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線形代数学一覧

線形代数5|線形独立のイメージと線形独立性とランクの関係

行列に関して重要な量として,ランク(階数)がありました.

ランクを考えることで

  • 正方行列が正則であるための条件
  • 連立1次方程式が解を持つための条件

などが分かるのでした.

前回の記事まででは,このランク(階数)は基本変形によって考えてきましたが,ベクトルの線形独立という考え方をもとにしても考えることができます.

線形独立性はとても重要な概念で,線形代数学全体において頻繁に現れます.

この記事では

  • ベクトルの線形独立を定義し
  • 線形独立性と行列のランクの関係

を説明します.

なお,この記事では実数\Rを中心に説明しますが,複素数\Cなど一般の体に対しても同様です.

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線形代数4|連立1次方程式が解をもつ条件と解の自由度

中学校以来よく扱ってきた\m{x}の連立1次方程式は,行列Aとベクトル\m{c}を用いてA\m{x}=\m{c}と表すことができるのでした.

このことからも分かるように連立1次方程式は線形代数学と密接に関わっており,実際に線形代数学の基礎を理解する上で連立1次方程式を理解することは非常に重要です.

連立1次方程式A\m{x}=\m{c}

  • 係数行列のランク\rank{A}
  • 拡大係数行列のランク\rank{[A,\m{c}]}

を比べることで,解をもつ条件を求めることができます.

この記事では,「係数行列」と「拡大係数行列」,行列の「ランク」について復習をしたのち,

  • 連立1次方程式が解をもつ条件
  • 解の自由度

を考えます.

なお,この記事では実数\Rを中心に説明しますが,複素数\Cなど一般の体に対しても同様です.

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線形代数3|行列のランクと,行列が逆行列をもつための条件

0でない全ての実数は逆数を持ちますが,行列の場合は零行列でなくても正方行列が逆行列を持たないこともあります.

行列が逆行列を持つかどうかの判定する方法の1つに,行列のランクを求める方法があります.

行列のランクは前回の記事で考えた行列の基本変形に基づいて定義することができます.

この記事では行列の正則性(逆行列を持つかどうか)を調べることを目的としますが,ランクは行列を考える上で様々な場面に登場する大切な概念ですから,しっかり考え方を理解してください.

なお,この記事では実数\Rを中心に説明しますが,複素数\Cなど一般の体に対しても同様です.

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線形代数2|連立1次方程式の掃き出し法と行列の基本変形

たとえば

    \begin{align*} \begin{cases}x+y+z=2\\x+2y+3z=4\end{cases} \end{align*}

のように,いくつかの1次方程式を同時に満たす複数の未知数に関する方程式を連立1次方程式といいます.

連立1次方程式の解法として加減法がありますが,加減法は行列を考えることによって本質的に全く同じことができ,この行列を用いた解法を掃き出し法といいます.

加減法は掃き出し法から自然に考えることのできる解法であるが,この掃き出し法を基にして線形代数の理論が組み立てられる重要な考え方です.

なお,この記事では実数\Rを中心に説明しますが,複素数\Cなど一般の体に対しても同様です.

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線形代数1|行列の積の定義はどうしてこうなる?

線形代数は行列ベクトルを用いて記述されます.

行列とベクトルは線形代数の最初にパッと定義されることが多く,「そういうもの」という程度の理解で曖昧なまま読み進めてしまうことも多いです.

行列は多変数の1次式を簡単に表すことができるというメリットがあります.

この記事では,このメリットを感じるために,最初に行列とベクトルのイメージを掴むところから説明します.

また,行列の積をどうしてそのように定義するのか理解に苦しむ人も多いのですが,これもイメージが掴めていると自然な発想に基づいている事が分かります.

なお,この記事では実数\Rを中心に説明しますが,複素数\Cなど一般の体に対しても同様です.

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線形代数の初学者のための道案内|線形代数のイメージを知る

「線形代数学」は大学以降の数学の基盤になる基礎的な分野で,多くの理系大学生が1年生で習うことになります.

線形代数学は他のほとんどの数学の分野で使われると言ってもいいほど大切な分野なので,とくに理論系の学科の人はここでコケてしまうと2年生以降がかなり厳しくなってしまいます.

定義や定理を覚えることは大切ですが,理論の大枠のイメージを持っていれば丸覚えすることなく自然に理解して覚えることができます.

数学では定義や定理は抽象的に表されることが多いですが,その裏には「やりたいこと」があります.

この「やりたいこと」のイメージを理解しておかないと,一体何をやっているのか分らなくなってしまいます.数学は数式が先にあるのではなく,やりたいことが最初にありそれを表現するために数式を用いるだけです.

大学の学部で学ぶ線形代数学はJordan標準形あたりまでを学ぶことが多いです.

この記事では線形代数学の初学者のために,Jordan標準形あたりまでの線形代数学の全体像を見ていきます.

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ペロン・フロベニウスの定理|成分が正の行列の最大固有値

[Perron(ペロン)-Frobenius(フロベニウス)の定理]とは,全ての成分が正または非負である正方行列の最大固有値に関する定理です.

歴史的には

  • 全ての成分が正の行列に対する定理をOskar Perronが
  • 後に全ての成分が非負の行列に対する同様の定理をFerdinand Georg Frobeniusが

示しました.

この[Perron-Frobeniusの定理]は工学から経済学まで非常に広く応用されます.

なお,多項式に行列を代入したときの固有値に対する[Frobeniusの定理]は別の定理で,これについては以下を参照してください.

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フロベニウスの定理|行列と多項式と固有値

多項式f(x)=a_nx^n+\dots+a_1x+a_0と行列Aに対して,

    \begin{align*} f(A):=a_nA^n+\dots+a_1A+a_0I \end{align*}

とするとき,f(A)fAを代入してできる行列となります.ただし,Iは単位行列です.

[Frobenius(フロベニウス)の定理]は行列Aの固有値と行列f(A)の固有値の関係を述べた定理で,f(A)の固有値を求めるのに便利です.

なお,この記事で扱う[Frobeniusの定理]は[Perron-Frobenius(ペロン-フロベニウス)の定理]とは別の定理で,[Perron-Frobeniusの定理]は以下を参照してください.

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