一様分布（離散型）の期待値・分散・確率母関数を計算する

普通の６面サイコロは均等な割合で１，２，３，４，５，６の目が出ます．

この６面サイコロの出目のように，等しい確率で値１，２，……，$n$となる確率変数が従う確率分布を$\{1,2,\dots,n\}$上の離散型一様分布といいます．

この記事では

離散型一様分布の定義と具体例
離散型一様分布の期待値・分散・確率母関数

を順に説明します．

「重要な確率分布」の一連の記事

離散型確率分布の定義と期待値・分散・母関数
1. 1 離散型一様分布｜６面サイコロの出目の確率分布 (今の記事)
2. 2 ベルヌーイ分布｜コインの裏表の確率分布
3. 3 二項分布｜ベルヌーイ試行の成功回数の確率分布
4. 4 幾何分布｜初めて成功するまで諦めない確率分布
5. 5 負の二項分布｜r回成功するまで諦めない確率分布
6. ポアソン分布｜二項分布が分布収束する確率分布(準備中)
7. 超幾何分布｜引いたクジを戻さない確率分布(準備中)

連続型確率分布の定義と期待値・分散・母関数
1. 連続型一様分布(準備中)
2. 正規分布(準備中)
3. カイ二乗分布(準備中)
4. ガンマ分布(準備中)
5. ベータ分布(準備中)
6. t分布(準備中)
7. F分布(準備中)

離散型一様分布の定義・基本性質・具体例
離散型一様分布の期待値・分散・確率母関数の導出
参考文献
1. 統計学

離散型一様分布の定義・基本性質・具体例

まずは離散型一様分布の定義を説明し，そのあと一様分布に従う確率変数の具体例を紹介します．

定義（$X\sim\mrm{Uni}(\{1,2,\dots,n\})$）

離散型確率変数$X$の確率関数$p_X$は

$\begin{align*}p_X(k)=P(X=k)\end{align*}$

と定義される関数のことのでした．つまり，$X=k$となる確率を$p_X(k)$と表すことを思い出しておきましょう．

$n$を正の整数とする．離散型確率変数$X$が$\{1,2,\dots,n\}$上の離散型一様分布（discrete uniform distribution）に従うとは，$X$の確率関数$p_X$が

$\begin{align*}p_X(k)=\frac{1}{n}\quad(k=1,2,\dots,n)\end{align*}$

を満たすことをいう．また，このとき$X\sim\mrm{Uni}(\{1,2,\dots,n\})$などと表す．

つまり，離散型一様分布に従う確率変数$X$とは，均等な確率で１から$n$までの整数の値をとるような確率変数のことをいうわけですね．

期待値$E[X]$・分散$V[X]$・確率母関数$G_X(s)$

のちに導出するように，離散型一様分布の期待値・分散・確率母関数は次のようになります．

$X\sim\mrm{Uni}(\{1,2,\dots,n\})$に対して，期待値$E[X]$，分散$V[X]$，確率母関数$G_X(s)$は

$\begin{align*}&E[X]=\frac{n+1}{2}, \\&V[X]=\frac{(n+1)(n-1)}{12}, \\&G_X(s)=\begin{cases}\frac{s(1-s^n)}{n(1-s)}&(s\neq1)\\1&(s=1)\end{cases}\end{align*}$

である．

単に「一様分布」と呼ぶこともありますが，連続型一様分布もあるので混同しないように注意してください．

具体例１（６面サイコロ）

冒頭で紹介したように，各目が均等に出る６面サイコロの出目は離散型一様分布に従います．

各目が均等に出る６面サイコロの出目を確率変数$X$とする．$X$はどのような離散型一様分布に従うか？

$X$は１，２，３，４，５，６のいずれかの値をとる．

また，どの値もいずれも等しい確率でとることから，$k=1,2,3,4,5,6$に対して，

$\begin{align*}p_X(k)=P(X=k)=\frac{1}{6}\end{align*}$

となる．よって，$X$は$\{1,2,3,4,5,6\}$上の離散型一様分布に従う．すなわち，

$\begin{align*}X\sim\mrm{Uni}(\{1,2,3,4,5,6\})\end{align*}$

である．

具体例２（クジ引き）

箱A, B, Cの中に１，２，３のいずれかの数が書かれたクジが以下のように入っている：

箱A：１と書かれたクジが４枚，２と書かれたクジが５枚
箱B：１と書かれたクジが１枚，３と書かれたクジが３枚
箱C：１と書かれたクジが１枚，２と書かれたクジが２枚，３と書かれたクジが３枚

最初に均等に目が出る６面サイコロを振り，出目に応じて

１，２，３の目が出たら箱Aから
４，５の目が出たら箱Bから
６の目が出たら箱Cから

一本のクジを無作為に引く．クジに書かれた値を確率変数$X$とすると，$X$が離散型一様分布に従うことを示せ．

複雑に感じるかも知れませんが，

１と書かれたクジを引く確率$p_X(1)$
２と書かれたクジを引く確率$p_X(2)$
３と書かれたクジを引く確率$p_X(3)$

を丁寧に求めるといずれも$\frac{1}{3}$となっており，この確率変数$X$は一様分布に従うことが分かります．

$X$は１，２，３のいずれかの値をとる．$X=1$となる（１と書かれたクジを引く）パターンは

サイコロで１，２，３の目が出て，箱Aから引く（確率$\frac{3}{6}\cdot\frac{4}{9}=\frac{2}{9}$）
サイコロで４，５の目が出て，箱Bから引く（確率$\frac{2}{6}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{12}$）
サイコロで６の目が出て，箱Cから引く（確率$\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{36}$）

