ルベーグ空間($L^p$空間)の共役空間
Rieszの定理を添えて

関数空間
2021.03.23
関数空間

体$\R$上の有限次元線形空間$V$に対して，線形写像$V\to\R$全部の集合は$V$の双対空間とよばれ，$V^*$と表されることは線形代数学で学びますね：

$V^{*}=\set{f:V\to\R}{\text{$f$は線形写像}}$．

$V$が無限次元ノルム空間の場合には，線形写像$V\to\R$のうち(汎関数として)有界なものの空間を共役空間とよび，やはり$V^*$と表します．

無限次元の線形空間を扱う分野として関数解析学がありますが，関数解析学ではこの共役空間が重要な役割を果たします．

さて，$p\in[1,\infty)$に対して，$p$乗ルベーグ可積分関数の空間は$L^p$と表され，$L^p$ノルム$\|\cdot\|_{L^p}$によってノルム空間となります．

実は$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$で$q$を定めるとき，$L^p$の共役空間$(L^p)^*$は$L^q$に一致することが知られています．

この記事では，(証明まではしませんが)この同型$(L^p)^*\cong L^q$の考え方をRieszの表現定理と併せて説明します．

なお，体$\C$上の線形空間に対しても同様に成り立ちますが，本記事での線形空間は全て体$\R$上の線形空間とします．

共役空間

共役空間の元は有界線形汎関数なので，まずはこれを定義しましょう．

線形空間$V$から$\R$へのへの写像を$V$上の汎関数 (functional)という．とくに汎関数が線形のときには線形汎函数 (linear functional)という．

次に，線形汎関数の有界性を定義します．

ノルム空間$(V,\|\cdot\|_V)$を考える．$V$上の線形汎函数$f$が

   \begin{align*} \|f\|_{*}:=\sup_{u\in V\setminus\{0\}}\frac{|f(u)|}{\|u\|_V}<\infty \end{align*}

を満たすとき，$f$は有界 (bounded)であるという．

$V$上の線形汎関数$f$と$u\in V$に対して

  • $\|u\|_{V}$は$u$の$V$での長さ
  • $|f(u)|$は$f(u)$の$\R$での長さ

ですから，$\frac{|f(u)|}{\|u\|_V}$は線形汎関数$f:V\to\R$を施す前の長さに対する後の長さの比ということになります．

$u\in V$を自由に動かしたときの上限が$\|f\|_{*}$ですから，線形汎関数$f$が有界であるとは$f$を施す前の長さに対する後の長さの比が有界であるということができますね．

ノルム空間$V$が有限次元なら，任意の線形汎函数は有界となることが証明できます．よって，有界でない線形汎関数が存在するのは，無限次元の場合に限ります．

これで有界線形汎関数が定義できたので，共役空間を定義しましょう．

ノルム空間$(V,\|\cdot\|_V)$上の有界線形汎函数全部の集合を$V^*$と表す．

このとき，$\|\cdot\|_{*}$は$V^*$のノルムとなり，こうしてできるノルム空間$(V^*,\|\cdot\|_{*})$を$V$の共役空間 (conjugate space)または双対空間 (dual space)という．

以降，この記事では$V^*$上のノルム$\|\cdot\|_{*}$を$\|\cdot\|_{V^{*}}$と表すことにします．

Rieszの表現定理

次にRiesz(リース)の表現定理とよばれる内積空間の$\|\cdot\|_{V^*}$ノルムに関する定理を説明します．

Rieszの表現定理のベースとなるのは次の事実です．

内積空間$(V,\anb{\cdot,\cdot}_{V})$を考える．$v\in V$に対して$f_{v}:V\to\R$を

   \begin{align*} f_{v}(u):=\anb{u,v}_{V} \end{align*}

で定める．このとき，次が成り立つ．

  • $f_{v}\in V^{*}$
  • $\|f_{v}\|_{V^{*}}=\|v\|_{V}$

例えば，標準内積を備えた$\R^3$で$v:=[1,2,3]^T$とすると，$f_v$は

   \begin{align*} &f_v(0,1,0)=\anb{\bmat{0\\1\\0},\bmat{1\\2\\3}}=2, \\&f_v(2,0,-1)=\anb{\bmat{2\\0\\-1},\bmat{1\\2\\3}}=-1, \end{align*}

という汎関数ですね．


内積の第１成分に関する線形性から$f\in V^{*}$が成り立つ．

次に，$\|f_{v}\|_{V^{*}}=\|v\|_{V}$は

  • $\|f_{v}\|_{V^{*}}\le\|v\|_{V}$
  • $\|f_{v}\|_{V^{*}}\ge\|v\|_{V}$

を示せば成り立つことが分かる．任意の$u\in V\setminus\{0\}$に対して，Cauchy-Schwarzの不等式より

   \begin{align*} |f_{v}(u)| =|\anb{u,v}_{V}| \le\|u\|_{V}\|v\|_{V} \end{align*}

なので，両辺を$\|u\|_{V}$で割って$u\in V\setminus\{0\}$で上限をとれば$\|f_{v}\|_{V*}\le\|v\|_{V}$が成り立つ．

一方，

   \begin{align*} |f_{v}(v)| =|\anb{v,v}_{V}| =\|v\|_{V}^{2} \end{align*}

なので，両辺を$\|v\|_{V}$で割って

   \begin{align*} \|f_{v}\|_{V^{*}} \ge\frac{|f_{v}(v)|}{\|v\|_{V}} =\|v\|_{V} \end{align*}

