数学用語の英単語と例文
【微分積分学編】

その他
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微分積分学(calculus)で用いる数学用語についての,日本語と英語の対応表です.

各セクションごとに単語と例文を掲載しています.

実数

実数に関する日本語と英語の対応表です.

英単語

実数に関する日本語と英語の対応表
日本語英語
実数real number
有理数rational number
無理数irrational number
絶対値absolute value
開区間open interval
閉区間closed interval
近傍neighborhood
集合set
部分集合subset
共通部分intersection
和集合union
稠密なdense
上に有界なbounded above
下に有界なbounded below
上界upper bounded
下界lower bounded
上限supremum
下限infimum
無限大infinity

英例文

例1

$\Q$, $\R$はそれぞれ有理数全部の集合,実数全部の集合を表す.

— $\Q$ and $\R$ represent the set of all rational numbers and that of all real numbers, respectively.

例2

$X\subset\R$が$\R$で稠密であるとは,任意の$a\in\R$に対して,ある$\epsilon>0$が存在して,$U_{\epsilon}(a)$(すなわち$a$の$\epsilon$近傍)と$X$の共通部分が空でないことをいう.

— We say that $X\subset\R$ is dense in $\R$, if for all $a\in\R$ there exists $\epsilon>0$ such that the intersection of  $U_{\epsilon}(a)$ (i.e., $\epsilon$-neighborhood of $a$) and $X$ isn’t the empty set.

例3

$A\subset\R$とする.ある$m\in\R$が存在して,任意の$a\in A$に対して$a\le m$が成り立つとき,$A$は上に有界であるという.

— Let $A\subset\R$. If there exists $m\in\R$ such that for all $a\in A$ we have $a\le m$, $A$ is said to be bounded above.

例4

空集合でない$A\subset\R$が上に有界なら,上限$\sup{A}$が$\R$の中に必ず存在する(実数の連続性公理).

— If a non-empty set $A\subset\R$ is bounded above, supremum $\sup{A}$ always exists in $\R$ (continuity of real numbers).

数列

数列に関する日本語と英語の対応表です.

英単語

数列に関する日本語と英語の対応表
日本語英語
数列sequence
実数列real sequence / sequence of real numbers
複素数列complex sequence
極限limit
収束convergence
発散divergence
上極限limit superior
下極限limit inferior
部分列subsequence
単調なmonotone
(狭義)単調増加(strictly) monotonically increasing
(狭義)単調減少(strictly) monotonically decreasing
コーシー列Cauchy sequence
級数series
正項級数positive series
絶対収束absolute convergence
条件収束conditional convergence

英例文

例1

実数列$\{x_n\}$は$n\to\infty$のとき$x$に収束する.

— The real sequence $\{x_n\}$ converges to $x$ as $n\to\infty$.

例2

実数列$\{x_n\}$の上極限は拡大実数$\R\cup\{\pm\infty\}$の中に必ず存在する.

— The superior of each real sequence $\{x_n\}$ always exists in extended real number $\R\cup\{\pm\infty\}$.

例3

任意の有界な複素数列$\{x_n\}$は収束する部分列をもつ(ボルツァーノ-ワイエルシュトラスの定理).

— Any bounded complex sequence $\{x_n\}$ has an convergent subsequence (Bolzano-Weierstrass theorem).

例4

実数列$\{x_n\}$が上に有界で単調増加であるとする.このとき,$\{x_n\}$は上限$\sup_{n\in\N}x_n$に収束する.

— Assume that real sequence $\{x_n\}$ is bounded above and monotonically increasing. Then it converges to the supremum $\sup_{n\in\N}x_n$.

例5

もし級数$\sum_{n=1}^{\infty}x_n$が収束すれば,$\{x_n\}$は$0$に収束する

— If the series $\sum_{n=1}^{\infty}x_n$ converge, $\{x_n\}$ converges to 0.

微分

微分に関する日本語と英語の対応表です.

英単語

数列に関する日本語と英語の対応表
日本語英語
関数function
変数variable
連続なcontinuous
一様連続なuniformly continuous
微分係数differential coefficient
微分可能なdifferentiable
($n$階)導関数($n$th) derivative
極大値maximal
極小値minimal
極値extrema

英例文

例1

関数$f:\R\to\R$が$a$で微分可能なら,$f$は$a$で連続である.

— If a function $f:\R\to\R$ is differentiable at $a$, it is continuous at $a$.

例2

$I$を開区間とする.$I$上の導関数$\dfrac{df}{dx}$が連続であれば,関数$f$を$C^1(I)$級であるという.

— Let $I$ be an open interval. If a first derivative $\dfrac{df}{dx}$ on $I$ exists and is continuous, the function $f$ is said to be of class $C^1(I)$.

例3

$a$で極値をとる可微分関数$f$に対して,微分係数$\dfrac{df}{dx}(a)$は$0$である.

— For a differentiable function $f$ which attains an extrema at $a$, the differential coefficient $\dfrac{df}{dx}(a)$ is $0$.

積分

積分に関する日本語と英語の対応表です.

英単語

数列に関する日本語と英語の対応表
日本語英語
積分integral
リーマン積分Riemann integral
広義積分improper integral
不定積分indefinite integral
原始関数primitive function
微分積分学の基本定理fundamental theorem of calculus
積分定数constant of integration
部分積分integration by parts

英例文

例1

リーマン積分は有界閉区間$[a,b]$上の積分であり,$a\to-\infty$や$b\to\infty$とした場合は広義積分と呼ばれる.

— the Riemann integral is an integral on a bounded closed interval $[a,b]$, and it is called improper integral as $a\to-\infty$ or $b\to\infty$.

例2

連続関数$f:\R\to\R$に対して,その原始関数$F$と不定積分$\int_{a}^{x} f(t)\,dt$は定数差を除いて等しい(微分積分学の基本定理).

— For continuous function $f:R\to\R$, its primitive function $F$ and indefinite integral $\int_{a}^{x} f(t)\,dt$ are equal, up to addition by a constant (fundamental theorem of calculus).

例3

$\cos{x}$の不定積分は$\sin{x}+C$である.ここで$C$は積分定数である.

— A indefinite integral of $\cos{x}$ is $\sin{x}+C$, where $C$ is a constant of integration.

関数列

関数列に関する日本語と英語の対応表です.

英単語

数列に関する日本語と英語の対応表
日本語英語
関数列sequence of functions
極限関数limit function
各点収束pointwise convergence
一様収束uniform convergence
項別積分term by term integration
項別微分term by term differentiation

英例文

例1

$f_n(x)=\frac{n+1}{n}x$で定まる関数列$\{f_n\}$は各点収束するが,一様収束しない.

— The sequence of functions $\{f_n\}$ defined as $f_n(x)=\frac{n+1}{n}x$ converge pointwisely, but doesn’t converge uniformly.

例2

有界閉区間$I$上の関数列$\{f_n\}$が極限関数$f$に一様収束するとき,項別積分可能である.

— When the sequence of functions $\{f_n\}$ on closed bounded interval $I$ converge to the limit function $f$, it is integrable term by term.

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