複素解析は「複素数を与えると複素数を返す関数」である複素関数が主役となる分野なのでした．
微分積分学で学ぶリーマン積分は実変数$x$を区間$[a,b]$で動かして考える積分$\dint_{a}^{b}f(x)\,dx$でしたが，複素解析で学ぶ複素積分は複素変数$z$を複素平面上の曲線$C$上で動かして考える積分$\dint_{C}f(z)\,dz$となります．
また，実はリーマン積分と複素積分の定義は形式的に同じなので，リーマン積分の定義を理解していれば複素積分の定義も同様に理解することができます．
この記事では
- リーマン積分と複素積分
- 複素積分の具体例
- 複素積分の基本性質
を順に解説します．
「複素解析の基本」の一連の記事
複素解析の参考文献
以下は複素解析に関するオススメの教科書です．
複素関数入門
複素解析の基礎を丁寧に解説した初学者向けの入門書です．
リーマン積分と複素積分
最初にリーマン積分がどのような考え方の積分だったかを確認し，そのあとに複素積分を定義します．
リーマン積分の復習
微分積分学で学ぶ基本の積分はリーマン積分で，長方形で面積を近似する考え方の積分なのでした．下図のような区間$[a,b]$上の有界関数$f$に対して，リーマン積分は次のように定義されるのでした．
![xy平面上の関数f:[a,b]→ℝのグラフ](https://math-note.xyz/wp-content/uploads/2026/03/contour_integration_graph_of_f.svg)
まず，区間$[a,b]$を
\begin{align*}a=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=b\end{align*}
と分割し，全ての小区間$[x_{i-1},x_i]$上に代表点$\xi_i$をとります（$i=1,\dots,n$）．このとき，下図のように横$x_i-x_{i-1}$，縦$f(\xi_i)$の長方形が$n$個できます．
![関数f:[a,b]→ℝのリーマン和](https://math-note.xyz/wp-content/uploads/2026/03/contour_integration_Riemann_sum.svg)
このときの長方形の面積の和は
\begin{align*}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_{i})(x_{i}-x_{i-1})\end{align*}
となり，これは目標としている最初の水色部分の面積の近似になっています．この和をリーマン和というのでした．
この状態ではあくまで近似でしかありませんが，小区間の幅の最大値を０に近付けると，誤差はどんどん小さくなり最初の水色部分の面積に近付いていきそうに思えます．
そこで，小区間の幅の最大値を０に近付ける極限で，代表点$\xi_i$の取り方によらずリーマン和が同じ値に収束するなら，$[a,b]$上で$f$はリーマン可積分であるといい，その値を
\begin{align*}\int_{a}^{b}f(x)\,dx\end{align*}
と表し，これを$[a,b]$上の$f$のリーマン積分というのでした．
ここで$f$が連続関数であれば，いつでもリーマン積分可能であることを思い出しておきましょう．
関数$f:[a,b]\to\R$が連続なら，$[a,b]$上で$f$はリーマン可積分である．
複素積分の定義
リーマン積分では数直線上の区間$[a,b]$上で変数$x$を動かして考えたように，複素積分は複素平面上の曲線$C$上で変数$z$を動かして考えます．形式的にはリーマン積分の定義と全く同じです．
複素平面上の有限の長さをもつ向きの付いた曲線$C$を考え，$C$の始点を$\alpha$，終点を$\beta$とする．また，$C$上で連続な複素関数$f$を考える．曲線$C$を
\begin{align*}z_0,z_1,z_2,\dots,z_n\quad(z_0=\alpha,z_n=\beta)\end{align*}
で順に分割する．
さらに，曲線$C$上の$z_{i-1}$から$z_i$の間（端点含む）の点$\xi_i$をとる（$i=1,\dots,n$）．
このとき，和
\begin{align*}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_{i})(z_{i}-z_{i-1})\end{align*}
の$\max\limits_{i\in\{1,2,\dots,n\}}|z_i-z_{i-1}|\to0$での極限値を積分経路$C$上の$f$の複素積分といい，
\begin{align*}\int_{C}f(z)\,dz\end{align*}
と表す．
連続関数$f:[a,b]\to\R$の$[a,b]$上のリーマン積分が必ず存在したように，複素積分でも$f$が$C$上で連続関数なら複素積分は必ず存在します．
