ハーディの不等式
ソボレフ空間の重み付き空間への埋め込み

関数空間
関数空間

この記事で扱うHardy(ハーディ)の不等式はSobolev(ソボレフ)の不等式のように,ソボレフ空間の埋め込みを示す不等式です:

   \begin{align*}\int_{\R^d}\frac{|f(x)|^p}{|x|^q}\,dx \lesssim\bra{\int_{\R^d}|f(x)|^p\,dx}^{\frac{p-q}{p}}\bra{\int_{\R^d}|\nabla{f}(x)|\,dx}^{\frac{q}{p}}\end{align*}

Hardyの不等式は偏微分方程式論などで空間の重みが付いた積分を評価する際に用いられ,通常のSobolevの不等式と同様に重要な不等式となっています.

なお,Hardyの不等式は極座標変換,部分積分,Hölderの不等式を用いれば,(通常のSobolevの不等式と比べて)比較的容易に示すことができます.

この記事では

  • Hardyの不等式の主張
  • Hardyの不等式の証明

を順に証明します.

Hardyの不等式

次の不等式をHardyの不等式 (Hardy’s inequality)といいます.

$d\ge2$は次元とし,$p,q\in\R$は$1\le p<\infty$, $q<d$, $0\le q\le p$を満たすとする.このとき,任意の$f\in W^{1,p}(\R^d)$に対して,

   \begin{align*}\int_{\R^d}\frac{|f(x)|^p}{|x|^q}\,dx \le\bra{\frac{p}{d-q}}^{q}\|f\|_{p}^{p-q}\|\nabla{f}\|_{p}^{q}\end{align*}

が成り立つ.ただし,$W^{1,p}(\R^d)$は非斉次Sobolev空間であり,$\|\cdot\|_p$は$L^p(\R^d)$ノルムである.

Hardyの不等式における定数$\bra{\frac{p}{d-q}}^{q}$は最良であることも証明できます.

よく知られているように$0<q<d$なら$\frac{1}{|x|^q}$は$|x|\to\infty$で減衰が弱く可積分ではありません.

実際,極座標変換$x=r\omega$ ($r=|x|$, $\omega\in\mathbb{S}^{d-1}$)に関してヤコビアンが$r^{d-1}$であることより

   \begin{align*}\int_{\R^d}\frac{1}{|x|^q}\,dx =&\int_{\mathbb{S}^{d-1}}\int_{0}^{\infty}\frac{1}{r^q}r^{d-1}\,dr\,d\omega \\=&|\mathbb{S}^{d-1}|\brc{\frac{r^{d-q}}{d-q}}_{0}^{\infty}\end{align*}

ですから,$q<d$なら$r\to\infty$で可積分ではありませんね.

つまり,Hardyの不等式は「$f\in W^{1,p}(\R^d)$に対して,$|f|^p$に$\frac{1}{|x|^q}$をかけても可積分であるくらいの特異性,減衰をもつ」という意味になっているわけですね.

Hardyの不等式の証明

補題を示してから,Hardyの不等式を示します.

補題

$d\ge2$は次元とし,$p\in\R$は$1\le p<\infty$を満たすとする.このとき,任意の$f\in \dot{W}^{1,p}(\R^d)$に対して,

   \begin{align*}\int_{\R^d}\frac{|f(x)|^p}{|x|^p}\,dx \le\bra{\frac{p}{d-p}}^{p}\|\nabla{f}\|_{p}^{p}\end{align*}

が成り立つ.ただし,$\dot{W}^{1,p}(\R^d)$は斉次Sobolev空間であり,$\|\cdot\|_p$は$L^p(\R^d)$ノルムである.

この補題の不等式をHardyの不等式ということもあります.

$f\in C^{\infty}_{0}(\R^d)$の場合を示す.極座標変換$x=r\omega$ ($r=|x|$, $\omega\in\mathbb{S}^{d-1}$)を用いると

   \begin{align*}\int_{\R^d}\frac{|f(x)|^p}{|x|^p}\,dx =&\int_{\mathbb{S}^{d-1}}\int_{0}^{\infty}\frac{|f(r\omega)|^p}{r^p}\cdot r^{d-1}\,dr\,d\omega \\=&\int_{\mathbb{S}^{d-1}}\int_{0}^{\infty}|f(r\omega)|^pr^{d-p-1}\,dr\,d\omega\end{align*}

である.$r^{d-q-1}=\pd{}{r}\bra{\frac{r^{d-q}}{d-q}}$だから,$r$について部分積分を用いると

   \begin{align*}\int_{\R^d}\frac{|f(x)|^p}{|x|^p}\,dx =\frac{1}{d-q}\int_{\mathbb{S}^{d-1}}\int_{0}^{\infty}\pd{}{r}\bra{|f(r\omega)|^p}r^{d-p}\,dr\,d\omega\end{align*}