が成り立つ．

今は内積から線形汎函数を作りましたが，実は$V$がHilbert空間(完備な内積空間)なら任意の線形汎関数は内積を使って表せることが証明できます．

このことと今示した命題を併せた，次の定理をRieszの表現定理といいます．

[Rieszの表現定理]　任意の$f\in V^{*}$に対して，ある$v\in V$が一意に存在して

   \begin{align*} f=f_{v}=\anb{\cdot,v}_{V} \end{align*}

かつ$\|f\|_{V^*}=\|v\|_V$が成り立つ．

このように$f\in V^{*}$の内積で表すことをRiesz表現といいます．

このRieszの表現定理から次のようにHilbert空間は自分の共役空間と同型であることが分かりますね．

Hilbert空間$V$に対して，写像

   \begin{align*} \tau:V\to V^{*};v\mapsto f_{v} \end{align*}

は同型である：$\tau:V\stackrel{\sim}{\to}V^{*}$．


$\tau$は

  • 内積の性質から単射
  • Rieszの表現定理から全射
  • Rieszの表現定理から等長

だから同型である．

ルベーグ空間($L^p$空間)の共役空間

$\Omega\subset\R^{d}$を可測集合とします．

$p\in[1,\infty)$に対して，$\Omega$上で$p$乗Lebesgue可積分関数の集合を$L^{p}(\Omega)$や単に$L^{p}$と表す：

$L^{p}(\Omega)=\set{f:\Omega\to\R}{\begin{gathered}\text{$f$は$\Omega$上可測}\\\|f\|_{L^{p}}<\infty\end{gathered}}$．

また，$\Omega$上で本質的有界な関数の集合を$L^{\infty}(\Omega)$や単に$L^{\infty}$と表す：

$L^{p}(\Omega)=\set{f:\Omega\to\R}{\begin{gathered}\text{$f$は$\Omega$上可測}\\\|f\|_{L^{\infty}}<\infty\end{gathered}}$．

ただし，$\|\cdot\|_{L^{p}}$, $\|\cdot\|_{L^{\infty}}$は

   \begin{align*} &\|f\|_{L^{p}}:=\bra{\int_{\Omega}|f(x)|^{p}}^{1/p}, \\&\|f\|_{L^{\infty}}:=\inf\set{\lambda>0}{|f|\le\lambda\ \mrm{a.e.}} \end{align*}

である．

正確には$L^p$は上記の集合をほとんど至る所等しいという同値関係で割ってできる商集合です．

$\|\cdot\|_{L^p}$は$L^p$のノルムとなり，$(L^p,\|\cdot\|_{L^p})$はBanach空間(完備なノルム空間)となります．この空間をLebesgue空間といいます．

とくに$p=2$の場合は中線定理を満たしHilbert空間となり，内積は

   \begin{align*} \anb{u,v}_{L^{2}}=\int_{\Omega}u(x)v(x)\,dx \end{align*}

となります．

ここで，Rieszの表現定理のところで考えたように

   \begin{align*} f_v:L^2\to\R;u\mapsto\anb{u,v}_{L^2} \end{align*}

で線形汎関数を定めると，Cauchy-Schwarzの不等式から

   \begin{align*} |f_{v}(u)|=\abs{\int_{\Omega}u(x)v(x)\,dx} \le\|u\|_{L^{2}}\|v\|_{L^{2}} \end{align*}

が成り立ちます．

実はこの内積空間でのCauchy-Schwarzの不等式の一般化としてHölderの不等式があります．

$p\in[1,\infty)$に対して$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$で$q\in(1,\infty]$を定める．このとき，$u\in L^p$, $v\in L^q$に対して，$uv\in L^1$となり，次の不等式が成り立つ：

   \begin{align*} \abs{\int_{\Omega}u(x)v(x)\,dx} \le\|u\|_{L^{p}}\|v\|_{L^{q}}. \end{align*}

ただし，$p=1$のときは$q=\infty$とする．

$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$の関係にある$p,q\in(1,\infty]$をHölder共役といいます．

つまり，$v\in L^q$に対して，$L^2$の場合と同様に線形汎関数

   \begin{align*} f_v:L^p(\Omega)\to\R;u\mapsto\int_{\Omega}u(x)v(x)\,dx \end{align*}

とすると，Hölderの不等式から

   \begin{align*} |f_{v}(u)|\le\|u\|_{L^{p}}\|v\|_{L^{q}} \end{align*}

が成り立ち，$\|f\|_{(L^p)^{*}}\le\|v\|_{L^{q}}$となります，$f_v$は有界となります：$f_v\in(L^p)^{*}$．

実は，この逆向きの不等式$\|f\|_{(L^p)^{*}}\ge\|v\|_{L^{q}}$も成り立つことが分かり，したがって写像

   \begin{align*} \tau:L^q\to (L^p)^{*};v\mapsto f_{v} \end{align*}

は同型となります：$L^q\cong (L^p)^{*}$．

つまり，指数$p\in[1,\infty)$のLebesgue空間の共役空間は指数がHölder共役なLebesgue空間と同型になるわけですね．

ただし，$L^\infty$の共役空間は$L^1$とはなりません．

そのため，$L^p$の共役空間の共役空間は$L^p$と元に戻ります．

この２回共役をとって元に戻る空間を回帰的共役空間といいます．

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