上限supと下限inf｜最大値max・最小値minより便利なヤツら

たとえば，５以下の実数全部の集合$A$と，５未満の実数全部の集合$B$を考えます．

$５以下の実数全部の集合Aと，５未満の実数全部の集合B$

５は集合$A$には属するが，集合$B$には属さない

このとき，それぞれの集合の最大値は

集合$A$には５が属しているので，$A$の最大値は５
集合$B$には５が属していないので，$B$は最大値をもたない

となります．しかし，５は集合$B$の最大値ではないものの，$B$でも「５は最大値っぽい値」という気持ちはあります．

そこで，これら「最大値もしくは最大っぽい値」を上限といい，数学では必須の概念です．同様に「最小値もしくは最小っぽい値」を下限といいます．

この記事では

上限と下限の定義と具体例
上限と下限の基本性質
有界な$\R$の部分集合は必ず上限・下限をもつ

を順に解説します．

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上限と下限の定義と具体例

ここでは実数の集合の上限と下限の定義と具体例を説明します．

上限は上界の最小値として定義される

上限を定義するために必要な上界を定義しましょう．

集合$A\subset\R$を考える．$m\in\R$が$A$の上界（upper bound）であるとは，任意の$a\in A$に対して$a\le m$を満たすことをいう．

$集合A⊂ℝとAの上界m$

「上界」という言葉は集合っぽいが，元であることに注意

また，$A$の上界が存在するとき，$A$は上に有界であるという．

つまり，集合$A$の任意の元以上となっている値$m$を集合$A$の上界というわけですね．

上限の具体例を考えましょう．

集合$A$, $B$を

\begin{align*}A=\set{x\in\R}{x\le5},\quad
B=\set{x\in\R}{x<5}\end{align*}

で定める．このとき，集合$A$, $B$の上界を全てを求めよ．

$５以下の実数全部の集合Aと，５未満の実数全部の集合B$

たとえば，$A$, $B$の上界として5,7,8.5,20などが挙げられる

数学では実数全部の集合を一般に$\R$で表します．そのため，たとえば「$a\in\R$に対して」は「実数$a$に対して」と同じ意味です．

$A$の上界も$B$の上界も５以上の全ての実数である．

$5以上の実数全部の集合$

5より少しでも小さい実数は$A$の上限でも$B$の上限でもない

この例で大切なことは，５は集合$B$の最大値ではありませんが，集合$A$, $B$のどちらも５が上界の中で最小のものとなっている点です．

このことをもとに，次のように上限が定義されます．

$A$が上に有界であるとき，上界の最小値を$A$の上限（supremum）といい$\sup{A}$と表す．一方，$A$が上に有界でないとき，$\sup{A}=\infty$と定める．

つまり，「『任意の$a\in A$に対して$a\le m$』を満たす$m\in\R$のうち最小のもの」を上限とよび，上界が存在しない場合は上限を∞と定めるわけですね．

下限は下界の最大値として定義される

上限と同様に，下限も次のように定義されます．

$s\in\R$が$A\subset\R$の下界（lower bound）であるとは，任意の$a\in A$に対して$a\ge s$を満たすことをいい，$A$の下界が存在するとき$A$は下に有界であるという．

$集合A⊂ℝとAの下界m$

「下界」という言葉は集合っぽいが，元であることに注意

また，$A$が上に有界であるとき，$A$の下界の最大値を$A$の下限（infimum）といい$\inf{A}$と表す．一方，$A$の下界が存在しないときは$\inf{A}=-\infty$と定める．

つまり，「『任意の$a\in A$に対して$s\le a$』を満たす$s\in\R$のうち最大のもの」を下限とよび，下界が存在しない場合は下限を−∞と定めるわけですね．

