ヘルダーの不等式の証明・応用｜ルベーグ積分の基本不等式

ルベーグ積分（測度論）を扱う分野では，$p$乗可積分に関する不等式であるヘルダー（Hölder）の不等式がよく用いられます．

ヘルダーの不等式を用いると可測関数$f,g$の積$fg$が可積分であることを証明できるなど，ルベーグ積分において最も基本的な不等式のひとつです．

この記事では，

$p$乗ルベーグ可積分関数
ヘルダーの不等式
ヘルダーの不等式の応用

を順に説明します．

以下の積分はルベーグ積分として考えていますが，より一般に測度空間上でも同様に成り立ちます．

「ルベーグ空間$L^p$の基本」の一連の記事

$p$乗ルベーグ可積分関数
ヘルダーの不等式
ヘルダーの不等式の応用（双対性）

$p$乗ルベーグ可積分関数

まずは$p$乗可積分関数を定義しましょう．

可測集合$A\subset\R$上の可測関数$f$と$p\ge1$に対して，

$\begin{align*}\int_{A}|f(x)|^p\,dx<\infty\quad\dots(*)\end{align*}$

が成り立つとき，$f$は$A$における$p$乗可積分であるという．

条件$(*)$は$|f|^p$がルベーグ可積分であると言っても同じことですね．

例えば，$f:\R\to\R;x\mapsto\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}$は可測集合$\R$上の可測関数であり，

$\begin{align*}\int_{\R}|f(x)|^2\,dx &=\int_{\R}\frac{1}{1+x^2}\,dx =\brc{\tan^{-1}{x}}_{-\infty}^{\infty} \\&=\frac{\pi}{2}-\bra{-\frac{\pi}{2}} =\pi\end{align*}$

となるので，$f$は$\R$における２乗可積分関数ですね．

ヘルダーの不等式

補題をひとつ示してから，ヘルダーの不等式を証明します．

補題

$p,q>1$は$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$を満たすとする．このとき，任意の$a,b\ge0$に対して，不等式

$\begin{align*}ab\le \frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}\end{align*}$

が成り立つ．

$a=0$または$b=0$のときは両辺とも０なので等号で成り立つから，以下$a\neq0$かつ$b\neq0$とする．

対数関数$\log$は上に凸だから，$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$に注意してイェンセンの不等式を用いると

$\begin{align*}\log{\bra{\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}}} &\le\frac{1}{p}\log{a^p}+\frac{1}{q}\log{b^q} \\&=\log{a}+\log{b}=\log{ab}\end{align*}$

が成り立つ．

よって，対数関数が単調増加であることと併せて$\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}\ge ab$を得る．

ヘルダーの不等式と証明

次の不等式をヘルダーの不等式といいます．

［ヘルダーの不等式］$A\subset\R$を可測集合とし，$p,q>1$は$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$を満たすとする．このとき，$A$上の可測関数$f,g$に対して，不等式

$\begin{align*}\bra{\int_{A}|f(x)g(x)|\,dx}\le\bra{\int_{A}|f(x)|^p\,dx}^{1/p}\bra{\int_{A}|g(x)|^q\,dx}^{1/q}\end{align*}$

が成り立つ．

ヘルダーの不等式から$p$乗可積分関数$f$と$q$乗可積分関数$g$の積$fg$は，１乗可積分関数（普通の可積分関数）であることが従いますね．

なお，$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$を満たす$p,q\in[1,\infty]$をヘルダー共役（Hölder conjugate）といいます．よく用いられるので知っておいてください．

$p=1$のときは$q=\infty$とみなし，$q=1$のときは$p=\infty$とみなします．

$F:=\bra{\int_{A}|f(x)|^p\,dx}^{1/p}$, $G:=\bra{\int_{A}|g(x)|^q\,dx}^{1/q}$とおく．

もし$F=0$または$G=0$なら，ほとんど至る所で$f=0$または$g=0$なので両辺とも$0$となって不等式が等号で成り立つから，$F\neq0$かつ$G\neq0$で考えれば良い．

さらに，もし$F=\infty$または$G=\infty$なら，右辺が$\infty$となって不等式が成り立つから，さらに$F\neq\infty$かつ$G\neq\infty$で考えれば良い．

