チェザロ総和
普通の意味では収束しない級数を収束させたい

微分積分学
微分積分学

$1$と$-1$を交互に足し続ける級数

   \begin{align*} 1-1+1-1+1-1+\dots\qquad(*) \end{align*}

は部分和が$1$と$0$を繰り返すので収束しない級数ですね.

しかし,普通の級数の収束を拡張したチェザロ(Cesàro)総和という考え方のもとでは,級数$(*)$が$\dfrac{1}{2}$に総和可能であるということができます.

このように普通の意味では収束していない級数にも,Cesàro総和の意味では和を考えることができる場合があります.

この記事では,この級数の収束の拡張と考えられるCesàro総和を解説します.

ベースとなる問題

冒頭の級数の収束について,きちんと書くと次のようになります.

一般項が$a_{n}=(-1)^{n+1}$で定まる実数列$\{a_{n}\}$の級数

   \begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}(=1-1+1-1+1-1+\dots) \end{align*}

が収束しないことを示せ.


定義より,数列$\{a_{n}\}$の初項から第$n$項までの和を$s_{n}$とすると,問題の級数は

   \begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}=\lim_{n\to\infty}s_{n} \end{align*}

である.いま

   \begin{align*} s_{n} =\begin{cases} 1&(n=1,3,5,\dots)\\ 0&(n=2,4,6,\dots) \end{cases} \end{align*}

だから$s_n$は収束しないので,級数は収束しない.

チェザロ総和の定義と意味

いま見たように級数

   \begin{align*} 1-1+1-1+1-1+\dots \end{align*}

は普通の級数としては収束しませんが,Cesàro総和としては意味を持つことが分かります.

前提知識

Cesàro総和の定義の意味を理解するために,次の定理が重要です.

[収束列の平均極限] 実数列$\{s_{n}\}$が$s\in\R$に収束するとき,

   \begin{align*} \lim_{n\to\infty}\frac{s_{1}+s_{2}+\dots+s_{n}}{n}=s \end{align*}

が成り立つ.


任意に$\epsilon>0$をとる.$\{a_{n}\}$が$\alpha\in\R$に収束することから,ある$N\in\N$が存在して,

   \begin{align*} n>N\Ra |a_{n}-\alpha|<\frac{\epsilon}{2} \end{align*}

が成り立つ.

また,$|a_{1}-\alpha|,|a_{2}-\alpha|,\dots,|a_{N}-\alpha|$の最大値を$M$とする.このとき,$N’:=\lceil\frac{2NM}{\epsilon}\rceil$とすれば,

   \begin{align*} n>N'\Ra\frac{NM}{n}\frac{NM}{N'}\le\frac{\epsilon}{2} \end{align*}

が成り立つ.

よって,$\tilde{N}:=\max{\{N,N’\}}$とすれば,$n>\tilde{N}$なら

   \begin{align*}\abs{\frac{a_{1}+a_{2}+\dots+a_{n}}{n}-\alpha} =&\abs{\frac{a_{1}+a_{2}+\dots+a_{n}}{n}-\frac{n\alpha}{n}} \\=&\frac{|(a_{1}-\alpha)+(a_{2}-\alpha)+\dots+(a_{n}-\alpha)|}{n} \\\le&\frac{|a_{1}-\alpha|+|a_{2}-\alpha|+\dots+|a_{n}-\alpha|}{n} \\\le&\frac{|a_{1}-\alpha|+|a_{2}-\alpha|+\dots+|a_{N}-\alpha|}{n} \\&\qquad+\frac{|a_{N+1}-\alpha|+|a_{N+2}-\alpha|+\dots+|a_{n}-\alpha|}{n} \\\le&\frac{NM}{n}+\frac{(n-N)\frac{\epsilon}{2}}{n} <\frac{\epsilon}{2}+\bra{1-\frac{N}{n}}\frac{\epsilon}{2} <\epsilon\end{align*}

となって,

   \begin{align*}\lim_{n\to\infty}\frac{a_{1}+a_{2}+\dots+a_{n}}{n}=\alpha\end{align*}

を得る.

極限をとる前の

   \begin{align*} \frac{s_{1}+s_{2}+\dots+s_{n}}{n} \end{align*}

は初項から第$n$項までの平均ですね.

実数列$\{s_{n}\}$が$s\in\R$に収束するということから,この平均で極限$n\to\infty$をとったものは「$s$にどこまでも近い項の無限個の平均」と考えられるので,$s$に収束することが直感的にも理解できますね.

チェザロ総和の定義

今の定理を踏まえて,次の通りCesàro総和が定義されます.

実数列$\{a_{n}\}$に対して,$s_{n}=a_{1}+a_{2}+\dots+a_{n}$とする.このとき,

   \begin{align*}\lim_{n\to\infty}\frac{s_{1}+s_{2}+\dots+s_{n}}{n}\end{align*}

が有限の値に収束するとき,$\{a_{n}\}$の級数はチェザロ(Cesàro)総和可能であるといい,この極限をCesàro総和という.

先ほどの[収束列の平均極限]の定理から,実数列$\{a_n\}$の級数が

   \begin{align*}\sum_{n=1}^{\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}s_n=s\end{align*}

と収束すれば,$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{s_{1}+s_{2}+\dots+s_{n}}{n}=s$が成り立つのでした.

よって,$\{a_{n}\}$の級数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$が値$s$に収束すれば,$\{a_{n}\}$はCesàro総和可能でCesàro総和は$s$となりますね.

重要なことはこの逆が成り立たないことです.つまり,Cesàro総和は普通の級数の拡張として捉えることができるわけですね.

チェザロ総和の具体例

それでは最後に,普通の意味では収束しない最初の級数の例が,Cesàro総和可能であることを確かめましょう.

一般項が$a_{n}=(-1)^{n+1}$で定まる実数列$\{a_{n}\}$の級数

   \begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}(=1-1+1-1+1-1+\dots) \end{align*}

はCesàro総和可能で,Cesàro総和が$\dfrac{1}{2}$であることを示せ.

実数列$\{a_{n}\}$の初項から第$n$項までの和$s_{n}$は

   \begin{align*}s_{n} =\begin{cases} 1&(n=1,3,5,\dots)\\ 0&(n=2,4,6,\dots) \end{cases}\end{align*}

なので,

   \begin{align*}\frac{s_{1}+s_{2}+\dots+s_{n}}{n} =&\begin{cases}\frac{n+1}{2n}&(n=1,3,\dots)\\\frac{1}{2}&(n=2,4,\dots)\end{cases} \\\xrightarrow[]{n\to\infty}&\frac{1}{2}\end{align*}

だからCesàro総和可能で,Cesàro総和は$\dfrac{1}{2}$となります.

なお,この$\dfrac{1}{2}$の直感的な理由付けとしては,この級数を$S$とおくと,

   \begin{align*} -1+S =&-1+(1-1+1-1+1-1+\dots) \\=&-S \end{align*}

となるので,$-1+S=-S$から$S=\dfrac{1}{2}$となります.

ただし繰り返しますが,級数

   \begin{align*} 1-1+1-1+1-1+\dots \end{align*}

は普通の意味では発散でしかありません.あくまでCesàro総和で意味をもつだけであることに注意してください.

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