大学理系学部の多くの１年生が学ぶ微分積分学では
のような実変数の実数値関数の微分積分を考えました．学年が進むと
のような複素変数の複素数値関数の微分積分を考えるようになるのですが，この分野を複素解析といいます．
もともと複素解析は実数の微分積分に応用するために研究されていた側面があり，この一連の記事では実数の微分積分への重要な応用がある留数定理を目標として説明していきます．
この記事では
- 複素関数とは何か？
- 複素関数の図示の考え方
を具体例とともに説明します．
「複素解析の基本」の一連の記事
複素関数
まずは複素関数の主役である複素関数を定義し，複素関数の図示の方法を説明します．
複素関数の定義
「複素数を与えて複素数を返す関数」を複素関数といいます．もう少しきちんとした言葉で述べると次のようになりますね．
複素変数の複素数値関数を複素関数という．
よって，冒頭で紹介した
も複素関数ですね．定義域は必ずしも複素数全体$\C$である必要はなく，
なども複素関数です．
一般に集合$A$, $B$に対して$A\setminus B$は$A$から$B$を除いた集合$A\cap B^c$を表します．
よって，$\C\setminus\{i,-i\}$は複素数全体から$\pm i$を除いた集合を表しますね．
複素関数の図示
実変数の実数値関数は変数の軸$\R$と返ってくる値の軸$\R$の２本を用いて１枚の図でグラフを描けるのでした．例えば，
は次のように図示できますね．
一方，複素関数を図示するには変数の複素平面$\C$と返ってくる値の複素平面$\C$が必要なので，１枚の図でグラフを描くには４次元必要となるので手書きではかなり困難です．
そこで複素関数を図示するには２枚の複素平面を並べて図示することも多いです．
複素関数$f:\C\to\C$を
で定める．２枚の複素平面を用いて$f$を図示せよ．
冪(指数)の計算は極形式で考えるのが鉄板ですね．
そこで，例えば$z=\sqrt{2}(\cos{60^\circ}+i\sin{60^\circ})$なら，ド・モアルブルの定理より
なので，これは以下のように図示できます．
つまり，ド・モアブルの定理から偏角は２倍されます．
また，この例では$z$の絶対値$\sqrt{2}$が１より大きいので$z^2$の絶対値はより大きくなりますが，$z$の絶対値$\sqrt{2}$が１より小さい場合には$z^2$の絶対値はより小さくなりますね．
このことから，以下のように解答が書けることが分かります．
原点中心，半径$r$の円周を$C_{r}$とします．
$z\in C_{r}$は$z=r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})$ ($r\ge0$, $0\le\theta<2\pi$)と極形式で表すことができるので，[ド・モアブルの定理]より
となるから，$z$が$C_r$上を１周するとき，$f(z)$は$C_{r^2}$上を２周することが分かりますね．
図中の矢印の位置と向きも対応していることに注意してください．
複素関数の具体例
他にもいくつか複素関数を図示してみましょう．
例１（複素共役）
複素関数$f$を$f(z)=\overline{z}$で定める．２枚の複素平面を用いて$f$を図示せよ．
$z\in\C$とその共役$\overline{z}$は複素平面上で実軸対称な点を表しますから，下図のようになりますね．
この他にもさまざまな図示が考えられます．例えば，下図のように図示してもよいですね．
例２（回転と平行移動）
$\alpha=s(\cos{\phi}+i\sin{\phi})$（$s>0$, $\phi\in\R$）とし，複素関数$g$を$g(z)=\alpha z+i$で定める．２枚の複素平面を用いて$g$を図示せよ．
原点中心，半径$r$の円周を$C_{r}$とします．
$z\in C_{r}$は$z=r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})$ ($r\ge0$, $\theta\in\R$)と極形式で表すことができ，
となりますから，$g$は$C_{r}$を原点中心に$s$倍に拡大，$+\phi$回転し，虚軸方向に$+1$平行移動させた円に移しますね．
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