のいずれかであり，これらは排反なので，これらの確率を合算して

$\begin{align*}p_X(1)=P(X=1)=\frac{2}{9}+\frac{1}{12}+\frac{1}{36}=\frac{8+3+1}{36}=\frac{1}{3}\end{align*}$

となる．同様に

$\begin{align*}p_X(2)&=\frac{3}{6}\cdot\frac{5}{9}+\frac{1}{6}\cdot\frac{2}{6}=\frac{5}{18}+\frac{1}{18}=\frac{1}{3}, \\p_X(3)&=\frac{2}{6}\cdot\frac{3}{4}+\frac{1}{6}\cdot\frac{3}{6}=\frac{1}{4}+\frac{1}{12}=\frac{1}{3}\end{align*}$

だから，$X$は$\{1,2,3\}$上の離散型一様分布に従う（$X\sim\mrm{Uni}(\{1,2,3\})$）．

離散型一様分布の期待値・分散・確率母関数の導出

それでは離散型一様分布の期待値・分散・確率母関数を定義から求めましょう．

期待値$E[X]$の導出

$X\sim\mrm{Uni}(\{1,2,\dots,n\})$の期待値は$E[X]=\dfrac{n+1}{2}$である．

１から$n$までの整数の値を均等な確率でとるのであれば，直感的に期待値は「真ん中」の値になりそうです．

「１から$n$までの整数の平均値」は$\frac{n+1}{2}$なので，$E[X]=\frac{n+1}{2}$となることは自然に思えますね．

１から$n$までの整数の和は$\frac{n(n+1)}{2}$である：

$\begin{align*}1+2+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}.\end{align*}$

よって，$X$の期待値$E[X]$の定義と併せて

$\begin{align*}E[X]&=1\cdot p_X(1)+2\cdot p_X(2)+\dots+n\cdot p_X(n) \\&=1\cdot\frac{1}{n}+2\cdot\frac{1}{n}+\dots+n\cdot\frac{1}{n} \\&=(1+2+\dots+n)\cdot\frac{1}{n}=\frac{n(n+1)}{2}\cdot\frac{1}{n}=\frac{n+1}{2}\end{align*}$

である．

分散$V[X]$の導出

$X\sim\mrm{Uni}(\{1,2,\dots,n\})$の分散は$V[X]=\dfrac{(n+1)(n-1)}{12}\bra{=\dfrac{n^2-1}{12}}$である．

$X$の分散は$V[X]=E[X^2]-E[X]^2$で求まる．$E[X]=\frac{n+1}{2}$は上で求めたから，あとは$E[X^2]$を求めればよい．

１から$n$までの整数の２乗和は$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$である：

$\begin{align*}1^2+2^2+\dots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\end{align*}$

よって，$X^2$の期待値$E[X^2]$の定義と併せて

$\begin{align*}E[X^2]&=1^2\cdot p_X(1)+2^2\cdot p_X(2)+\dots+n^2\cdot p_X(n) \\&=1^2\cdot\frac{1}{n}+2^2\cdot\frac{1}{n}+\dots+n^2\cdot\frac{1}{n} \\&=(1^2+2^2+\dots+n^2)\cdot\frac{1}{n} \\&=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\cdot\frac{1}{n}=\frac{(n+1)(2n+1)}{6}\end{align*}$

となる．よって，

$\begin{align*}V[X]&=E[X^2]-E[X]^2 \\&=\frac{(n+1)(2n+1)}{6}-\bra{\frac{n+1}{2}}^2 \\&=\frac{(n+1)(2n+1)}{6}-\frac{(n+1)^2}{4} \\&=\frac{n+1}{12}\{2(2n+1)-3(n+1)\}=\frac{(n+1)(n-1)}{12}\end{align*}$

である．

確率母関数$G_X(s)$の導出

$X\sim\mrm{Uni}(\{1,2,\dots,n\})$の確率母関数$G_X(s)$は

$\begin{align*}G_X(s)=\begin{cases}\frac{s(1-s^n)}{n(1-s)}&(s\neq1)\\1&(s=1)\end{cases}\end{align*}$

である．

初項$s$，公比$s$の等比数列の和の公式より

$\begin{align*}s+s^2+\dots+s^n=\begin{cases}\frac{s(1-s^n)}{1-s}&s\neq1\\n&s=1\end{cases}\end{align*}$

なので，確率母関数$G_X(s)$の定義より

$\begin{align*}G_X(s)&=E[s^X]=s^1\cdot p_X(1)+s^2\cdot p_X(2)+\dots+s^n\cdot p_X(n) \\&=s\cdot\frac{1}{n}+s^2\cdot\frac{1}{n}+\dots+s^n\cdot\frac{1}{n} \\&=\frac{1}{n}(s^1+s^2+\dots+s^n) \\&=\begin{cases}\frac{s(1-s^n)}{n(1-s)}&(s\neq1)\\1&(s=1)\end{cases}\end{align*}$