2実変数
はいつでも等しいわけではありませんが,実用上の多くの場合で等しくなります.
この記事では
- 偏微分の順序交換が可能な条件
- 偏微分の順序交換が不可能な具体例
を順に解説します.
偏微分の順序交換が可能な条件
まずは2変数関数の場合を考えて,それをもとに3変数以上の場合を説明します.
2変数関数の場合の定理
- 点
の近くで , が存在 , が点 で連続
をみたすとき,点
いまの定理は点
開集合
多変数関数
具体例1(多項式)
2実変数
このことを具体例で確かめてみましょう.
2実変数関数
偏微分の順番
計算により
なので,
である.確かに
具体例2( 級関数)
他の関数でも考えてみましょう.
2変数関数
で定める.計算により
関数
計算により
なので,
である.確かに
2変数関数の場合の証明
それでは上の定理を証明しておきましょう.
(再掲)
- 点
の近くで , が存在 , が点 で連続
をみたすとき,点
十分0に近い実数
とおく.このとき,平均値の定理より,ある
が成り立つ.同様に,ある
が成り立つ.いま
が成り立ち,両辺で
が成り立つ.
3変数以上の関数の場合の定理
3変数以上の場合も2変数と同様に証明できるので,上で紹介した2変数の場合に対応する定理と系を紹介します.
- 点
の近くで , が存在 , が点 で連続
をみたすとき,
開集合
偏微分の順序交換が不可能な具体例
ある程度滑らかな関数では偏微分の順序は気にしなくてもよいわけですが,裏返せば滑らかでない関数は偏微分の順序交換ができないことがあるということになりますね.
そのような例を紹介します.
関数数
で定めると,
点
計算により示す.
1階導関数の計算
である.また,定義より
である.すなわち,
である.同様に
である.
2階偏導関係数の計算
次に2階偏導関係数
となるので,
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