である.一般に$\pd{g}{r}(x)=\frac{x}{r}\cdot\nabla{g}(x)$だから,

   \begin{align*}\pd{}{r}\bra{|f(r\omega)|^p} =&\frac{x}{r}\cdot\nabla\bra{|f(x)|^p} \\=&\frac{x}{r}\cdot\bra{p|f(x)|^{p-1}\nabla{f}(x)} \\=&p|f(x)|^{p-1}\pd{f}{r}(x)\end{align*}

であり,極座標変換を元に戻して

   \begin{align*}\int_{\R^d}\frac{|f(x)|^p}{|x|^p}\,dx =&\frac{1}{d-p}\int_{\mathbb{S}^{d-1}}\int_{0}^{\infty}p|f(x)|^{p-1}\pd{f}{r}(x)r^{d-p}\,dr\,d\omega \\=&\frac{p}{d-p}\int_{\R^d}\frac{|f(x)|^{p-1}}{|x|^{p-1}}\pd{f}{r}(x)\,dx\end{align*}

を得る.よって,$1=\frac{p-1}{p}+\frac{1}{p}$に関するHölderの不等式より

   \begin{align*}\int_{\R^d}\frac{|f(x)|^p}{|x|^p}\,dx =&\frac{p}{d-p}\int_{\mathbb{S}^{d-1}}\int_{0}^{\infty}|f(x)|^{p-1}\pd{f}{r}r^{d-p}\,dr\,d\omega \\=&\frac{p}{d-p}\int_{\R^d}\frac{|f(x)|^{p-1}}{|x|^{p-1}}\pd{f}{r}\,dx \\\le&\frac{p}{d-p}\bra{\int_{\R^d}\abs{\frac{f(x)}{x}}^{p}\,dx}^{\frac{p-1}{p}}\bra{\int_{\R^d}\abs{\pd{f}{r}(x)}^{p}\,dx}^{1/p}\end{align*}

となる.両辺を$\bigl(\int_{\R^d}\bigl|\frac{f(x)}{x}\bigr|^{p}\,dx\bigl)^{\frac{p-1}{p}}$で割って$|\pd{f}{r}|=|\nabla{f}|$を用いると,

   \begin{align*}&\bra{\int_{\R^d}\frac{|f(x)|^p}{|x|^p}\,dx}^{1/p} \le\frac{p}{d-p}\bra{\int_{\R^d}|\nabla{f}(x)|p\,dx}^{1/p}\end{align*}

が従う.$\dot{W}^{1,p}(\R^d)$における$C^{\infty}_{0}(\R^d)$の稠密性と併せて,$f\in \dot{W}^{1,p}(\R^d)$にも成り立つことが分かる.

Hardyの不等式の証明

この補題を$|f|^{p/q}$に適用すれば,次のように直ちにHardyの不等式が従います.

(再掲)$d\ge2$は次元とし,$p,q\in\R$は$1\le p<\infty$, $q<d$, $0\le q\le p$を満たすとする.このとき,任意の$f\in W^{1,p}(\R^d)$に対して,

   \begin{align*}\int_{\R^d}\frac{|f(x)|^p}{|x|^q}\,dx \le\bra{\frac{p}{d-q}}^{q}\|f\|_{p}^{p-q}\|\nabla{f}\|_{p}^{q}\end{align*}

が成り立つ.ただし,$W^{1,p}(\R^d)$は非斉次Sobolev空間であり,$\|\cdot\|_p$は$L^p(\R^d)$ノルムである.

$p=q$のとき,定理は補題そのものなので示されている.

$q<p$のとき,$f\in W^{1,p}(\R^d)$に対して$g=|f|^{p/q}$とおく.このとき,$g\in\dot{W}^{1,q}(\R^d)$だから補題を適用できて

   \begin{align*}&\int_{\R^d}\frac{|g(x)|^q}{|x|^q}\,dx \le\bra{\frac{q}{d-q}}^{q}\|\nabla{g}\|_{q}^{q} \\\iff&\int_{\R^d}\frac{|f(x)|^p}{|x|^q}\,dx \le\bra{\frac{q}{d-q}}^{q}\|\nabla{|f|^{p/q}}\|_{q}^{q}\end{align*}

が成り立つ.また,$\frac{1}{q}=\frac{p-q}{pq}+\frac{1}{p}$に関するHölderの不等式より

   \begin{align*}\|\nabla{|f|^{p/q}}\|_{q} =&\nor{\frac{p}{q}|f|^{\frac{p}{q}-1}\nabla{f}}_{q} \\\le&\frac{p}{q}\|f\|_{p}^{\frac{p-q}{q}}\|\nabla{f}\|_{p}\end{align*}

だから,Hardyの不等式

   \begin{align*}\int_{\R^d}\frac{|f(x)|^p}{|x|^q}\,dx \le\bra{\frac{p}{d-q}}^{q}\|f\|_{p}^{p-q}\|\nabla{f}\|_{p}^q\end{align*}

が従う.

コメント

タイトルとURLをコピーしました