ヘルダーの不等式の証明・応用|ルベーグ積分の基本不等式

ルベーグ空間
ルベーグ空間

ルベーグ積分(測度論)を扱う分野では,$p$乗可積分に関する不等式であるヘルダー(Hölder)の不等式がよく用いられます.

ヘルダーの不等式を用いると可測関数$f,g$の積$fg$が可積分であることを証明できるなど,ルベーグ積分において最も基本的な不等式のひとつです.

この記事では,

  • $p$乗ルベーグ可積分関数
  • ヘルダーの不等式
  • ヘルダーの不等式の応用

を順に説明します.

以下の積分はルベーグ積分として考えていますが,より一般に測度空間上でも同様に成り立ちます.

ルベーグ空間($L^p$空間)の参考文献

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ルベーグ積分と関数解析

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$p$乗ルベーグ可積分関数

まずは$p$乗可積分関数を定義しましょう.

可測集合$A\subset\R$上の可測関数$f$と$p\ge1$に対して,

    \begin{align*}\int_{A}|f(x)|^p\,dx<\infty\quad\dots(*)\end{align*}

が成り立つとき,$f$は$A$における$p$乗可積分であるという.

条件$(*)$は$|f|^p$がルベーグ可積分であると言っても同じことですね.

例えば,$f:\R\to\R;x\mapsto\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}$は可測集合$\R$上の可測関数であり,

    \begin{align*}\int_{\R}|f(x)|^2\,dx &=\int_{\R}\frac{1}{1+x^2}\,dx =\brc{\tan^{-1}{x}}_{-\infty}^{\infty} \\&=\frac{\pi}{2}-\bra{-\frac{\pi}{2}} =\pi\end{align*}

となるので,$f$は$\R$における2乗可積分関数ですね.

ヘルダーの不等式

補題をひとつ示してから,ヘルダーの不等式を証明します.

補題

$p,q>1$は$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$を満たすとする.このとき,任意の$a,b\ge0$に対して,不等式

    \begin{align*}ab\le \frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}\end{align*}

が成り立つ.

$a=0$または$b=0$のときは両辺とも0なので等号で成り立つから,以下$a\neq0$かつ$b\neq0$とする.

対数関数$\log$は上に凸だから,$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$に注意してイェンセンの不等式を用いると

    \begin{align*}\log{\bra{\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}}} &\le\frac{1}{p}\log{a^p}+\frac{1}{q}\log{b^q} \\&=\log{a}+\log{b}=\log{ab}\end{align*}

が成り立つ.

よって,対数関数が単調増加であることと併せて$\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}\ge ab$を得る.

ヘルダーの不等式と証明

次の不等式をヘルダーの不等式といいます.

[ヘルダーの不等式]$A\subset\R$を可測集合とし,$p,q>1$は$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$を満たすとする.このとき,$A$上の可測関数$f,g$に対して,不等式

    \begin{align*}\bra{\int_{A}|f(x)g(x)|\,dx}\le\bra{\int_{A}|f(x)|^p\,dx}^{1/p}\bra{\int_{A}|g(x)|^q\,dx}^{1/q}\end{align*}

が成り立つ.

ヘルダーの不等式から$p$乗可積分関数$f$と$q$乗可積分関数$g$の積$fg$は,1乗可積分関数(普通の可積分関数)であることが従いますね.

なお,$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$を満たす$p,q\in[1,\infty]$をヘルダー共役(Hölder conjugate)といいます.よく用いられるので知っておいてください.

$p=1$のときは$q=\infty$とみなし,$q=1$のときは$p=\infty$とみなします.

$F:=\bra{\int_{A}|f(x)|^p\,dx}^{1/p}$, $G:=\bra{\int_{A}|g(x)|^q\,dx}^{1/q}$とおく.

もし$F=0$または$G=0$なら,ほとんど至る所で$f=0$または$g=0$なので両辺とも$0$となって不等式が等号で成り立つから,$F\neq0$かつ$G\neq0$で考えれば良い.

さらに,もし$F=\infty$または$G=\infty$なら,右辺が$\infty$となって不等式が成り立つから,さらに$F\neq\infty$かつ$G\neq\infty$で考えれば良い.

