well-definedとは何か？｜剰余群の定義を理解しよう

代数学で群論を学ぶと，そのうち剰余群を学ぶことになりますが，剰余群の定義で戸惑ってしまう人は多いように思います．

この戸惑う根底にあるのは，“well-defined性”の概念でしょう．

剰余群の定義においてだけではなく，数学において“well-defined性”は非常に重要ですが，高校ではともかく大学でもその意味を教えてもらったことがない人も多いように思います．

少なくとも私は教わった記憶がありません．

剰余群を定義する際に，この“well-defined性”を理解していないと「どうしてこんな議論が必要なのか」と思ってしまうことが多いようです．

本記事では，剰余群の定義を通して“well-defined性”を理解することを目標とします．

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1 well-definedとは
2 well-definedの簡単な例
3 可換群の剰余群
4 一般の剰余群
- 4.1 正規部分群
- 4.2 剰余群の定義

well-definedとは

ある定義が“well-defined”であるとは，次の2つが成り立つことをいいます．

その定義が機能する場合が存在する
その定義が矛盾しない

また，“well-defined”でないことを“ill-defined”といいます．

例えば，

「1つの内角が $180^\circ$ の三角形を超鈍角三角形という」

という定義をしても，三角形の内角の和は $180^\circ$ なので，このような三角形は存在しません．

したがって，この定義はそもそも機能することがないので，ill-definedということになります．

well-definedの簡単な例

三角比の定義を例に，well-defineの考え方をみていきましょう．

三角比 $\sin{\theta}$ ， $\cos{\theta}$ ， $\tan{\theta}$ は直角三角形を用いて以下のように定義します．

$\ang{B}=90^{\circ}$ の直角三角形 $\tri{ABC}$ に対して， $\theta=\ang{A}$ とする．

このとき，実数 $\cos{\theta}$ , $\sin{\theta}$ , $\tan{\theta}$ を

$\begin{align*} \cos{\theta}=\dfrac{\mrm{AB}}{\mrm{AC}},\quad \sin{\theta}=\dfrac{\mrm{BC}}{\mrm{AC}},\quad \tan{\theta}=\dfrac{\mrm{CB}}{\mrm{AB}} \end{align*}$

と定める．

この定義では，「 $\ang{B}=90^{\circ}$ ， $\theta=\ang{A}$ の直角三角形ABC」としか言っていません．

したがって， $\ang{B}=90^{\circ}$ ， $\theta=\ang{A}$ を満たす

大きい直角三角形ABCにおける $\cos{\theta}$ ， $\sin{\theta}$ ， $\tan{\theta}$
小さい直角三角形ABCにおける $\cos{\theta}$ ， $\sin{\theta}$ ， $\tan{\theta}$

で値が変わってきては困ります．

すなわち，大きい直角三角形でも小さい直角三角形でも，三角比 $\cos{\theta}$ ， $\sin{\theta}$ ， $\tan{\theta}$ の値は同じでなければ，この定義は矛盾してしまうことになります．

しかし，ご安心ください．そんな心配はいりません．

なぜなら，2つの直角三角形 $\tri{ABC}$ ( $\ang{B}=90^\circ$ )と $\tri{A'B'C'}$ ( $\ang{B'}=90^\circ$ )について， $\ang{A}=\ang{A'}$ であれば，この2つの直角三角形は二角相等(2つの角がそれぞれ等しい)により相似であることが分かります．

よって，

$\begin{align*} \dfrac{\mrm{AB}}{\mrm{AC}}=\dfrac{\mrm{A'B'}}{\mrm{A'C'}},\quad \dfrac{\mrm{BC}}{\mrm{AC}}=\dfrac{\mrm{B'C'}}{\mrm{A'C'}},\quad \dfrac{\mrm{CB}}{\mrm{AB}}=\dfrac{\mrm{C'B'}}{\mrm{A'B'}} \end{align*}$

が成り立つので，直角三角形の大きさによらず $\theta$ のみによって $\cos{\theta}$ ， $\sin{\theta}$ ， $\tan{\theta}$ の値が決まることになり，三角比がwell-definedであることが分かりました．

可換群の剰余群

それでは，剰余群の定義の説明に移ります．

群は必ずしも可換ではありませんが，まずは比較的理解がしやすい可換群から説明します．

可換群の剰余類

和 $+$ の演算が備わった集合 $G=\Z$ は可換群となります．

また， $G$ の部分群 $N$ を $N:=3\Z$ とします．

このとき，剰余群 $G/N=\Z/3\Z$ は

$\begin{align*} G/N=\{N,1+N,2+N\} \end{align*}$

となりますね．ただし， $N$ ， $1+N$ ， $2+N$ はそれぞれ

$\begin{align*} &N=\{\dots,-3,0,3,\dots\}, \\&1+N=\{\dots,-2,1,4,\dots\}, \\&2+N=\{\dots,-1,2,5,\dots\} \end{align*}$

です．

$N$ ， $1+N$ ， $2+N$ はいずれも集合なので，剰余群 $G/N=\{N,1+N,2+N\}$ は集合の集合であるという点に注意してください．

さて，ここでのポイントは， $N$ の集合の元全てに3を足そうが，-3を足そうが，12を足そうが，元がズレるだけで集合としては変わらないということです．つまり，

$\begin{align*} N=3+N=-3+N=12+N \end{align*}$

ということになります．同様に，

$\begin{align*} &1+N=4+N=-2+N, \\&2+N=11+N=-4+N \end{align*}$

です．したがって，剰余群 $G/N$ は

$\begin{align*} G/N=\{3+N,-4+N,11+N\} \end{align*}$

などと表してもなんら問題ありません．

大切なことは， $G/N$ に属する集合には複数の表し方がありうるという点です．

可換群の剰余群の定義

次に，可換群について，剰余群の定義を確認しましょう．

[剰余群(可換群)]　演算 $+$ を備えた可換群 $G$ とその部分群 $N$ を考える．任意の $g_1,g_2\in G$ に対して， $g_1+N,g_2+N\in G/N$ の和 $\dot{+}$ を

