生成される（spanされる）線形部分空間の定義を例題から解説

例えば，２次列ベクトル全部の線形空間$\R^2$のベクトル$\bmat{1\\0}$と$\bmat{0\\1}$の線形結合

$\begin{align*}a\bmat{1\\0}+b\bmat{0\\1}\end{align*}$

について，$a$と$b$を動かせば様々な$\R^2$上のベクトルを表すことができますね．

このように，いくつかのベクトルの線形結合で表されるベクトル全部の集合は線形部分空間となり，この線形部分空間を生成される部分空間といいます．

この記事では

生成される線形部分空間の定義・具体例
$\spn{(\m{v}_1,\m{v}_2,\dots,\m{v}_n)}$が線形空間であることの証明

を順に解説します．

「線形空間の基本」の一連の記事

線形空間
1. 1 線形空間はℝⁿの一般化！定義と具体例を解説
2. 2 部分空間の定義と証明のテンプレを例題から解説
3. 3 線形結合・線形独立性の考え方を具体例から解説
4. 4 ベクトルたちが生成（span）する線形部分空間 (今の記事)
5. 線形空間の基底の定義・証明のテンプレを解説(準備中)
6. 和空間・共通部分の定義と考え方を例題から解説(準備中)

線形写像
1. 線形写像は行列の一般化！定義と具体例を解説(準備中)
2. 線形写像は基底が命！基底との重要な関係(準備中)
3. 線形写像の像Im(f)とKer(f)の定義と例題(準備中)
4. 線形空間の同型の定義と次元定理を解説(準備中)
5. 線形空間が同型と次元の超重要な関係(準備中)

なお，列ベクトルの線形空間$\R^n$の部分空間だけで十分なら，列ベクトルの部分空間に絞って解説した以下の記事が分かりやすいでしょう．

ℝⁿ上のspanされる（生成される）部分空間の基底・次元の求め方

生成される部分空間は線形代数でよく現れる重要な空間で基底を求めたいことはよくあります．この記事では，ℝⁿ上の生成される空間の基底・次元の求め方を具体例から説明します．

生成される線形部分空間の定義・具体例
$\spn{(\m{v}_1,\m{v}_2,\dots,\m{v}_n)}$が線形空間であることの証明
1. 和について閉じていることの証明
2. スカラー倍について閉じていることの証明

生成される線形部分空間の定義・具体例

線形空間上のいくつかのベクトルに対して，それらの線形結合全部の集合は線形部分空間となります．

体$\mathbb{F}$上の線形空間$V$に対して，$\m{v}_1,\m{v}_2,\dots,\m{v}_n\in V$の線形結合全部の集合

$\begin{align*}W:=\set{c_1\m{v}_1+c_2\m{v}_2+\dots+c_n\m{v}_n\in V}{c_1,c_2,\dots,c_n\in\mathbb{F}}\end{align*}$

は$V$の線形部分空間となる．

この補題の証明はひとまずおいて，生成される部分空間の定義と具体例を見てみましょう．

生成される部分空間の定義

上の補題の空間が本記事のテーマの生成される線形部分空間です．

上の補題の線形部分空間$W$を$\m{v}_1,\m{v}_2,\dots,\m{v}_n$により生成される線形部分空間（generated linear subspace）などといい，

$\begin{align*}\spn{(\m{v}_1,\m{v}_2,\dots,\m{v}_n)}\end{align*}$

と表す．

スカラーが$\mathbb{F}$であることを強調して

$\begin{align*}\spn_{\mathbb{F}}{(\m{v}_1,\m{v}_2,\dots,\m{v}_n)}\end{align*}$

と表すこともあります．

また，この他にも$\anb{\m{v}_1,\m{v}_2,\dots,\m{v}_n}_V$, $\anb{\m{v}_1,\m{v}_2,\dots,\m{v}_n}$などと表すこともあります．

