$\alpha\in\C$に対して,複素関数$f$を
と表すとき,この右辺の級数を$f$の$\alpha$中心のテイラー(Taylor)展開というのでした.
前回の記事ではCauchyの積分公式を用いて$\alpha$の近くで正則な複素関数は$\alpha$中心でテイラー展開できることを説明しました.
一方,1点$\alpha$で複素関数$f$が微分可能でない場合には$f$を$\alpha$中心にテイラー展開することはできませんが,負冪の項$c_{-k}(z-\alpha)^{-k}$も用いて
と表すことは可能で,この展開を$f$の$\alpha$中心のLaurent(ローラン)展開といいます.
また,上のLaurent展開の$-1$次の係数$c_{-1}$は$f$の$\alpha$での留数といい,この一連の記事の目標である留数定理に重要な役割を果たします.
この記事では
- Laurent展開とは何か?
- Laurent展開と留数
- Laurent展開可能性と一意性の証明
を順に説明します.
「複素解析の基本」の一連の記事
テイラー展開
まずはTaylor展開について確認し,そのあとにTaylor展開と比較してLaurent展開を説明します.
領域$D\subset\C$上の正則関数は$D$上の任意の点を中心としてTaylor展開が可能で,詳しく述べると次のようになります.
[Taylor展開可能性] 複素平面上の領域$D$上の正則関数$f$と$\alpha\in D$を考え,周および内部が$D$に含まれる$\alpha$中心の円周$C$をとる.このとき,$f$は$C$の内部で
と表せる.すなわち,$f$は$\alpha$中心のTaylor展開が可能である.
領域$D$上の正則関数とは領域$D$上の全ての点で複素微分可能な複素関数のことでしたから,この定理から「領域$D$上で1回でも複素微分可能なら,$D$上の任意の点を中心としてTaylor展開可能」ということになります.
微分積分学のとき(実関数のとき)は少なくとも無限回微分可能でなければTaylor展開可能ではなかったことを思い出すと,複素解析のTaylor展開はとても簡単に成り立っていることが分かりますね.
複素解析のTaylor展開について詳しくは前回の記事を確認してください.

ローラン展開と留数
もし領域$D$上の1点$\alpha$での$f$の微分可能性が分からない場合はLaurent(ローラン)展開を考えることができます.
ローラン展開の定義と重要定理
$\alpha\in\C$に対して,複素平面上の領域$\alpha$を除くある領域上で関数$f$が
と表せるとき,この右辺を$f$の$\alpha$中心のLaurent展開という.また,$f$が$\alpha$中心のLaurent展開で表せるとき,$f$は$\alpha$でLaurent展開可能であるという.
いつ複素関数がLaurent展開可能かについては次の定理が重要で,後でこの定理を証明します.
[ローラン展開可能性] 領域$D$から$\alpha\in D$を除いた領域$D’$上の正則関数$f$を考え,周および内部が$D$に含まれる$\alpha$中心の円周$C$をとる.このとき,$f$は$C$の内部から$\alpha$を除いた領域で
と表せる.すなわち,$\alpha$中心でローラン展開可能である.
上で説明した[Taylor展開可能性]と比較すると,点$\alpha$で微分可能かどうかだけで
- $\alpha$の近くで複素微分可能 → $\alpha$でTaylor展開可能
- $\alpha$を除く$\alpha$の近くで複素微分可能 → $\alpha$でLaurent展開可能
という違いになります.
つまり,Laurent展開は$\alpha$で微分可能性が分からないときの展開で,$\alpha$で微分可能であることが分かれば$c_{-1}=c_{-2}=c_{-3}=\dots=0$となってTaylor展開可能であることになりますね.
留数
上の[ローラン展開]の定理において,係数$c_{k}$はのちに説明するように
となります.このうち,$c_{-1}$に注目すると
となっています.このように,この$c_{-1}$は複素積分に密接に関わるものとして以下のように定義されます.
[留数] 上のローラン展開の$c_{-1}$を$f$の$\alpha$における留数(residue)といい,$\mrm{Res}(f,\alpha)$や$\mrm{Res}_{\alpha}f$などと表す.
のちに説明するようにローラン展開は1通りしかないため,この留数は1つに定まります.
つまり,留数$\mrm{Res}(f,\alpha)$を$2\pi i$倍することで$\alpha$周りでの$f$の複素積分が求まるわけですね.
Laurent展開$f(z)=\dsum_{n=-\infty}^{\infty}c_n(z-\alpha)^n$に対して,
なので,$c_{-1}$は積分しても「留まる数」ということで留数と名付けられているわけですね.なお,英語の”residue”は「残り物」という意味です.
ローラン展開可能性と一意性の証明
最後に先ほど述べた[ローラン展開可能性]の定理と,ローラン展開の一意性を証明しましょう.
ローラン展開可能性の証明
正則関数のTaylor展開もそうでしたが,Laurent展開も次のCauchyの積分公式を用いて導かれます.
[Cauchyの積分公式] 領域$D$上で正則な複素関数$f$を考える.任意の$z\in D$に対して,$z$を内部に含む$D$内の閉曲線$C_z$を考え,$C_z$の内部でも$f$が正則なら
が成り立つ.ただし,$C_z$の向きは正方向とする.

