解析学

ルベーグ可測関数のルベーグ積分を定義するには，先に「単関数」と呼ばれる関数のルベーグ積分を考えておくと見通しが良いです．この記事では，具体例を踏まえてルベーグ可測単関数のルベーグ積分を説明します．

ルベーグ積分はルベーグ可測関数に対して定義されるため，ルベーグ可測関数の性質を整理しておくことは大切です．この記事では，可測関数の線形結合・積・商・正成分・負成分・絶対値の可測性を証明します．

この記事では，ルベーグ積分を考えることのできる関数として「ルベーグ可測関数」を定義し，具体例や可測関数であるための必要十分条件を順に説明します．

ルベーグ測度mの本質的に重要な４つの性質に，非負値性・平行移動不変性・完全加法性・区間の外測度があります．このうち，測度論的には「完全加法族」が本質的に重要な性質です．

ℝの区間・開集合・閉集合はルベーグ可測集合の重要な例で，この記事ではこれらの可測性を証明します．また，位相空間Ωの開集合について和集合，共通部分，補集合を可算回とってできる集合全部からなる集合族をボレル集合族といい，一般の測度空間では重要な測度空間です．

ルベーグ外測度m*の定義域ルベーグ可測集合全部の族Lに制限してできる写像mをルベーグ測度というのでした．この記事では，Lが完全加法族であることの証明を目標に，基本性質をまとめます．

外測度m*はほぼ「集合の長さを測る写像」と言えますが実は少し不都合があり，「m*の定義域を少し狭めることで不都合を排除しよう」という方法を採用します．この定義域を狭めてできる写像mをルベーグ測度といいます．

ルベーグ外測度の「非負値性」「単調性」「劣加法性」「平行移動不変性」「区間の外測度」は本質的に重要な性質であり，ルベーグ測度の定義の土台となります．この記事では，これらの性質が重要な理由と，それぞれの性質の説明と証明をしています．