$\m{v}_1,\m{v}_2,\dots,\m{v}_n$が張る線形空間（span linear）ということもあります．

具体例１（$\R^2$での生成部分空間）

２次列ベクトル全部の線形空間$\R^2$に対して，$\sbmat{2\\1}\in\R^2$により生成される線形部分空間$W$は

$\begin{align*}W&=\spn{\bra{\sbmat{2\\1}}} \\&=\set{c\sbmat{2\\1}\in\R^2}{c\in\R}\end{align*}$

です．例えば

$c=1$とすれば$\sbmat{2\\1}\in W$
$c=-1$とすれば$\sbmat{-2\\-1}\in W$
$c=2$とすれば$\sbmat{4\\2}\in W$
$c=0$とすれば$\sbmat{0\\0}\in W$

となりますね．つまり，$W$は$\sbmat{2\\1}$を実数倍してできる２次列ベクトル全部の集合ですから，$W$は以下のように図示できますね．

つまり，$\R^2$を$xy$平面とすると，$W$は$y=\dfrac{1}{2}x$のグラフということになります．

具体例２（$\R^3$での生成部分空間）

３次列ベクトル全部の線形空間$\R^3$に対して，$\sbmat{1\\0\\0},\sbmat{0\\3\\0},\sbmat{2\\1\\0}\in\R^3$により生成される線形部分空間$W$は

$\begin{align*}W&=\spn{\bra{\sbmat{1\\0\\0},\sbmat{0\\3\\0},\sbmat{2\\1\\0}}} \\&=\set{c_1\sbmat{1\\0\\0}+c_2\sbmat{0\\3\\0}+c_3\sbmat{2\\1\\0}\in\R^2}{c_1,c_2,c_3\in\R}\end{align*}$

です．例えば

$c_1=1$, $c_2=c_3=0$とすれば$\sbmat{1\\0\\0}\in W$
$c_1=0$, $c_2=1$, $c_3=0$とすれば$\sbmat{0\\3\\0}\in W$
$c_1=c_2=0$, $c_3=1$とすれば$\sbmat{2\\1\\0}\in W$
$c_1=-3$, $c_2=-1$, $c_3=2$とすれば$\sbmat{1\\-1\\0}\in W$

となりますね．このように$c_1$, $c_2$を動かしてできる多項式全部の線形部分空間が$W$です．いま

$\begin{align*}W&=\set{(c_1+2c_3)\sbmat{1\\0\\0}+(3c_2+c_3)\sbmat{0\\1\\0}\in\R^2}{c_1,c_2,c_3\in\R} \\&=\set{s\sbmat{1\\0\\0}+t\sbmat{0\\1\\0}\in\R^2}{s,t\in\R}\end{align*}$

ですから，$\R^3$を$xyz$空間とすると，$W$は$xy$平面ということになります．

具体例３（２次以下の多項式の線形空間$\R[x]_2$での生成部分空間）

２次以下の実数係数の多項式全部の線形空間

$\begin{align*}\R[x]_2=\set{a_0+a_1x+a_2x^2}{a_0,a_1,a_2\in\R}\end{align*}$

に対して，$2-x,1+x+x^2\in\R[x]_2$により生成される線形部分空間$W$は

$\begin{align*}W&=\spn{(2-x,1+x+x^2)}\\&=\set{c_1(2-x)+c_2(1+x+x^2)\in\R[x]_2}{c_1,c_2\in\R}\end{align*}$

です．例えば

$c_1=1$, $c_2=0$とすれば$2-x\in W$
$c_1=0$, $c_2=1$とすれば$1+x+x^2\in W$
$c_1=2$, $c_2=-1$とすれば$1+3x-x^2\in W$
$c_1=0$, $c_2=0$とすれば$0\in W$

が分かります．このように$c_1$, $c_2$を動かしてできる多項式全部の線形部分空間が$W$です．

具体例４（実数列の線形空間$\ell(R)$での生成部分空間）

実数列全部の線形空間

$\begin{align*}\ell(\R)=\set{(a_1,a_2,a_3,\dots)}{a_1,a_2,a_3,\dots\in\R}\end{align*}$