$\begin{align*} (g_1+N)\dot{+}(g_2+N)=(g_1+g_2)+N \end{align*}$

で定めると， $G/N$ は(可換)群となる．

一般に，可換群の部分群は必ず正規部分群になること大切ですが，詳しくは一般の剰余群の項で述べます．

再び $G=\Z$ ， $N:=3\Z$ として考えましょう．

この剰余群の定義は，例えば

$\begin{align*} &(1+N)\dot{+}(1+N)=2+N, \\&(2+N)\dot{+}(3+N)=5+N, \\&(-2+N)\dot{+}(5+N)=3+N \end{align*}$

のように， $G/N$ の元の和を考えようということを述べています．

ここで，well-defined性が問題になります．

先ほど見たように，例えば $1+N=-2+N$ と $3+N=9+N$ が成り立つことから， $(1+N)+(3+N)$ と $(-2+N)+(9+N)$ は同じものの和なので，同じ結果になっているべきです．

実際に和を計算すると，

$\begin{align*} &(1+N)\dot{+}(3+N)=4+N, \\&(-2+N)\dot{+}(9+N)=7+N \end{align*}$

なので，これらは等しいですね．

このように，同じものについて複数の表し方ができてしまうので，異なる表し方でも結果が同じになっていることを確かめなければなりません．

この意味で，well-defined性が問題になっているわけです．

well-defined性の確認

それでは，可換群の剰余群の定義について，well-defined性を確認しましょう．

$G/N$ の任意の2元 $g_{1}+N$ ， $g_{2}+N$ を考えます．また， $g_{1}+N$ ， $g_{2}+N$ はそれぞれ $h_{1}+N$ ， $h_{2}+N$ とも書けるとしましょう．

このとき， $(g_1+N)\dot{+}(g_2+N)=(g_1+g_2)+N$ と $(h_1+N)\dot{+}(h_2+N)=(h_1+h_2)+N$ が同じ結果になることを示すことができれば，上の可換群の剰余群の定義がwell-definedであることが分かります．

$g_1+N=h_1+N$ であることから $g_1-h_1\in N$ が成り立ち，同様に $g_2-h_2\in N$ が成り立ちます．

よって， $N$ が群であることより， $(g_1-h_1)+(g_2-h_2)\in N$ が成り立つので， $(g_1+g_2)-(h_1+h_2)\in N$ が成り立ちます．

これにより $(g_1+g_2)+N=(h_1+h_2)+N$ となり，確かに両者が等しいことが分かりました．

以上で，well-defined性が得られました．

一般の剰余群

最後に可換でない群に関して，剰余群を考えます．

正規部分群

可換でない剰余群を定義する際には，正規部分群の概念が不可欠です．

[正規部分群]　群 $G$ の部分群 $N$ が $G$ の部分群であるとは，任意の $g\in G$ と $n\in N$ に対して

$\begin{align*} gng^{-1}\in N \end{align*}$

が成り立つことをいう．

なお， $G$ が可換なら，

$\begin{align*} gng^{-1}=gg^{-1}n=n\in N \end{align*}$

となるので， $G$ の任意の部分群 $N$ は正規部分群となります．

剰余群の定義

一般の群 $G$ とその部分群 $N$ に対して， $N$ が正規部分群なら剰余類 $G/H$ は群となります．

[剰余群]　群 $G$ とその正規部分群 $N$ を考える．任意の $g_1,g_2\in G$ に対して， $g_1N,g_2N\in G/N$ の積を

$\begin{align*} (g_1N)(g_2N)=(g_1g_2)N \end{align*}$

で定めると， $G/N$ は群となる．

なお，可換群の剰余群を考えるときには単に「部分群」としていたのは，上述したように $G$ が可換群であれば部分群 $N$ は必ず正規部分群になるからです．

可換とは限らない一般の群 $G$ の剰余群 $G/N$ を考える際には，必ず $N$ は正規でなければなりません．

それでは，この一般の剰余群の定義について，well-defined性を証明して終わりにしましょう．

[well-difined性の証明]

任意の $G/N$ の2元 $g_1N=h_1N$ と $g_2N=h_2N$ を考える．

$\begin{align*} g_1{h_1}^{-1},g_2{h_2}^{-1}\in N \end{align*}$

なので， $n_1,n_2\in N$ が存在して， $n_1=g_1{h_1}^{-1}$ ， $n_2=g_2{h_2}^{-1}$ が成り立つ．よって，

$\begin{align*} &g_1g_2(h_1h_2)^{-1} \\=&g_1g_2{h_2}^{-1}{h_1}^{-1} \\=&(n_1h_1)(n_2h_2){h_2}^{-1}{h_1}^{-1} \\=&n_1(h_1n_2{h_1}^{-1}) \end{align*}$

が成り立つ．いま， $n_1\in N$ であり， $N$ は $G$ の正規部分群だから $h_1n_2{h_1}^{-1}\in N$ である．

よって， $n_1(h_1n_2{h_1}^{-1})\in N$ だから $g_1g_2(h_1h_2)^{-1}\in N$ が得られ， $(g_1g_2)N=(h_1h_2)N$ が成り立つ．

以上より， $(g_1N)(g_2N)=(h_1N)(h_2N)$ となって，well-defined性が従う．

[証明終]

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