任意の$x\in A$に対して，先ほど示した補題を$a=\frac{|f(x)|}{F}$, $b=\frac{|g(x)|}{G}$として適用すると，

$\begin{align*}\frac{|f(x)g(x)|}{FG} =\frac{|f(x)|}{F}\cdot\frac{|g(x)|}{G} \le\frac{|f(x)|^p}{pF^p}+\frac{|g(x)|^q}{qG^q}\end{align*}$

が成り立つ．よって，$F^p=\int_{A}|f(x)|^p\,dx$, $G^q=\int_{A}|g(x)|^q\,dx$に注意して，$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$を用いると

$\begin{align*}&\int_{A}|f(x)g(x)|\,dx \le FG\int_{A}\bra{\frac{|f(x)|^p}{pF^p}+\frac{|g(x)|^q}{qG^q}}\,dx \\&=FG\bra{\frac{1}{pF^p}\int_{A}|f(x)|^p\,dx+\frac{1}{qG^q}\int_{A}|g(x)|^q\,dx} \\&=FG\bra{\frac{1}{p}+\frac{1}{q}} =FG\end{align*}$

を得る．

コーシー-シュワルツの不等式

いま示したヘルダーの不等式で$p=q=2$としたときの不等式をコーシー（cauchy）-シュワルツ（Schwartz）の不等式といいます：

［コーシー-シュワルツの不等式］$A\subset\R$を可測集合とする．このとき，$A$上の２乗可積分関数$f$, $g$に対して，不等式

$\begin{align*}\bra{\int_{A}|f(x)g(x)|\,dx}\le\bra{\int_{A}|f(x)|^2\,dx}^{1/2}\bra{\int_{A}|g(x)|^2\,dx}^{1/2}\end{align*}$

が成り立つ．

コーシー-シュワルツの不等式から２乗可積分関数$f,g$の積$fg$は，１乗可積分関数（普通の可積分関数）であることが従いますね．

ヘルダーの不等式の応用（双対性）

ヘルダーの不等式を用いると，次の等式が導かれます．

$A\subset\R$を可測集合とし，$p,q>1$は$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$を満たすとする．このとき，$A$上の可測関数$f$に対して，等式

$\begin{align*}\bra{\int_{A}|f(x)|^p\,dx}^{1/p}=\sup\set{\int_{A}|f(x)g(x)|\,dx}{\bra{\int_{A}|g(x)|^q\,dx}^{1/q}=1}\end{align*}$

が成り立つ．

つまり，可測関数$g$を$\int_{A}|g(x)|^q\,dx=1$を満たしながら動かすときの$\int_{A}|f(x)g(x)|\,dx$の上限が$\bra{\int_{A}|f(x)|^p\,dx}^{1/p}$に一致するわけですね．

もし$\int_{A}|f(x)|^p\,dx=0$なら，ほとんど至る所で$f=0$なので両辺とも$0$となって成り立つから，$\int_{A}|f(x)|^p\,dx\neq0$で考えれば良い．

$\bra{\int_{A}|g(x)|^q\,dx}^{1/q}=1$を満たす任意の可測関数$g$に対して，ヘルダーの不等式より

$\begin{align*}\int_{A}|f(x)g(x)|\,dx &\le\bra{\int_{A}|f(x)|^p\,dx}^{1/p}\bra{\int_{A}|g(x)|^q\,dx}^{1/q} \\&=\bra{\int_{A}|f(x)|^p\,dx}^{1/p}\end{align*}$

が成り立つ．よって，

$\begin{align*}\bra{\int_{A}|f(x)|^p\,dx}^{1/p}\ge\sup\set{\int_{A}|fg(x)|\,dx}{\bra{\int_{A}|g(x)|^q\,dx}^{1/q}=1}\end{align*}$

が成り立つ．

一方，$g(x):=|f(x)|^{p-1}\bra{\int_{A}|f(x)|^p\,dx}^{-1/q}$とおくと，

$\begin{align*}&\int_{A}|f(x)g(x)|\,dx =\bra{\int_{A}|f(x)|^p\,dx}^{-1/q}\int_{A}|f(x)|^p\,dx \\&=\bra{\int_{A}|f(x)|^p\,dx}^{1-(1/q)} =\bra{\int_{A}|f(x)|^p\,dx}^{1/p}\end{align*}$