に対して，$\{a_n\},\{b_n\}\in\ell(\R)$を$a_n=n$, $b_n=(-1)^n$で定めます：

$\begin{align*}\{a_n\}=(1,2,3,4,\dots),\quad \{b_n\}=(1,-1,1,-1,\dots).\end{align*}$

このとき，$\{a_n\},\{b_n\}\in\ell(\R)$により生成される線形部分空間$W$は

$\begin{align*}W&=\spn{(\{a_n\},\{b_n\})}\\&=\set{c_1\{a_n\}+c_2\{b_n\}\in\ell(\R)}{c_1,c_2\in\R}\end{align*}$

です．例えば

$c_1=1$, $c_2=0$とすれば$\{a_n\}=(1,2,3,4,\dots)\in W$
$c_1=0$, $c_2=1$とすれば$\{b_n\}=(1,-1,1,-1,\dots)\in W$
$c_1=$, $c_2=1$とすれば$\{a_n+b_n\}=(2,1,4,3,\dots)\in W$
$c_1=0$, $c_2=0$とすれば$(0,0,0,0,\dots)\in W$

が分かります．このように$c_1$, $c_2$を動かしてできる数列全部の線形部分空間が$W$です．

$\spn{(\m{v}_1,\m{v}_2,\dots,\m{v}_n)}$が線形空間であることの証明

それでは最初の補題を証明しましょう．

（再掲）体$\mathbb{F}$上の線形空間$V$に対して，$\m{v}_1,\m{v}_2,\dots,\m{v}_n\in V$の線形結合全部の集合

$\begin{align*}W:=\set{c_1\m{v}_1+c_2\m{v}_2+\dots+c_n\m{v}_n\in V}{c_1,c_2,\dots,c_n\in\mathbb{F}}\end{align*}$

は$V$の線形部分空間となる．

$\m{0}=0\m{v}_1+0\m{v}_2+\dots+0\m{v}_n\in W$なので$W\neq\emptyset$である．

よって，あとは$W$が$V$の和とスカラー倍について閉じていることを示せばよい．

和について閉じていることの証明

任意に$\m{u},\m{v}\in W$をとる．

$\begin{align*}&\m{u}=c_1\m{v}_1+c_2\m{v}_2+\dots+c_n\m{v}_n, \\&\m{v}=d_1\m{v}_1+d_2\m{v}_2+\dots+d_n\m{v}_n\end{align*}$

とおくと，線形空間の定義における和の交換法則・$\mathbb{F}$の和とスカラー倍の分配法則により

$\begin{align*}\m{u}+\m{v} &=(c_1\m{v}_1+c_2\m{v}_2+\dots+c_n\m{v}_n)+(d_1\m{v}_1+d_2\m{v}_2+\dots+d_n\m{v}_n) \\&=(c_1\m{v}_1+d_1\m{v}_1)+\dots+(c_n\m{v}_n+d_n\m{v}_n) \\&=(c_1+d_1)\m{v}_1+\dots+(c_n+d_n)\m{v}_n\end{align*}$

となる．$\mathbb{F}$は体だから$c_i+d_i\in\mathbb{F}$（$i=1,2,\dots,n$）なので，$\m{u}+\m{v}\in W$を得る．

スカラー倍について閉じていることの証明

任意に$k\in\mathbb{F}$, $\m{u}\in W$をとる．

$\begin{align*}&\m{u}=c_1\m{v}_1+c_2\m{v}_2+\dots+c_n\m{v}_n\end{align*}$

とおくと，線形空間の定義におけるスカラー倍と$V$の和の分配法則・スカラー倍の結合法則により

$\begin{align*}k\m{u}&=k(c_1\m{v}_1+c_2\m{v}_2+\dots+c_n\m{v}_n) \\&=k(c_1\m{v}_1)+k(c_2\m{v}_2)+\dots+k(c_n\m{v}_n) \\&=(kc_1)\m{v}_1+(kc_2)\m{v}_2+\dots+(kc_n)\m{v}_n\end{align*}$