チェザロ総和|普通の意味では収束しない級数を収束させたい

微分積分学
微分積分学

$1$と$-1$を交互に足し続ける級数

   \begin{align*}1-1+1-1+1-1+\dots\quad(*)\end{align*}

は部分和が$1$と$0$を繰り返すので収束しない級数ですね.

しかし,普通の級数の収束を拡張したチェザロ(Cesàro)総和という考え方のもとでは,級数$(*)$が$\dfrac{1}{2}$に総和可能であるということができます.

このように普通の意味では収束していない級数にも,Cesàro総和の意味では和を考えることができる場合があります.

この記事では,この級数の収束の拡張と考えられるCesàro総和を解説します.

ベースとなる問題

冒頭の級数の収束について,きちんと書くと次のようになります.

一般項が$a_{n}=(-1)^{n+1}$で定まる実数列$\{a_{n}\}$の級数

   \begin{align*}\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}(=1-1+1-1+1-1+\dots)\end{align*}

が収束しないことを示せ.


定義より,数列$\{a_{n}\}$の初項から第$n$項までの和を$s_{n}$とすると,問題の級数は

   \begin{align*}\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}=\lim_{n\to\infty}s_{n}\end{align*}

である.いま

   \begin{align*}s_{n} =\begin{cases} 1&(n=1,3,5,\dots)\\ 0&(n=2,4,6,\dots) \end{cases}\end{align*}

だから$s_n$は収束しないので,級数は収束しない.

チェザロ総和の定義と意味

いまみたように級数

   \begin{align*}1-1+1-1+1-1+\dots\end{align*}

は普通の級数としては収束しませんが,Cesàro総和としては意味を持つことを証明することができます.

前提知識

Cesàro総和の定義の意味を理解するために,次の定理が重要です.

[収束列の平均極限] 実数列$\{s_{n}\}$が$s\in\R$に収束するとき,

   \begin{align*}\lim_{n\to\infty}\frac{s_{1}+s_{2}+\dots+s_{n}}{n}=s\end{align*}

が成り立つ.

極限をとる前の

   \begin{align*}\frac{s_{1}+s_{2}+\dots+s_{n}}{n}\end{align*}

は初項から第$n$項までの平均ですね.

実数列$\{s_{n}\}$が$s\in\R$に収束するということから,この平均で極限$n\to\infty$をとったものは「$s$にどこまでも近い項の無限個の平均」と考えられるので,$s$に収束することが直感的にも理解できますね.

これについて詳しくは以下の記事を参照してください.

チェザロ平均(a₁+a₂+…+aₙ)/nの極限|ε-N論法の応用例
実数列{aₙ}がαに収束するとき,{aₙ}の初項から第n項までの平均(a₁+a₂+……+aₙ)/nの極限もαに収束します.この記事では,このことを数列の厳密な定義であるε-N論法を用いて証明します.

チェザロ総和の定義

今の定理を踏まえて,次の通りCesàro総和が定義されます.

実数列$\{a_{n}\}$に対して,$s_{n}=a_{1}+a_{2}+\dots+a_{n}$とする.このとき,

   \begin{align*}\lim_{n\to\infty}\frac{s_{1}+s_{2}+\dots+s_{n}}{n}\end{align*}

が有限の値に収束するとき,$\{a_{n}\}$の級数はチェザロ(Cesàro)総和可能であるといい,この極限をCesàro総和という.

先ほどの[収束列の平均極限]の定理から,実数列$\{a_n\}$の級数が

   \begin{align*}\sum_{n=1}^{\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}s_n=s\end{align*}

と収束すれば,$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{s_{1}+s_{2}+\dots+s_{n}}{n}=s$が成り立つのでした.

よって,$\{a_{n}\}$の級数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$が値$s$に収束すれば,$\{a_{n}\}$はCesàro総和可能でCesàro総和は$s$となりますね.

重要なことはこの逆が成り立たないことです.つまり,Cesàro総和は普通の級数の拡張として捉えることができるわけですね.

チェザロ総和の具体例

それでは最後に,普通の意味では収束しない最初の級数の例が,Cesàro総和可能であることを確かめましょう.

一般項が$a_{n}=(-1)^{n+1}$で定まる実数列$\{a_{n}\}$の級数

   \begin{align*}\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}(=1-1+1-1+1-1+\dots)\end{align*}

はCesàro総和可能で,Cesàro総和が$\dfrac{1}{2}$であることを示せ.

実数列$\{a_{n}\}$の初項から第$n$項までの和$s_{n}$は

   \begin{align*}s_{n} =\begin{cases} 1&(n=1,3,5,\dots)\\ 0&(n=2,4,6,\dots) \end{cases}\end{align*}

なので,

   \begin{align*}\frac{s_{1}+s_{2}+\dots+s_{n}}{n} =&\begin{cases}\frac{n+1}{2n}&(n=1,3,\dots)\\\frac{1}{2}&(n=2,4,\dots)\end{cases} \\\xrightarrow[]{n\to\infty}&\frac{1}{2}\end{align*}

だからCesàro総和可能で,Cesàro総和は$\dfrac{1}{2}$となります.

なお,この$\dfrac{1}{2}$の直感的な理由付けとしては,この級数を$S$とおくと,

   \begin{align*}-1+S =&-1+(1-1+1-1+1-1+\dots) \\=&-S\end{align*}

となるので,$-1+S=-S$から$S=\dfrac{1}{2}$となります.

ただし繰り返しますが,級数

   \begin{align*}1-1+1-1+1-1+\dots\end{align*}

は普通の意味では発散でしかありません.あくまでCesàro総和で意味をもつだけであることに注意してください.

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