双対性議論(duality argument)について

$p\in[1,\infty)$ に対して， $p'=\bra{1-\f{1}{p}}^{-1}$ で $p'\in(1,\infty]$ を定める(すなわち， $p$ と $p'$ はHölder共役)．このとき， $L^{p}$ の共役空間(双対空間) $(L^{p})^{*}$ が $L^{p'}$ と同型であることはよく知られているが，この事実を示すことは簡単ではない．

しかし，この双対的な議論をするとき， $(L^{p})^{*}\cong L^{p'}$ まで用いる必要はなく，次の事実だけで十分なことも多い：

任意の $v\in L^{p'}(\Omega)$ に対して，

$\|v\|_{L^{p'}(\Omega)} =\sup\limits_{\|u\|_{L^{p}(\Omega)}=1}\abs{\dint_{\Omega}u(x)v(x)\,dx}$

が成り立つ．

この事実は比較的容易に証明することができる．

なお，この記事では， $\Omega\subset\R^{N}$ に対して， $I_{\Omega}$ を $\Omega\subset\R^{N}$ 上の定義関数とする．

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1 準備
2 Lp空間の双対性議論
- 2.1 Step.1
- 2.2 Step.2
3 LpLq空間の双対性議論

準備

まずは，「Hölder共役」を定義する．

[定義1]　 $p\in[1,\infty]$ に対して，

$\f{1}{p'}+\f{1}{p}=1 \Lra p'=\bra{1-\f{1}{p}}^{-1}$

で定まる $p'\in[1,\infty]$ を $p$ のHölder共役という．ただし， $p=1$ のときは $p'=\infty$ とみなし， $p=\infty$ のときは $p'=1$ とみなす．

次の $L^{p}L^{q}$ 空間を定義する．この $L^{p}L^{q}$ 空間は，例えば発展方程式で空間 $\R^N$ に関して $L_{x}^{p}$ ，時間 $\R$ に関して $L_{t}^{q}$ である場合などに用いる．

この定義は冒頭で述べた双対性の証明には用いないので，ひとまず飛ばして読んでも問題はない．

[定義2]　 $i=1,2$ に対して， $\Omega_{i}\subset\R^{N_{i}}$ を開集合， $p_{i}\in[1,\infty]$ とする．このとき， $L^{p_{1}}(\Omega_{1},L^{p_{2}}(\Omega_{2}))$ は， $\Omega_{1}\times\Omega_{2}$ を定義域とし， $\Omega_{1}$ 上ほとんど至るところで $L^{p_{2}}(\Omega_{2})$ に値をとる $L^{p_{1}}$ 空間である：

$L^{p_{1}}(\Omega_{1},L^{p_{2}}(\Omega_{2})) :=\set{u:\Omega_{1}\times\Omega_{2}\to\C} {\|u\|_{L^{p_{1}}(\Omega_{1},L^{p_{2}}(\Omega_{2}))}<\infty}$ ，
$\|u\|_{L^{p_{1}}(\Omega_{1},L^{p_{2}}(\Omega_{2}))} :=\bra{\dint_{\Omega_{1}}\|u(x_{1},\cdot)\|_{L^{p_{2}}(\Omega_{2})}^{p_{1}}\,dx_{1}}^{1/p_{1}}$

L^p空間の双対性議論

冒頭で述べた双対性を証明する．

[定理3]　 $\Omega\subset\R^N$ を開集合とする． $p\in[1,\infty)$ とし， $p'\in(1,\infty]$ を $p$ のHölder共役とする．このとき，任意の $v\in L^{p'}(\Omega)$ に対して，

$\|v\|_{L^{p'}(\Omega)} =\sup\limits_{\|u\|_{L^{p}(\Omega)}=1}\abs{\dint_{\Omega}u(x)v(x)\,dx}$

が成り立つ．

[証明]

Hölderの不等式より，任意の $v\in L^{p'}(\Omega)$ に対して，

$\sup\limits_{\|u\|_{L^{p}(\Omega)}=1}\abs{\dint_{\Omega}u(x)v(x)\,dx} \le\sup\limits_{\|u\|_{L^{p}(\Omega)}=1}\|u\|_{p}\|v\|_{p'} =\|v\|_{p'}$

だから，あとは

$\sup\limits_{\|u\|_{L^{p}(\Omega)}=1}\abs{\dint_{\Omega}u(x)v(x)\,dx} \ge\|v\|_{p'}$

を示せば題意が従う．

これを $p=1$ のとき， $p\in(1,\infty)$ のときに分けて示す．

Step.1

$p=1$ のとき

$p'=\infty$ である．任意の $\epsilon>0$ に対して，ある可測集合 $\Omega'\subset\Omega$ で $0<|\Omega'|<\infty$ を満たすものが存在して，

$x\in\Omega'\Ra|v(x)|>\|v\|_{\infty}-\epsilon$

が成り立つ．このとき， $w:\Omega\to\C$ を

$w(x):=\dfrac{\overline{v(x)}}{|\Omega'||v(x)|}I_{\Omega'}(x)$

で定めると，

$\dint_{\Omega}|w(x)|\,dx =\f{1}{|\Omega'|}\int_{\Omega'}\,dx=1$

すなわち $\|w\|_{p}=1$ だから，

$\sup\limits_{\|u\|_{L^{p}(\Omega)}=1}\abs{\dint_{\Omega}u(x)v(x)\,dx}$
$\ge\abs{\dint_{\Omega}w(x)v(x)\,dx}$
$=\abs{\f{1}{|\Omega'|}\dint_{\Omega'}\f{\overline{v(x)}v(x)}{|v(x)|}\,dx}$
$=\f{1}{|\Omega'|}\dint_{\Omega'}|v(x)|\,dx$
$>\f{1}{|\Omega'|}\dint_{\Omega'}(\|v\|_{\infty}-\epsilon)\,dx$
$=\|v\|_{\infty}-\epsilon$