上限と下限の具体例

次の$\R$の部分集合それぞれの下限と上限を求めよ．

−２以上３未満の実数上の区間$I$
正の整数全部の集合$\N$
０以上１以下の有理数全部の集合$X$

(1) $\inf{I}=-2$, $\sup{I}=3$である．

$-2以上３未満の実数上の区間I$

下界は−２以下の実数全部，上界は３以上の実数全部

(2) $\inf{\N}=1$, $\sup{I}=\infty$である．

$正の整数全部の集合ℕ$

下界は１以下の実数全部，上界は存在しない

(3) $\inf{X}=0$, $\sup{X}=1$である．

$0以上1以下の有理数全部の集合X$

下界は０以下の実数全部，上界は１以上の実数全部

最大値が存在するときは最大値と上限は一致し，最小値が存在するときは最小値と下限は一致しますね．

上限と下限の基本性質

上限・下限に関するいくつかの基本性質を示しておきましょう．

上限・下限のどんなに近くにも元が存在する

上に有界な$A\subset\R$に対して$\alpha=\sup{A}$とおく．このとき，任意の$\epsilon>0$に対して，ある$x\in A$が存在して

\begin{align*}\alpha-\epsilon<x\le\alpha\end{align*}

が成り立つ．

$集合A⊂ℝの上限αと，αより少しだけ小さいx$

上限$\alpha$のどんなに近くにも$\alpha$より小さい元が存在する

背理法により示す．ある$\epsilon>0$が存在して，任意の$x\in A$に対しても

\begin{align*}\alpha-\epsilon<x\le\alpha\end{align*}

が成り立たないと仮定する．

$集合A⊂ℝの上限αから少しの幅だけAの元が存在しない図$

背理法の仮定から上限$\alpha$から少しの幅だけ$A$の元が存在しない

このとき，例えば$\alpha-\epsilon$は$A$の上界となっているが，このことは上限の定義から$\alpha$は最小の上界であることに矛盾する．

$\alpha\in A$のときは$\alpha$が$A$の最大値なので，このような議論をしなくても成り立つことが分かります．

下限についても同様の定理が成り立ちます．証明は上限の場合と同様なので省略します．

下に有界な$B\subset\R$に対して$\beta=\inf{B}$とおく．このとき，任意の$\epsilon>0$に対して，ある$x\in B$が存在して

\begin{align*}\beta\le x<\beta+\epsilon\end{align*}

が成り立つ．

$集合A⊂ℝの下限βと，βより少しだけ大きいx$

下限$\beta$のどんなに近くにも$\beta$より大きい元が存在する

包含関係にある２つの集合の上限・下限

$A,B\subset\R$は$A\subset B$を満たし，$B$は上に有界であるとする．このとき，$A$も上に有界で

\begin{align*}\sup{A}\le\sup{B}\end{align*}

が成り立つ．

$A⊂Bをみたすℝの部分集合A,Bとそれぞれの上限$

集合が大きい方が選択肢も多いので，上限は等しいか大きくなる

集合$B$が上に有界であるとし$m=\sup{B}$とおく．任意の$a\in A$に対して，$A\subset B$だから$a\in B$なので$a\le m$が成り立つ．よって，$m$は$A$の上界の１つなので，$A$は上に有界である．

また，$A$の上界の最小値が$\sup{A}$なので，$\sup{A}\le m=\sup{B}$が成り立つ．

下限についても同様の定理が成り立ちます．証明は上限の場合と同様なので省略します．

$A,B\subset\R$は$A\subset B$を満たし，$B$は下に有界であるとする．このとき，$A$も下に有界で

\begin{align*}\inf{A}\ge\inf{B}\end{align*}

が成り立つ．

$A⊂Bをみたすℝの部分集合A,Bとそれぞれの下限$

集合が大きい方が選択肢も多いので，下限は等しいか小さくなる

任意の$a\in\R$に対して$-\infty<a<\infty$と定めれば，$B$が有界でない場合でも$\sup{A}\le\sup{B}$, $\inf{A}\ge\inf{B}$が成り立ちますね．このように，$\pm\infty$も「数」のように捉えると便利なこともよくあり，$\R\cup\{\pm\infty\}$を拡大実数ともいいます．