生成（span）される線形部分空間｜具体例から考え方を解説

例えば，２次列ベクトル全部の線形空間$\R^2$のベクトル$\bmat{1\\0}$と$\bmat{0\\1}$の線形結合

\begin{align*}a\bmat{1\\0}+b\bmat{0\\1}\end{align*}

について，$a$と$b$を動かせば様々な$\R^2$上のベクトルを表すことができますね．

このように，いくつかのベクトルの線形結合で表されるベクトル全部の集合は線形部分空間となり，この線形部分空間を生成される部分空間といいます．

この記事では

• 生成される線形部分空間の定義・具体例
• $\spn{(\m{v}_1,\m{v}_2,\dots,\m{v}_n)}$が線形空間であることの証明

を順に解説します．

なお，列ベクトルの線形空間$\R^n$の部分空間だけで十分なら，列ベクトルの部分空間に絞って解説した以下の記事が分かりやすいでしょう．

ℝⁿ上のspanされる（生成される）部分空間の基底・次元の求め方

生成される部分空間は線形代数でよく現れる重要な空間で基底を求めたいことはよくあります．この記事では，ℝⁿ上の生成される空間の基底・次元の求め方を具体例から説明します．

math-note.xyz

生成される線形部分空間の定義・具体例

線形空間上のいくつかのベクトルに対して，それらの線形結合全部の集合は線形部分空間となります．

この補題の証明はひとまずおいて，生成される部分空間の定義と具体例を見てみましょう．

生成される部分空間の定義

上の補題の空間が本記事のテーマの生成される線形部分空間です．

スカラーが$\mathbb{F}$であることを強調して

\begin{align*}\spn_{\mathbb{F}}{(\m{v}_1,\m{v}_2,\dots,\m{v}_n)}\end{align*}

と表すこともあります．

また，この他にも$\anb{\m{v}_1,\m{v}_2,\dots,\m{v}_n}_V$, $\anb{\m{v}_1,\m{v}_2,\dots,\m{v}_n}$などと表すこともあります．

具体例１（$\R^2$での生成部分空間）

２次列ベクトル全部の線形空間$\R^2$に対して，$\sbmat{2\\1}\in\R^2$により生成される線形部分空間$W$は

\begin{align*}W&=\spn{\bra{\sbmat{2\\1}}}
\\&=\set{c\sbmat{2\\1}\in\R^2}{c\in\R}\end{align*}

です．例えば

• $c=1$とすれば$\sbmat{2\\1}\in W$
• $c=-1$とすれば$\sbmat{-2\\-1}\in W$
• $c=2$とすれば$\sbmat{4\\2}\in W$
• $c=0$とすれば$\sbmat{0\\0}\in W$

となりますね．つまり，$W$は$\sbmat{2\\1}$を実数倍してできる２次列ベクトル全部の集合ですから，$W$は以下のように図示できますね．

つまり，$\R^2$を$xy$平面とすると，$W$は$y=\dfrac{1}{2}x$のグラフということになります．

具体例２（$\R^3$での生成部分空間）

３次列ベクトル全部の線形空間$\R^3$に対して，$\sbmat{1\\0\\0},\sbmat{0\\3\\0},\sbmat{2\\1\\0}\in\R^3$により生成される線形部分空間$W$は

\begin{align*}W&=\spn{\bra{\sbmat{1\\0\\0},\sbmat{0\\3\\0},\sbmat{2\\1\\0}}}
\\&=\set{c_1\sbmat{1\\0\\0}+c_2\sbmat{0\\3\\0}+c_3\sbmat{2\\1\\0}\in\R^2}{c_1,c_2,c_3\in\R}\end{align*}

です．例えば

• $c_1=1$, $c_2=c_3=0$とすれば$\sbmat{1\\0\\0}\in W$
• $c_1=0$, $c_2=1$, $c_3=0$とすれば$\sbmat{0\\3\\0}\in W$
• $c_1=c_2=0$, $c_3=1$とすれば$\sbmat{2\\1\\0}\in W$
• $c_1=-3$, $c_2=-1$, $c_3=2$とすれば$\sbmat{1\\-1\\0}\in W$

となりますね．このように$c_1$, $c_2$を動かしてできる多項式全部の線形部分空間が$W$です．いま

\begin{align*}W&=\set{(c_1+2c_3)\sbmat{1\\0\\0}+(3c_2+c_3)\sbmat{0\\1\\0}\in\R^2}{c_1,c_2,c_3\in\R}
\\&=\set{s\sbmat{1\\0\\0}+t\sbmat{0\\1\\0}\in\R^2}{s,t\in\R}\end{align*}

ですから，$\R^3$を$xyz$空間とすると，$W$は$xy$平面ということになります．

具体例３（２次以下の多項式の線形空間$\R[x]_2$での生成部分空間）

２次以下の実数係数の多項式全部の線形空間

\begin{align*}\R[x]_2=\set{a_0+a_1x+a_2x^2}{a_0,a_1,a_2\in\R}\end{align*}

に対して，$2-x,1+x+x^2\in\R[x]_2$により生成される線形部分空間$W$は

\begin{align*}W&=\spn{(2-x,1+x+x^2)}\\&=\set{c_1(2-x)+c_2(1+x+x^2)\in\R[x]_2}{c_1,c_2\in\R}\end{align*}

です．例えば

• $c_1=1$, $c_2=0$とすれば$2-x\in W$
• $c_1=0$, $c_2=1$とすれば$1+x+x^2\in W$
• $c_1=2$, $c_2=-1$とすれば$1+3x-x^2\in W$
• $c_1=0$, $c_2=0$とすれば$0\in W$

が分かります．このように$c_1$, $c_2$を動かしてできる多項式全部の線形部分空間が$W$です．

具体例４（実数列の線形空間$\ell(R)$での生成部分空間）

実数列全部の線形空間

\begin{align*}\ell(\R)=\set{(a_1,a_2,a_3,\dots)}{a_1,a_2,a_3,\dots\in\R}\end{align*}

に対して，$\{a_n\},\{b_n\}\in\ell(\R)$を$a_n=n$, $b_n=(-1)^n$で定めます：

\begin{align*}\{a_n\}=(1,2,3,4,\dots),\quad
\{b_n\}=(1,-1,1,-1,\dots).\end{align*}

このとき，$\{a_n\},\{b_n\}\in\ell(\R)$により生成される線形部分空間$W$は

\begin{align*}W&=\spn{(\{a_n\},\{b_n\})}\\&=\set{c_1\{a_n\}+c_2\{b_n\}\in\ell(\R)}{c_1,c_2\in\R}\end{align*}

です．例えば

• $c_1=1$, $c_2=0$とすれば$\{a_n\}=(1,2,3,4,\dots)\in W$
• $c_1=0$, $c_2=1$とすれば$\{b_n\}=(1,-1,1,-1,\dots)\in W$
• $c_1=$, $c_2=1$とすれば$\{a_n+b_n\}=(2,1,4,3,\dots)\in W$
• $c_1=0$, $c_2=0$とすれば$(0,0,0,0,\dots)\in W$

が分かります．このように$c_1$, $c_2$を動かしてできる数列全部の線形部分空間が$W$です．

$\spn{(\m{v}_1,\m{v}_2,\dots,\m{v}_n)}$が線形空間であることの証明

それでは最初の補題を証明しましょう．