微分積分学1
最大・最小より便利な上限・下限

微分積分学の基本
微分積分学の基本

まずは,次の問題を考えましょう.

集合$A$, $B$を

   \begin{align*}A=\set{x\in\R}{x\le5},\quad B=\set{x\in\R}{x<5}\end{align*}

で定める.このとき,集合$A$, $B$の最大値を答えよ.

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$A$は$5$以下の実数全部の集合,$B$は$5$未満の実数全部の集合ですね.

最大値は集合に属していないといけないので,答えは「$A$の最大値は$5$であり,$B$の最大値は存在しない」となります.

このように$5$は集合$B$の最大値ではありませんが,$B$でも「$5$が最大っぽい値」になっているという気持ちはあります.

これら「最大値もしくは最大っぽい値」を上限といい,数学では頻繁に用いられます.同様に「最小値もしくは最小っぽい値」を下限といいます.

この記事では

  • 上限と下限の定義
  • 上限と下限の具体例
  • 上限と下限の基本性質
  • 上限と下限の存在性

を順に説明します.

なお,数学では一般に実数全部の集合を$\R$で表し,この記事でも$\R$をこの意味で用います.

上限と下限

ここでは集合の上限下限の定義と具体例を説明します.

上限の定義

上限の定義のために必要な上界を定義しましょう.

[上界] 集合$A\subset\R$を考える.$m\in\R$が$A$の上界 (upper bound)であるとは,任意の$a\in A$に対して$a\le m$を満たすことをいう.

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また,$A$の上界が存在するとき,$A$は上に有界であるという.

つまり,集合$A$のどの元よりも大きいか等しい値$m$を上界というわけですね.

上限の具体例を考えましょう.

集合$A$, $B$を

   \begin{align*}A=\set{x\in\R}{x<5},\quad B=\set{x\in\R}{x\le5}\end{align*}

で定める.このとき,集合$A$, $B$の上界を全てを求めよ.

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$A$の上界も$B$の上界も$5$以上の全ての実数である.

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この例で大切なことは,$5$は集合$B$の最大値ではありませんが,集合$A$, $B$のどちらも$5$が上界の中で最小のものとなっています.

このことをもとに,次のように上限が定義されます.

[上限] $A$が上に有界であるとき,上界の最小値を$A$の上限 (supremum)または最小上界といい$\sup{A}$と表す.一方,$A$が上に有界でないとき,$\sup{A}=\infty$と定める.

つまり,「『任意の$a\in A$に対して$a\le m$』を満たす実数$m$のうち最小のもの」を上限とよぶわけですね.

下限の定義

上限と同様に,下限も次のように定義されます.

下界,下限
$s\in\R$が$A\subset\R$の下界であるとは,任意の$a\in A$に対して$a\ge s$を満たすことをいい,$A$の下界が存在するとき$A$は下に有界であるという.

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また,$A$が上に有界であるとき,$A$の下界の最大値を$A$の下限 (infimum)または最大下界といい$\inf{A}$と表す.一方,$A$の下界が存在しないときは$\inf{A}=-\infty$と定める.

つまり,「『任意の$a\in A$に対して$s\le a$』を満たす実数$s$のうち最大のもの」を下限とよぶわけですね.

上限と下限の具体例

具体例を考えてみましょう.

次の$\R$の部分集合それぞれの下限と上限を求めよ.

  1. $-2$以上$3$未満の実数上の区間$I$
  2. 正の整数全部の集合$\N$
  3. $0\le x\le 1$なる有理数$x$全部の集合$X$

(1) $\inf{I}=-2$, $\sup{I}=3$である.

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(2) $\inf{\N}=1$, $\sup{I}=\infty$である.

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(3) $\inf{X}=0$, $\sup{X}=1$である.

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(3)は厳密にはアルキメデスの原理を必要とします.

最大値が存在するときは最大値と上限は一致し,最小値が存在するときは最小値と下限は一致しますね.

上限と下限の基本性質

次に上限と下限に関する次の基本性質を示しておきましょう.

上に有界な$A\subset\R$に対して$\alpha=\sup{A}$とおく.このとき,任意の$\epsilon>0$に対して,ある$x\in A$が存在して

   \begin{align*}\alpha-\epsilon<x\le\alpha\end{align*}

が成り立つ.

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背理法により示す.すなわち,ある$\epsilon>0$が存在して,任意の$x\in A$に対しても

   \begin{align*}\alpha-\epsilon<x\le\alpha\end{align*}

が成り立たないと仮定して矛盾を導く.

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この仮定のもとでは,例えば$\alpha-\epsilon$が$A$の上界となっている.

一方,上限の定義から$\alpha$は最小の上界であるが,$\alpha-\epsilon<\alpha$なのでこれは矛盾である.

下限についても同様の定理が成り立ちますが,証明は上限の場合と同様なので省略します.

下に有界な$B\subset\R$に対して$\beta=\inf{B}$とおく.このとき,任意の$\epsilon>0$に対して,ある$x\in B$が存在して

   \begin{align*}\beta\le x<\beta+\epsilon\end{align*}

が成り立つ.

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上限と下限の存在

集合$A\subset\R$の上限$\sup{A}$は$A$の上界の最小のものとして定義されましたが,$A$が上に有界なら$A$の上界の最小のものはいつでも存在するのでしょうか?

実はこの答えは“Yes”で次が成り立ちます.

[上限の存在] 集合$A\subset\R$が上に有界なら,必ず$A$の上限$\sup{A}$が$\R$上に存在する.

この性質を上限性質という.

「公理」と書いたように,実は実数は「上限性質を満たす順序体を実数体$\R$といい,実数体の元を実数という」と定義されます.

そのため,この上限性質は実数が満たす性質のひとつなので,$A\subset\R$が上に有界な集合であれば安心して上限$\sup{A}$があるとして良いわけですね.

この上限性質は同値な別の述べ方をされることもあります.それら同値な述べ方も併せて実数の連続性公理といいます.

実数の定義について詳しくは次の記事を参照してください.

実数はどう定義される?|実数の連続性公理から理解する
実数を定義するには[実数の連続性公理]と呼ばれる性質がカギとなります.[実数の連続性公理]はいくつかの同値な表し方があり,この記事ではその中でもメジャーな[上限性質]を説明し,実数の正確な定義を説明します.

上限性質は上限についてしか述べていませんが,上限性質から次のように下限の存在も示すことができます.

集合$A\subset\R$が下に有界なら,必ず$A$の下限$\inf{A}$が$\R$上に存在する.

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