任意の$x\in A$に対して,先ほど示した補題を$a=\frac{|f(x)|}{F}$, $b=\frac{|g(x)|}{G}$として適用すると,

    \begin{align*}\frac{|f(x)g(x)|}{FG} =\frac{|f(x)|}{F}\cdot\frac{|g(x)|}{G} \le\frac{|f(x)|^p}{pF^p}+\frac{|g(x)|^q}{qG^q}\end{align*}

が成り立つ.よって,$F^p=\int_{A}|f(x)|^p\,dx$, $G^q=\int_{A}|g(x)|^q\,dx$に注意して,$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$を用いると

    \begin{align*}&\int_{A}|f(x)g(x)|\,dx \le FG\int_{A}\bra{\frac{|f(x)|^p}{pF^p}+\frac{|g(x)|^q}{qG^q}}\,dx \\&=FG\bra{\frac{1}{pF^p}\int_{A}|f(x)|^p\,dx+\frac{1}{qG^q}\int_{A}|g(x)|^q\,dx} \\&=FG\bra{\frac{1}{p}+\frac{1}{q}} =FG\end{align*}

を得る.

コーシー-シュワルツの不等式

いま示したヘルダーの不等式で$p=q=2$としたときの不等式をコーシー(cauchy)-シュワルツ(Schwartz)の不等式といいます:

[コーシー-シュワルツの不等式]$A\subset\R$を可測集合とする.このとき,$A$上の2乗可積分関数$f$, $g$に対して,不等式

    \begin{align*}\bra{\int_{A}|f(x)g(x)|\,dx}\le\bra{\int_{A}|f(x)|^2\,dx}^{1/2}\bra{\int_{A}|g(x)|^2\,dx}^{1/2}\end{align*}

が成り立つ.

コーシー-シュワルツの不等式から2乗可積分関数$f,g$の積$fg$は,1乗可積分関数(普通の可積分関数)であることが従いますね.

ヘルダーの不等式の応用(双対性)

ヘルダーの不等式を用いると,次の等式が導かれます.

$A\subset\R$を可測集合とし,$p,q>1$は$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$を満たすとする.このとき,$A$上の可測関数$f$に対して,等式

    \begin{align*}\bra{\int_{A}|f(x)|^p\,dx}^{1/p}=\sup\set{\int_{A}|f(x)g(x)|\,dx}{\bra{\int_{A}|g(x)|^q\,dx}^{1/q}=1}\end{align*}

が成り立つ.

つまり,可測関数$g$を$\int_{A}|g(x)|^q\,dx=1$を満たしながら動かすときの$\int_{A}|f(x)g(x)|\,dx$の上限が$\bra{\int_{A}|f(x)|^p\,dx}^{1/p}$に一致するわけですね.

もし$\int_{A}|f(x)|^p\,dx=0$なら,ほとんど至る所で$f=0$なので両辺とも$0$となって成り立つから,$\int_{A}|f(x)|^p\,dx\neq0$で考えれば良い.

$\bra{\int_{A}|g(x)|^q\,dx}^{1/q}=1$を満たす任意の可測関数$g$に対して,ヘルダーの不等式より

    \begin{align*}\int_{A}|f(x)g(x)|\,dx &\le\bra{\int_{A}|f(x)|^p\,dx}^{1/p}\bra{\int_{A}|g(x)|^q\,dx}^{1/q} \\&=\bra{\int_{A}|f(x)|^p\,dx}^{1/p}\end{align*}

が成り立つ.よって,

    \begin{align*}\bra{\int_{A}|f(x)|^p\,dx}^{1/p}\ge\sup\set{\int_{A}|fg(x)|\,dx}{\bra{\int_{A}|g(x)|^q\,dx}^{1/q}=1}\end{align*}

が成り立つ.

一方,$g(x):=|f(x)|^{p-1}\bra{\int_{A}|f(x)|^p\,dx}^{-1/q}$とおくと,

    \begin{align*}&\int_{A}|f(x)g(x)|\,dx =\bra{\int_{A}|f(x)|^p\,dx}^{-1/q}\int_{A}|f(x)|^p\,dx \\&=\bra{\int_{A}|f(x)|^p\,dx}^{1-(1/q)} =\bra{\int_{A}|f(x)|^p\,dx}^{1/p}\end{align*}

となるから,

    \begin{align*}\bra{\int_{A}|f(x)|^p\,dx}^{1/p}\le\sup\set{\int_{A}|f(x)g(x)|\,dx}{\bra{\int_{A}|g(x)|^q\,dx}^{1/q}=1}\end{align*}

が成り立つ.

この等式を用いて$\bra{\int_{A}|f(x)|^p\,dx}^{1/p}$を考えることを双対性議論(duality argument)などと呼ぶことがあります.

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