測度の単調収束定理|集合の単調増大列・単調減少列

測度論
測度論

ルベーグ積分や確率論をはじめとする測度論では,集合の列$\{A_n\}$を考えることがよくあります.

このとき,集合$A_n$の測度の極限$n\to\infty$に関して述べた測度の単調収束定理が重要な役割を果たすことがよくあります.

測度の単調収束定理は

  • 単調増大列$A_1\subset A_2\subset A_3\subset\dots$の場合
  • 単調減少列$A_1\supset A_2\supset A_3\supset\dots$の場合

の2通りがあります.

この記事では

  • 測度の単調収束定理
  • 単調減少列の場合の補足

を順に説明します.

測度の単調収束定理

次の定理が測度の単調収束定理です.

単調増大列の場合

$(\Omega,\mathcal{F},\mu)$を測度空間とする.このとき,$A_1,A_2,\dots\in\mathcal{F}$が$A_1\subset A_2\subset A_3\subset\dots$を満たすなら,

   \begin{align*}\mu{\bra{\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n}}=\lim_{n\to\infty}\mu(A_n)\end{align*}

が成り立つ.

ざっくり言えば,集合がどんどん大きくなるなら,全ての集合の和集合の測度は測度の極限に一致するということですね.

このことは$\bigcup_{n=1}^{N}A_n=A_{N}$であることから見てとれますね.

集合$B_1,B_2,\dots\in\mathcal{F}$を

   \begin{align*}B_1:=A_1,\quad B_n:=A_{n}\setminus A_{n-1}\quad (n=2,3,\dots)\end{align*}

により定めると,$A_1\subset A_2\subset\dots$より$B_1,B_2,\dots$は互いに素である.

Rendered by QuickLaTeX.com

$\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n=\bigcup_{n=1}^{\infty}B_n$であることに注意すると,$\mu$の完全加法性と併せて

   \begin{align*}\mu{\bra{\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n}} =&\mu{\bra{\bigcup_{n=1}^{\infty}B_n}} =\sum_{n=1}^{\infty}\mu{(B_n)} \\=&\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^{N}\mu{(B_n)} =\lim_{N\to\infty}\mu{\bra{\bigcup_{n=1}^{N}B_n}} \\=&\lim_{N\to\infty}\mu{(A_{N+1})} =\lim_{n\to\infty}\mu(A_n)\end{align*}

を得る.

単調減少列の場合

$(\Omega,\mathcal{F},\mu)$を測度空間とする.このとき,$A_1,A_2,\dots\in\mathcal{F}$が$A_1\supset A_2\supset A_3\supset\dots$を満たし,ある$N\in\N$が存在して$\mu(A_N)<\infty$を満たすなら,

   \begin{align*}\mu{\bra{\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}A_n}}=\lim\limits_{n\to\infty}\mu(A_n)\end{align*}

が成り立つ.

ざっくり言えば,集合がどんどん小さくなり,どこかから有限測度になるなら,全ての集合の共通集合の測度は測度の極限に一致するということですね.

このことは$\bigcap_{n=1}^{N}A_n=A_{N}$であることから見てとれますね.

集合$B_1,B_2,\dots\in\mathcal{F}$を

   \begin{align*}B_n:=A_{n}\setminus A_{n+1}\quad (n=1,2,\dots)\end{align*}

により定めると,$A_1\supset A_2\supset\dots$より$B_1,B_2,\dots$は互いに素である.

Rendered by QuickLaTeX.com

$\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n\subset A_N$なので,測度の単調性より

   \begin{align*}\mu{\bra{\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n}}\le \mu(A_N)<\infty\end{align*}

だから,

   \begin{align*}\mu(A_N)-\mu{\bra{\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n}} =\mu\bra{A_N\setminus\bra{\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n}}\end{align*}

が定義できる.ここで,$A_1\supset A_2\supset\dots$に注意すると,

   \begin{align*}A_N\setminus\bra{\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n} &=A_N\cap\bra{\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n}^c =A_N\cap\bra{\bigcup_{n=1}^{\infty}{A_n}^c} \\&=\bigcup_{n=1}^{\infty}(A_N\cap{A_n}^c) =\bigcup_{n=1}^{\infty}(A_N\setminus A_n) \\&=\bigcup_{n=N}^{\infty}(A_N\setminus A_n) =\bigcup_{n=N}^{\infty}B_n\end{align*}

となる.よって,$\mu$の完全加法性と併せて

   \begin{align*}\mu(A_N)-\mu{\bra{\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n}} &=\mu\bra{\bigcup_{n=N}^{\infty}B_n} =\sum_{n=N}^{\infty}\mu(B_n) \\&=\sum_{n=N}^{\infty}(\mu(A_n)-\mu(A_{n+1})) \\&=\mu(A_N)-\lim_{n\to\infty}\mu(A_{n})\end{align*}

が成り立つ.よって,整理して

   \begin{align*}m{\bra{\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}A_n}}=\lim\limits_{n\to\infty}m(A_n)\end{align*}

を得る.

単調減少列の場合の補足

単調減少列の場合の仮定「$N\in\N$が存在して$\mu(A_N)<\infty$」は必要です.つまり,この仮定がないと反例が存在します.

$(\Omega,\mathcal{F},\mu)$を測度空間とする.このとき,

  1. $A_1\supset A_2\supset A_3\supset\dots$
  2. $\mu{\bra{\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}A_n}}\neq\lim\limits_{n\to\infty}\mu(A_n)$

を同時に満たす$A_1,A_2,\dots\in\mathcal{F}$を構成せよ.

ルベーグ測度空間において,$A_n:=[n,\infty)$とすると

   \begin{align*}[1,\infty)\subset[2,\infty)\subset[3,\infty)\subset\dots\end{align*}

なので,$\{A_n\}$は単調減少列である.

[1] 任意の$n$に対して$\mu(A_n)=\infty$なので,

   \begin{align*}\lim\limits_{n\to\infty}\mu(A_n)=\infty\end{align*}

が成り立つ.

[2] 任意の$x\in\R$に対して,ある$N\in\N$が存在して$x<N$となるから$x\notin A_N$である.

よって,共通部分はすべての集合に属する元全部の集合なので,$\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}A_n=\emptyset$が従う.よって,

   \begin{align*}\mu{\bra{\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}A_n}}=\mu(\emptyset)=0\end{align*}

が成り立つ.

[1], [2]より$\mu{\bra{\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}A_n}}\neq\lim\limits_{n\to\infty}\mu(A_n)$が成り立つ.

確率空間など有限測度空間($\mu(\Omega)<\infty$)なら,もとより$\mu(A_n)<\infty$なので仮定「$N\in\N$が存在して$\mu(A_N)<\infty$」は不要ですね.

管理人

プロフィール

山本やまもと 拓人たくと

元予備校講師.講師として駆け出しの頃から予備校の生徒アンケートで抜群の成績を残し,通常の8倍の報酬アップを提示されるなど頭角を表す.

飛び級・首席合格で大学院に入学しそのまま首席修了するなど数学の深い知識をもち,本質をふまえた分かりやすい授業に定評がある.

現在はオンライン家庭教師,社会人向け数学教室での講師としての教育活動とともに,京都大学で数学の研究も行っている.専門は非線形偏微分方程式論.大学数学系YouTuberとしても活動中.

趣味は数学,ピアノ,甘いもの食べ歩き.公式LINEを友達登録で【限定プレゼント】配布中.

Twitter・大学数学YouTube・公式LINEを見てみる
あーるえぬ

コメント

タイトルとURLをコピーしました