リーマン積分と複素積分では「区間$[a,b]$」が「始点$\alpha$から終点$\beta$までの曲線$C$」に変わっているだけであることが見てとれますね．よって，複素積分の積分経路$C$を実軸上の区間$[a,b]$とすると，
\begin{align*}\int_Cf(z)\,dz=\int_{a}^{b}f(x)\,dx\end{align*}
となります．つまり，複素積分はリーマン積分を複素平面上へ拡張した積分になっているわけですね．
複素積分の具体例
それでは具体的に複素積分を計算してみましょう．
具体例１（１の複素積分）
複素平面上の始点$\alpha$・終点$\beta$の有限の長さをもつ曲線$C$を考える．このとき，複素積分
\begin{align*}\int_{C}\,dz\bra{=\int_{C}1\,dz}\end{align*}
を求めよ．
定義に従って計算しましょう．
$f(z)=1$とし，曲線$C$を点
\begin{align*}z_{0},z_{1},z_{2},\dots,z_{n}\quad(\alpha=z_{0},\beta=z_{n})\end{align*}
で順に分割する．和$\dsum_{i=1}^{n}f(z_{i})(z_{i}-z_{i-1})$は多くの項が打ち消し合い
\begin{align*}\sum_{i=1}^{n}f(z_{i})(z_{i}-z_{i-1})
=\sum_{i=1}^{n}1\cdot(z_{i}-z_{i-1})
=z_n-z_0=\beta-\alpha\end{align*}
となるから，この$\max\limits_{i\in\{1,2,\dots,n\}}|z_i-z_{i-1}|\to0$での極限を考えて
\begin{align*}\int_{C}\,dz=\beta-\alpha\end{align*}
である．
いまの問題では積分経路$C$を具体的に指定しなくても積分の値が$\beta-\alpha$となりましたから，１の複素積分は始点と終点のみから決まり途中の経路によらないことが分かります．
具体例２（$z$の複素積分）
複素平面上の始点$\alpha$・終点$\beta$の有限の長さをもつ曲線$C$を考える．このとき，複素積分
\begin{align*}\int_{C}z\,dz\end{align*}
を求めよ．
少し工夫が必要ですが，本問題も定義に従って計算しましょう．複素積分の各区間の代表点$\xi_i$として$\xi_i=z_i$や$\xi_i=z_{i-1}$ととっても収束することに注意してください．
$g(z)=z$とし，曲線$C$を点
\begin{align*}z_{0},z_{1},z_{2},\dots,z_{n}\quad(\alpha=z_{0},\beta=z_{n})\end{align*}
で順に分割する．複素積分の定義より，$z_{i}-z_{i-1}$が全て０に近づくように極限をとると
\begin{align*}&I:=\sum_{i=1}^{n}g(z_{i})(z_{i}-z_{i-1})=\sum_{i=1}^{n}z_{i}(z_{i}-z_{i-1}),
\\&I\!I:=\sum_{i=1}^{n}g(z_{i-1})(z_{i}-z_{i-1})=\sum_{i=1}^{n}z_{i-1}(z_{i}-z_{i-1})\end{align*}
はどちらも$\dint_{C}z\,dz$に収束する．また，多くの項が打ち消し合い
\begin{align*}I+I\!I&=\{({z_1}^2-z_1z_0)+({z_2}^2-z_2z_1)+\dots+({z_n}^2-z_nz_{n-1})\}
\\&+\{(z_0z_1-{z_0}^2)+(z_1z_2-{z_1}^2)+\dots+(z_{n-1}z_n-{z_{n-1}}^2)\}
\\&={z_n}^2-{z_0}^2=\beta^2-\alpha^2\end{align*}
となるから，この$\max\limits_{i\in\{1,2,\dots,n\}}|z_i-z_{i-1}|\to0$での極限を考えて
\begin{align*}&2\int_{C}z\,dz=\beta^2-\alpha^2
\\&\iff\int_{C}z\,dz=\frac{1}{2}(\beta^2-\alpha^2)\end{align*}
である．
具体例１と同様に，いまの問題でも経路$C$を具体的に指定しなくても積分の値が$\frac{1}{2}(\beta^2-\alpha^2)$となりましたから，$z$の複素積分も始点と終点のみから決まり途中の経路によらないことが分かります．
具体例３（$z^n$の複素積分）
上の２つの例では積分経路は具体的に決まっていませんでしたが，多くの複素積分は次の問題のように具体的な積分経路が与えられます．
$n$を−１でない整数とし，$R>0$とする．複素平面上の曲線$C$を原点中心，半径$R$の円周とする．このとき，複素積分
