v}_3(t)]$は直交行列である.

この命題は$\m{v}_1(t),\m{v}_2(t),\m{v}_3(t)$は$t$によらず$\R^3$の正規直交基底であると言い換えることができますね.


$\anb{\m{v}_i(t),\m{v}_j(t)}=\delta_{i,j}$ $(i,j=1,2,3)$を示せば良いが,内積は可換だから$i\ge j$の場合を示せば十分である.

$\anb{\m{v}_2(t),\m{v}_1(t)}=0$は[命題1]の証明中で示した.

$\m{v}_1(t),\m{v}_2(t)$の定義から

    \begin{align*}\|\m{v}_1(t)\|=\|\m{v}_2(t)\|=1\end{align*}

である.また,定義$\m{v}_3(t)=\m{v}_1(t)\times \m{v}_2(t)$から

    \begin{align*}&\|\m{v}_3(t)\|=\|\m{v}_1(t)\|\|\m{v}_2(t)\|\sin\frac{\pi}{2}=1, \\&\anb{\m{v}_3(t),\m{v}_1(t)}=\anb{\m{v}_3(t),\m{v}_2(t)}=0\end{align*}

である.

フルネ-セレの公式

準備が整ったので本題のフルネ-セレの公式を紹介します.

[フルネ-セレの公式] 次の等式が成り立つ.

    \begin{align*}[{\m{v}_1}'(t),{\m{v}_2}'(t),{\m{v}_3}'(t)]=[\m{v}_1(t),\m{v}_2(t),\m{v}_3(t)]\bmat{0&-\kappa(t)&0\\\kappa(t)&0&-\tau(t)\\0&\tau(t)&0}\end{align*}


[命題2]と同じく$A(t):=[\m{v}_1(t),\m{v}_2(t),\m{v}_3(t)]$とする.

    \begin{align*}{}^{t}A(t)A'(t) =&\bmat{{}^{t}\m{v}_1(t)\\{}^{t}\m{v}_2(t)\\{}^{t}\m{v}_3(t)}[{\m{v}_1}'(t),\ {\m{v}_2}'(t),\ {\m{v}_3}'(t)] \\=&\bmat{\anb{\m{v}_1(t),{\m{v}_1}'(t)}&\anb{\m{v}_1(t),{\m{v}_2}'(t)}&\anb{\m{v}_1(t),{\m{v}_3}'(t)}\\ \anb{\m{v}_2(t),{\m{v}_1}'(t)}&\anb{\m{v}_2(t),{\m{v}_2}'(t)}&\anb{\m{v}_2(t),{\m{v}_3}'(t)}\\ \anb{\m{v}_3(t),{\m{v}_1}'(t)}&\anb{\m{v}_3(t),{\m{v}_2}'(t)}&\anb{\m{v}_3(t),{\m{v}_3}'(t)}}\end{align*}

である.$\|\m{v}_i\|=1$ ($i=1,2,3$)は定数なので,[補題2]より$\anb{\m{v}_i(t),{\m{v}_i}'(t)}=0$である.また,${\m{v}_3}'(t):={\m{v}_1}'(t)\times \m{v}_2(t)+\m{v}_1(t)\times {\m{v}_2}'(t)$であり

    \begin{align*}{\m{v}_1}'(t)\times \m{v}_2(t)={\m{v}_1}'(t)\times \frac{{\m{v}_1}'(t)}{\|{\m{v}_1}'(t)\|}=0\end{align*}

であることと,

    \begin{align*}\anb{\m{v}_1(t)\times {\m{v}_2}'(t),\m{v}_1(t)}=0\end{align*}

であることから$\anb{\m{v}_1(t),{\m{v}_3}'(t)}=0$が成り立つ.さらに,

    \begin{align*}\m{v}_3(t):=\m{v}_1(t)\times \m{v}_2(t)=\m{v}_1(t)\times \frac{{\m{v}_1}'(t)}{\|{\m{v}_1}'(t)\|}\end{align*}

だから,$\anb{\m{v}_3(t),{\m{v}_1}'(t)}=0$である.次に,

    \begin{align*}&\anb{\m{v}_2(t),{\m{v}_1}'(t)}=\anb{\frac{{\m{v}_1}'(t)}{\|{\m{v}_1}'(t)\|},{\m{v}_1}'(t)}=\|{\m{v}_1}'(t)\|=\kappa(t), \\&\anb{\m{v}_2(t),{\m{v}_3}'(t)}=\anb{\m{v}_2(t),-\tau(t)\m{v}_2(t)}=-\tau(t)\end{align*}

である.また,[命題2]より$\anb{\m{v}_1(t),\m{v}_2(t)}=0$, $\anb{\m{v}_2(t),\m{v}_3(t)}=0$だったから,これらの両辺を$t$で微分して整理すると,

    \begin{align*}&\anb{\m{v}_1(t),{\m{v}_2}'(t)}=-\anb{{\m{v}_1}'(t),\m{v}_2(t)}=-\kappa(t), \\&\anb{{\m{v}_2}'(t),\m{v}_3(t)}=-\anb{\m{v}_2(t),{\m{v}_3}'(t)}=\tau(t)\end{align*}

である.[命題2]より$A(t)$は直交行列なので,${A(t)}^{-1}={}^{t}A(t)$である.よって,

    \begin{align*}A(t)^{-1}A'(t)=\bmat{0&-\kappa(t)&0\\\kappa(t)&0&-\tau(t)\\0&\tau(t)&0}\end{align*}

が成り立つから,

    \begin{align*}A'(t)=A(t)\bmat{0&-\kappa(t)&0\\\kappa(t)&0&-\tau(t)\\0&\tau(t)&0}\end{align*}

となって,フルネ-セレの公式が従う.

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プロフィール

山本やまもと 拓人たくと

元予備校講師.講師として駆け出しの頃から予備校の生徒アンケートで抜群の成績を残し,通常の8倍の報酬アップを提示されるなど頭角を表す.

飛び級・首席合格で大学院に入学しそのまま首席修了するなど数学の深い知識をもち,本質をふまえた分かりやすい授業に定評がある.

現在はオンライン家庭教師,社会人向け数学教室での講師としての教育活動とともに,京都大学で数学の研究も行っている.専門は非線形偏微分方程式論.大学数学系YouTuberとしても活動中.

趣味は数学,ピアノ,甘いもの食べ歩き.公式LINEを友達登録で【限定プレゼント】配布中.

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