共分散から相関の正負が分かる！考え方から定義を理解する

あるテストを受けた生徒たちについて

勉強時間$x$
テストの成績$y$

のデータをとったとき，「勉強時間」が長いほど「テストの成績」は高いことは予想できますが，このことをデータからきちんと立証するにはどのように考えればよいでしょうか？

２種類の対応するデータについて

一方が大きいとき，他方も大きいことを正の相関
一方が大きいとき，他方は小さいことを負の相関

と言い，相関の正負は共分散を求めることで分かります．

共分散の値を調整してできる相関係数を調べると相関の正負に加えて，相関の強さまで分かります．相関係数は共分散を学んだ後に学びます．

この記事では

散布図と相関
共分散とは何か？

を説明します．

「統計データの記述」の一連の記事

散布図と相関
共分散
参考文献
1. 改訂版統計検定２級対応統計学基礎

散布図と相関

あるテストを受けた８人の生徒について

勉強時間$x$
テストの点数$y$

が以下の表のようになったとしましょう．

勉強時間$x$とテストの点数$y$
人	A	B	C	D	E	F	G	H
勉強時間$x$	2	6	8	3	13	10	5	9
テストの点数$y$	24	60	63	40	92	85	43	49

散布図

この勉強時間$x$とテストの点数$y$のデータは

横軸を勉強時間$x$
縦軸をテストの点数$y$

として，下図のように$xy$平面上に図示することができます．

このように，２つのデータの組$(x,y)$を$xy$平面上にプロットした図を散布図といい，原因となる$x$を説明変数，その結果となる$y$を目的変数などといいます．

正の相関と負の相関

上の散布図を見たとき，点の集まりは右上がりの傾向があるように見えます．つまり，「勉強時間が長いほど，テストの点数が高い傾向がある」ということが見てとれます．

このように，２種類のデータ$x$, $y$があったとき，

一方のデータが大きいときに他方のデータも大きい傾向があることを正の相関がある
一方のデータが大きいときに他方のデータが小さい傾向があることを負の相関がある

といいます．これら正の相関と負の相関を併せて相関（または相関関係）といいます．

［正の相関］

Rendered by QuickLaTeX.com

［負の相関］

Rendered by QuickLaTeX.com

他にも，例えば

「プールの利用者数」と「アイスの売り上げ」は正の相関
「気温」と「インフルエンザの患者数」は負の相関

があることが予想できますね．

相関関係と因果関係

相関関係と因果関係はしっかり区別しておくことが大切です．

例えば，１日の「プールの利用者数」と「アイスの売り上げ」のデータをとったとき，「プールの利用者数」と「アイスの売り上げ」には正の相関があることでしょう．

しかし，「プールの利用者数が多くなるからアイスの売り上げが上がる」わけではないし，「アイスの売り上げが上がるからプールの利用者数が多くなる」わけでもありません．

つまり，「プールの利用者数」と「アイスの売り上げ」の間に相関関係はあっても，因果関係はなさそうです．

このように，相関関係があっても因果関係がないような相関を擬似相関などといいます．

共分散

それでは，２つの関係するデータの相関の正負を表す共分散の説明に移ります．

先ほどの勉強時間$x$とテストの点数$y$のデータをもとに，２ステップで共分散の考え方を説明します．

勉強時間$x$とテストの点数$y$（再掲）
人	A	B	C	D	E	F	G	H
勉強時間$x$	2	6	8	3	13	10	5	9
テストの点数$y$	24	60	63	40	92	85	43	49

ステップ１（$x$, $y$の平均値で散布図を分割する）

共分散を求めるためには，まず$x$の平均値$\overline{x}$と$y$の平均値$\overline{y}$を求めます：

$\begin{align*}&\overline{x}=\frac{2+6+8+3+13+10+5+9}{8}=7, \\&\overline{y}=\frac{24+60+63+40+92+85+43+49}{8}=57.\end{align*}$

これらの平均値をもとに，下図のように散布図を４つの領域に分けます．

この４つの領域のうち

右上と左下の領域には点が多く
左上と右下の領域には点が少ない

ことが見て取れますが，一般に$x$と$y$に正の相関があるなら右上と左下に点が集まりそうです．

一方で，$x$と$y$に負の相関があるなら右下と左上に点が集まりそうですね．

［正の相関の場合］

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［負の相関の場合］

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ステップ２（$(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})$の正負で領域を判断する）

散布図の点$(x_i,y_i)$に対して$(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})$は$(x_i,y_i)$が４つの領域のどこに入っているかで下図のように変わります．

よって

$(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})>0$となる点$(x_i,y_i)$が多いほど，右上と左下にデータが多いので正の相関
$(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})<0$となる点$(x_i,y_i)$が多いほど，左上と右下にデータが多いので負の相関

と言えそうですね．

共分散の定義

以上の２ステップから共分散を次のように定義します．

［共分散］２種類のデータ$x_1,x_2,\dots,x_n$と$,y_1,y_2,\dots,y_n$に対して，それぞれの平均を$\overline{x}$, $\overline{y}$とするとき

$\begin{align*}C_{xy}&=\frac{(x_1-\overline{x})(y_1-\overline{y})+(x_2-\overline{x})(y_2-\overline{y})+\dots+(x_n-\overline{x})(y_n-\overline{y})}{n}\end{align*}$

をこのデータの組$(x,y)$の共分散（covariance）という．

和の記号$\sum$を用いると$C_{xy}=\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})$とも表せますね．

共分散$C_{xy}$の定義から

共分散$C_{xy}>0$が正なら$(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})>0$となるデータの組$(x_i,y_i)$が多い
共分散$C_{xy}<0$が負なら$(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})>0$となるデータの組$(x_i,y_i)$が多い

ということになるので

$C_{xy}>0$であれば２種類のデータは正の相関がある
$C_{xy}<0$であれば２種類のデータは負の相関がある

と解釈できますね．

共分散の具体例

具体的に上の勉強時間$x$とテストの点数$y$の共分散を求めましょう．

勉強時間$x$とテストの点数$y$（再掲）
人	A	B	C	D	E	F	G	H
勉強時間$x$	2	6	8	3	13	10	5	9
テストの点数$y$	24	60	63	40	92	85	43	49

$\overline{x}=7$, $\overline{y}=57$であることから

$\begin{align*}C_{xy}&=\frac{1}{8}\{(2-7)(24-57)+(6-7)(60-57) \\&\quad+(8-7)(63-57)+(3-7)(40-57)+(13-7)(92-57) \\&\quad+(10-7)(85-57)+(5-7)(43-57)+(9-7)(49-57)\} \\&=\frac{165-3+6+68+210+84+28-16}{8} \\&=\frac{271}{4}=67.75\end{align*}$