このCauchyの積分公式を用いて,以下をローラン展開可能性を示しましょう.
[ローラン展開可能性(再掲)] 領域$D$から$\alpha\in D$を除いた領域$D’$上の正則関数$f$を考え,周および内部が$D$に含まれる$\alpha$中心の円周$C$をとる.このとき,$f$は$C$の内部から$\alpha$を除いた領域で
と表せる.すなわち,$\alpha$中心でローラン展開可能である.
$C$の内部の任意の点$z$をとる.また,$C_{z}$, $C’$はそれぞれ$C$の内部の$z$, $\alpha$中心の円周で,互いに外部にあるようにとる.
$f$は点$\alpha$で微分不可能であり,$\frac{1}{\zeta-z}$が点$z$で微分不可能であることに注意すると,$\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}$は2点$\alpha$, $z$で微分不可能だから,Cauchyの積分定理より
が成り立つ.ただし,$C$, $C_z$, $C’$はいずれも正の向きがついているとする.

また,Cauchyの積分公式より
が成り立つので,これらを併せて
が成り立つ.前回の記事の[Taylor展開可能性]の証明では$I$のみで
とTaylor展開できたから,あとは$I\!I$を
と展開できることを示せば良い.
$I\!I$の積分の中身は
ただし,$|\zeta-\alpha|<|z-\alpha|$より$|\frac{\zeta-\alpha}{z-\alpha}|<1$だから,$\frac{1}{1-\frac{\zeta-\alpha}{z-\alpha}}$は初項1,公比$\frac{\zeta-\alpha}{z-\alpha}$の等比級数であることを用いた.よって,
が成り立つ.
ここで,$(*)$の極限(級数)と積分の順序交換をするため,$\int_{C}$の中の$C$上の複素関数を
と定め,関数列$\{g_n\}_{n=0}^{\infty}$が$n\to\infty$で$C’$上一様収束することをWeierstrass(ワイエルシュトラス)のM判定法を用いて示す.
$C’$の半径を$R$とする.円周$C’$は有界閉集合(コンパクト集合)なので,$C’$上で連続な$f$は最大値$M$をもつから,任意の$\zeta\in C’$に対して
が成り立つ.$\frac{R}{|z-\alpha|}<1$だから級数$\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{M}{|z-\alpha|}\bra{\frac{R}{|z-\alpha|}}^{k-1}$は収束するので,WeierstrassのM判定法より関数列$\{g_n\}$は一様収束する.
よって,$(*)$で極限(級数)と積分の順序交換ができて
を得る.ただし,$c_{-k}=\dfrac{1}{2\pi i}\dint_{C’}f(\zeta)(\zeta-\alpha)^{k-1}\,d\zeta$ ($k=1,2,\dots$)とおいた.
この係数$c_k$は$z$によらないから示された.
なお,最後の$c_{-k}=\dfrac{1}{2\pi i}\dint_{C}f(\zeta)(\zeta-\alpha)^{k-1}\,d\zeta$は$-k$を$k$に換え,また被積分関数$\dfrac{f(\zeta)}{(\zeta-\alpha)^{k+1}}$が正則な領域内で積分経路$C’$は$C$に変形できるから
となり,$I$の$k\ge0$のときも$I\!I$の$k<0$のときも同じ形であることが分かりますね.
ローラン展開の一意性
最後にローラン展開の一意性,つまり係数$c_k$が1通りしかないことを示します.
[Laurent展開の一意性] 領域$D$から$\alpha\in D$を除いた領域$D’$上の正則関数$f$を考え,周および内部が$D$に含まれる$\alpha$中心の円周$C$をとる.このとき,$f$は$C$の内部から$\alpha$を除いた領域でのローラン展開は一意である.すなわち,
と表せたとすると,$c_n=d_n$ ($n\in\Z$)が成り立つ.
任意に円周$C$の半径を$R$とし,任意に$k\in\Z$をとる.また,任意に$r\in(0,R)$をとる.
$C$上の点で整級数
が収束するから,微分積分学の整級数と同様に中心$\alpha$,半径$r$の円内部$A_2=\set{z\in\C}{|z-\alpha|<r}$でいずれの整級数も一様収束する.
同様に,
は中心$\alpha$,半径$r$の円外部$A_2=\set{z\in\C}{r<|z-\alpha|}$で一様収束する.
$r\in(0,R)$は任意だったから,領域$A_1\cap A_2=\set{z\in\C}{0<|z-\alpha|<R}$で
はいずれも一様収束する.
よって,$\dsum_{n=-\infty}^{\infty}c_n(z-\alpha)^n=\dsum_{n=-\infty}^{\infty}d_n(z-\alpha)^n$の両辺に$(z-\alpha)^{-k-1}$をかけて,両辺を$C’$上で積分すると
が成り立つ.ただし,$C_r$は中心$\alpha$,半径$r$の円周である.計算により
だから,$2\pi ic_{k}=2\pi id_{k}\iff c_{k}=d_{k}$となってLaurent展開の一意性が成り立つ.
最後の複素積分$\dint_{C_r}c_n(z-\alpha)^{n-k-1}\,dz$の計算については以前の記事で実際に計算しているので,詳しくはそちらを参照してください.

また,Laurent展開が一意であることから
- とくにTaylor展開も一意
- 留数も一意
であることが分かりますね.
留数定理
次の記事では,この一連の記事の目標である留数定理を説明し,次の問題に応用します.
次の広義積分を計算せよ.
留数定理を用いるには龍数を求める必要があるためLaurent展開をする必要があります.
そのため,具体的にLaurent展開を求める方法を知りたい方は次の記事を参照してください.
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