数学用語の英単語と例文【微分積分学編】

微分積分学（calculus）で用いる数学用語についての，日本語と英語の対応表です．

各セクションごとに単語と例文を掲載しています．

実数

実数に関する日本語と英語の対応表です．

英単語

英例文

例１

$\Q$, $\R$はそれぞれ有理数全部の集合，実数全部の集合を表す．

— $\Q$ and $\R$ represent the set of all rational numbers and that of all real numbers, respectively.

例２

$X\subset\R$が$\R$で稠密であるとは，任意の$a\in\R$に対して，ある$\epsilon>0$が存在して，$U_{\epsilon}(a)$と$X$の共通部分が空でないことをいう．ここに，$U_{\epsilon}(a)$は$a$の$\epsilon$近傍である．

— We say that $X\subset\R$ is dense in $\R$, if for all $a\in\R$ there exists $\epsilon>0$ such that the intersection of $U_{\epsilon}(a)$ and $X$ isn’t the empty set, where $U_{\epsilon}(a)$ is the $\epsilon$-neighborhood of $a$.

例３

$A\subset\R$とする．ある$m\in\R$が存在して，任意の$a\in A$に対して$a\le m$が成り立つとき，$A$は上に有界であるという．

— Let $A\subset\R$. If there exists $m\in\R$ such that for all $a\in A$ we have $a\le m$, $A$ is said to be bounded above.

例４

空集合でない$A\subset\R$が上に有界なら，上限$\sup{A}$が$\R$の中に必ず存在する（実数の連続性公理）．

— If a non-empty set $A\subset\R$ is bounded above, supremum $\sup{A}$ always exists in $\R$ (continuity of real numbers).

数列

数列に関する日本語と英語の対応表です．

英単語

英例文

例１

実数列$\{x_n\}$は$n\to\infty$のとき$x$に収束する．

— The real sequence $\{x_n\}$ converges to $x$ as $n\to\infty$.

例２

実数列$\{x_n\}$の上極限は拡大実数$\R\cup\{\pm\infty\}$の中に必ず存在する．

— The superior of each real sequence $\{x_n\}$ always exists in extended real number $\R\cup\{\pm\infty\}$.

例３

任意の有界な複素数列$\{x_n\}$は収束する部分列をもつ(ボルツァーノ-ワイエルシュトラスの定理)．

— Any bounded complex sequence $\{x_n\}$ has an convergent subsequence (Bolzano-Weierstrass theorem).

例４

実数列$\{x_n\}$が上に有界で単調増加であるとする．このとき，$\{x_n\}$は上限$\sup_{n\in\N}x_n$に収束する．

— Assume that real sequence $\{x_n\}$ is bounded above and monotonically increasing. Then it converges to the supremum $\sup_{n\in\N}x_n$.

例５

もし級数$\sum_{n=1}^{\infty}x_n$が収束すれば，$\{x_n\}$は$0$に収束する

— If the series $\sum_{n=1}^{\infty}x_n$ converge, $\{x_n\}$ converges to 0.

微分

微分に関する日本語と英語の対応表です．

英単語

英例文

例１

関数$f:\R\to\R$が$a$で微分可能なら，$f$は$a$で連続である．

— If a function $f:\R\to\R$ is differentiable at $a$, it is continuous at $a$.

例２

$I$を開区間とする．$I$上の導関数$\dfrac{df}{dx}$が連続であれば，関数$f$を$C^1(I)$級であるという．

— Let $I$ be an open interval. If a first derivative $\dfrac{df}{dx}$ on $I$ exists and is continuous, the function $f$ is said to be of class $C^1(I)$.

例３

$a$で極値をとる可微分関数$f$に対して，微分係数$\dfrac{df}{dx}(a)$は$0$である．

— For a differentiable function $f$ which attains an extrema at $a$, the differential coefficient $\dfrac{df}{dx}(a)$ is $0$.

積分

積分に関する日本語と英語の対応表です．

英単語

英例文

例１

リーマン積分は有界閉区間$[a,b]$上の積分であり，$a\to-\infty$や$b\to\infty$とした場合は広義積分と呼ばれる．

— the Riemann integral is an integral on a bounded closed interval $[a,b]$, and it is called improper integral as $a\to-\infty$ or $b\to\infty$.

例２

連続関数$f:\R\to\R$に対して，その原始関数$F$と不定積分$\int_{a}^{x} f(t)\,dt$は定数差を除いて等しい(微分積分学の基本定理)．

— For continuous function $f:R\to\R$, its primitive function $F$ and indefinite integral $\int_{a}^{x} f(t)\,dt$ are equal, up to addition by a constant (fundamental theorem of calculus).

例３

$\cos{x}$の不定積分は$\sin{x}+C$である．ここで$C$は積分定数である．

— A indefinite integral of $\cos{x}$ is $\sin{x}+C$, where $C$ is a constant of integration.

関数列

関数列に関する日本語と英語の対応表です．

英単語

英例文

例１

$f_n(x)=\frac{n+1}{n}x$で定まる関数列$\{f_n\}$は各点収束するが，一様収束しない．

— The sequence of functions $\{f_n\}$ defined as $f_n(x)=\frac{n+1}{n}x$ converge pointwisely, but doesn’t converge uniformly.

例２

有界閉区間$I$上の関数列$\{f_n\}$が極限関数$f$に一様収束するとき，項別積分可能である．

— When the sequence of functions $\{f_n\}$ on closed bounded interval $I$ converge to the limit function $f$, it is integrable term by term.