ボルツァーノ-ワイエルシュトラスの定理｜区間縮小法による証明

微分積分学では次のボルツァーノ-ワイエルシュトラス（Bolzano-Weierstrass）の定理を学びます．

［ボルツァーノ-ワイエルシュトラスの定理］有界実数列は収束する部分列をもつ．

ボルツァーノ-ワイエルシュトラスの定理を用いることでさまざまな定理を示すことができ，「縁の下の力持ち」という言葉がよく似合う定理です．

単調有界実数列の収束定理を用いて示される区間縮小法（nested intervals）と呼ばれる論法を用いることで，ボルツァーノ-ワイエルシュトラスの定理を証明することができます．

この記事では

区間縮小法とその証明
部分列とボルツァーノ-ワイエルシュトラスの定理

を順に説明します．

「微分積分学の基本」の一連の記事

実数・実数列の性質

微分積分学の参考文献
1. 微分積分学（笠原晧司著）
部分列とボルツァーノ-ワイエルシュトラスの定量
区間縮小法と証明

微分積分学の参考文献

以下は微分積分学に関するオススメの教科書です．

微分積分学（笠原晧司著）

数学科など理論系の学生向けの微分積分学の入門書です．基本的な例から発展的な例まで扱われており，バランスの良い教科書です．

部分列とボルツァーノ-ワイエルシュトラスの定量

ボルツァーノ-ワイエルシュトラスの定理を説明するために，まずは部分列を定義する必要があります．

部分列の考え方

ざっくり言えば，元の数列$\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$から項を間引いてできる数列を部分列と言います．

以下では$n$は正の整数とし，$\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$を単に$\{a_n\}_n$と表します．

例えば，数列$\{a_n\}$の偶数番目の項だけからなる数列は

$\begin{align*}a_2,\ a_4,\ a_6,\ a_8, a_{10},\dots\end{align*}$

となり，この数列は$\{a_{2n}\}_{n}$と表せますね．

他にも数列$\{a_n\}$の素数番目の項だけからなる数列は

$\begin{align*}a_2,\ a_3,\ a_5,\ a_7, a_{11},\dots\end{align*}$

となり，この数列は$\{a_{n_k}\}_k$（$n_k$は$k$番目の素数）などと表せます．

このように，数列$\{a_n\}_n$の添え字$n$を$n_1<n_2<\dots<n_k<\dots$なる正の整数の列$\{n_k\}_k$で考えてできる数列$\{a_{n_k}\}_k$は，元の数列$\{a_n\}$から項を間引いてできる数列になっていますね．

部分列の定義

いまの考え方をもとに部分列をきちんと定義すると次のようになります．

数列$\{a_n\}_n$, $\{b_n\}_n$を考える．正の整数の単調増加列$\{n_k\}_k$が存在して$\{b_n\}_n=\{a_{n_k}\}_{k}$となるとき，$\{b_n\}_n$は$\{a_n\}_n$の部分列（subsequence）であるという．

$\{b_n\}_n=\{a_{n_k}\}_{k}$を書き並べると

$\begin{align*}b_1=a_{n_1},\ b_2=a_{n_2},\ b_3=a_{n_3},\dots\end{align*}$

ということですから，数列$\{b_n\}_n$は数列$\{a_n\}_n$から項を間引いてできる数列になっていますね．

ボルツァーノ-ワイエルシュトラスの定理

ここでボルツァーノ-ワイエルシュトラスの定理がどのような定理かを説明します．

冒頭でも紹介したように，定理自体は次の通りです．

［ボルツァーノ-ワイエルシュトラスの定理］有界実数列は収束する部分列をもつ．

つまり，実数列$\{a_n\}$がどんなに「ぐちゃぐちゃ」な数列であっても，有界でさえあればうまく項$a_{n_1},a_{n_2},a_{n_3},\dots$を選んで収束する部分列$\{a_{n_k}\}_k$をつくることができるということですね．

このボルツァーノ-ワイエルシュトラスの定理の証明には区間縮小法を用います．

区間縮小法と証明

区間縮小法を証明し，ボルツァーノ-ワイエルシュトラスの定理を証明しましょう．

区間縮小法

以下では，閉区間$I=[a,b]$の長さ$b-a$を$|I|$と表します．

［区間縮小法］有界閉区間$I_{1},I_{2},I_{3},\dots\subset\R$が

$\begin{align*}I_{1}\supset I_{2}\supset I_{3}\supset\dots,\quad \lim_{k\to\infty}|I_{k}|=0\end{align*}$

を満たすとする．

このとき，共通部分$\bigcap\limits_{k=1}^{\infty}I_{k}$はただ１つの元のみからなり，

$\begin{align*}\bigcap_{k=1}^{\infty}I_{k}=\{\alpha\},\quad I_{k}=[p_{k},q_{k}]\quad(k=1,2,3,\dots)\end{align*}$

とすると，$\lim\limits_{k\to\infty}p_{k}=\lim\limits_{n\to\infty}q_{k}=\alpha$が成り立つ．

つまり，「区間$I_k$が入れ子状に小さくなっていき，区間$I_k$の長さが０に収束するなら，区間は１点に潰れていく」というわけですね．

区間縮小法の証明

証明には「広義単調増加かつ上に有界な（広義単調減少かつ下に有界な）実数列は収束する」という単調有界実数列の収束定理を用います．

$I_1\supset I_2\supset I_3\supset\dots$より$p_1\le p_2\le p_3\le$かつ$p_k\le q_1$（$k=1,2,3,\dots$）が成り立つ．すなわち，実数列$\{p_k\}$は広義単調増加かつ上に有界だから，単調有界実数列の収束定理により収束する．

同様に実数列$\{q_k\}$は広義単調減少かつ下に有界だから，単調有界実数列の収束定理により収束する．