\begin{align*}\int_{C}z^n\,dz,\quad
\int_{C}\frac{1}{z}\,dz\end{align*}
を求めよ．ただし，積分経路$C$の向きは反時計回りとする．
積分経路が具体的に与えられている場合には$z\in C$を実数に変数変換してリーマン積分に帰着させることができます．
つまり，本問題の$C$は原点中心・半径$R$の円周なので，$z\in C$は$z=R(\cos{t}+i\sin{t})$（$0\le t\le2\pi$）と極形式で表せますから，両辺を$t$で微分して
\begin{align*}\frac{dz}{dt}=R(-\sin{t}+i\cos{t})\end{align*}
であることと併せて，$z$を$t$に置換して計算することができます．
複素積分がリーマン積分と同様に定義されているので，複素積分でも置換積分できることはリーマン積分と同様に証明できます．
$z\in C$は$z=R(\cos{t}+i\sin{t})$（$0\le t\le2\pi$）と表せる．$\frac{dz}{dt}=R(-\sin{t}+i\cos{t})$なので
\begin{align*}\int_{C}z^{n}\,dz
&=\int_{0}^{2\pi}R^{n}(\cos{nt}+i\sin{nt})\cdot R(-\sin{t}+i\cos{t})\,dt
\\&=R^{n+1}\int_{0}^{2\pi}\{(-\sin{nt}\cos{t}-\cos{nt}\sin{t})
\\&\hspace{3cm}+i(\cos{nt}\cos{t}-\sin{nt}\sin{t})\}\,dt
\\&=R^{n+1}\int_{0}^{2\pi}\{-\sin{(n+1)t}+i\cos{(n+1)t}\}\,dt=0\end{align*}
であり，
\begin{align*}\int_{C}\frac{1}{z}\,dz
&=\int_{C}\frac{\overline{z}}{|z|^{2}}\,dz
=\frac{1}{R^{2}}\int_{C}\overline{z}\,dz
\\&=\frac{1}{R^{2}}\int_{0}^{2\pi}R(\cos{t}-i\sin{t})\cdot R(-\sin{t}+i\cos{t})\,dt
\\&=\int_{0}^{2\pi}i(\cos^{2}{t}+\sin^{2}{t})\,dt
=\int_{0}^{2\pi}i\,dt=2\pi i\end{align*}
である．
この問題の面白いところは，円周$C$の半径$R$がどんな値であっても積分の値が同じであるという点です．
この結果の背景にはのちの記事で解説するコーシーの積分定理という複素解析の重要定理があります．
複素積分の基本性質
定義が同様なだけあって，リーマン積分と同様の性質が複素積分でも成り立ちます．
線形性
リーマン積分で
\begin{align*}\int_{a}^{b}(kf(x)+\ell g(x))\,dx=k\int_{a}^{b}f(x)\,dx+\ell\int_{a}^{b}g(x)\,dx\end{align*}
が成り立ったように，複素積分でも次が成り立ちます．
複素平面上の曲線$C$上で連続な複素関数$f$, $g$と，任意の$k,\ell\in\C$に対して
\begin{align*}\int_{C}(kf(z)+\ell g(z))\,dz=k\int_{C}f(z)\,dz+\ell\int_{C}g(z)\,dz\end{align*}
が成り立つ．
積分経路の繋ぎ合わせ
リーマン積分で
\begin{align*}\int_{a}^{c}f(x)\,dx=\int_{a}^{b}f(x)\,dx+\int_{b}^{c}f(x)\,dx\end{align*}
が成り立ったように，複素積分でも次が成り立ちます．
［積分経路の繋ぎ合わせ］複素平面上の２曲線$C$, $C’$について，$C$の終点と$C’$の始点は等しいとする．$C$と$C’$を繋げた曲線$C\cup C’$上で連続な複素関数$f$に対して
\begin{align*}\int_{C\cup C’}f(z)\,dz=\int_{C}f(z)\,dz+\int_{C’}f(z)\,dz\end{align*}
が成り立つ．
逆向きの積分経路
リーマン積分で
\begin{align*}\int_{a}^{b}f(x)\,dx=-\int_{b}^{a}f(x)\,dx\end{align*}
が成り立ったように，複素積分でも次が成り立ちます．
［逆向きの積分経路］複素平面上の曲線$C$上で連続な複素関数$f$に対して
\begin{align*}\int_{C}f(z)\,dz=-\int_{-C}f(z)\,dz\end{align*}
が成り立つ．ただし，$-C$は$C$の向きを逆にした曲線を表す．
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