となって， $\sup\limits_{\|u\|_{L^{p}(\Omega)}=1}\abs{\dint_{\Omega}u(x)v(x)\,dx}\ge\|v\|_{\infty}$ が従う．

Step.2

$p\in(1,\infty)$ のとき

$p'\in(1,\infty)$ である． $\theta_{x}:=\arg v(x)$ とし， $w:\Omega\to\C$ を $w(x):=\f{|v(x)|^{p'-1}}{\|v\|_{p'}^{p'/p}}e^{-i\theta_{x}}$ で定める．このとき，

$\bra{\dint_{\Omega}|w(x)|^{p}\,dx}^{1/p}$
$=\f{1}{\|v\|_{p'}^{p'/p}}\bra{\dint_{\Omega}|v(x)|^{p(p'-1)}\,dx}^{1/p}$
$=\f{1}{\|v\|_{p'}^{p'/p}}\bra{\dint_{\Omega}|v(x)|^{p'}\,dx}^{1/p} =1$

だから， $\|w\|_{p}=1$ に注意すれば，

$\sup\limits_{\|u\|_{L^{p}(\Omega)}=1}\abs{\dint_{\Omega}u(x)v(x)\,dx}$
$\ge\abs{\dint_{\Omega}w(x)v(x)\,dx}$
$=\abs{\f{1}{\|v\|_{p'}^{p'/p}}\dint_{\Omega}|v(x)|^{p'-1}e^{-i\theta_{x}}|v(x)|e^{i\theta_{x}}\,dx}$
$=\f{1}{\|v\|_{p'}^{p'/p}}\dint_{\Omega}|v(x)|^{p'}\,dx$
$=\|v\|_{p'}^{p'-\frac{p'}{p}}=\|v\|_{p'}$

が従う．

[証明終]

L^pL^q空間の双対性議論

次に， $L^{p}L^{q}$ 空間に関する双対性を示す．

[定理4]　 $i=1,2$ に対して， $\Omega_{i}\subset\mathbb{R}^{N_{i}}$ を開集合とする． $p_{i}\in[1,\infty)$ とし， $p'_{i}\in(1,\infty]$ を $p_{i}$ のHölder共役とする．このとき，任意の $v\in L^{p'_{1}}(\Omega_{1},L^{p'_{2}}(\Omega_{2}))$ に対して，

$\|v\|_{L^{p'_{1}}(\Omega_{1},L^{p'_{2}}(\Omega_{2}))} =\sup\limits_{\|u\|_{L^{p_{1}}\bra{\Omega_{1},L^{p_{2}}(\Omega_{2})}}=1} \abs{\dint_{\Omega_{1}}\int_{\Omega_{2}} u(x_{1},x_{2})v(x_{1},x_{2})\,dx_{2}dx_{1}}$

が成り立つ．

[証明]

$x:=(x_{1},x_{2})$ ， $X:=L^{p'_{1}}(\Omega_{1},L^{p'_{2}}(\Omega_{2}))$ ， $Y:=L^{p_{1}}(\Omega_{1},L^{p_{2}}(\Omega_{2}))$ とする．Hölderの不等式より，任意の $v\in X$ に対して，

$\sup\limits_{\|u\|_{Y}=1}\abs{\dint_{\Omega_{1}}\bra{\dint_{\Omega_{2}}u(x)v(x)\,dx_{2}}\,dx_{1}}$
$\le\sup\limits_{\|u\|_{Y}=1}\dint_{\Omega_{1}}\abs{\dint_{\Omega_{2}}u(x)v(x)\,dx_{2}}dx_{1}$
$\le\sup\limits_{\|u\|_{Y}=1}\dint_{\Omega_{1}}\|u(x_{1},\cdot)\|_{p_{1}}\|v(x_{1},\cdot)\|_{p'_{1}}\,dx_{1}$
$\le\sup\limits_{\|u\|_{Y}=1}\|u\|_{Y}\|v\|_{X}$
$=\|v\|_{X}$

だから，あとは

$\sup\limits_{\|u\|_{Y}=1}\abs{\dint_{\Omega_{1}}\bra{\int_{\Omega_{2}}u(x)v(x)\,dx_{2}}\,dx_{1}} \ge\|v\|_{X}$

を示せば題意が従う．

これを $p_{1}=p_{2}=1$ のとき， $p_{1}=1,p_{2}\in(1,\infty)$ のとき， $p_{1},p_{2}\in(1,\infty)$ のときに分けて証明する．

Step.1

$p_{1}=p_{2}=1$ のときを示す．

$p'_{1}=p'_{2}=\infty$ である．任意の $\epsilon>0$ ， $i\in\{1,2\}$ に対して，ある可測集合 $\Omega'_{i}\subset\Omega$ で $0<|\Omega'_{i}|<\infty$ を満たすものが存在して，

$x\in\Omega'_{1}\times\Omega_{2} \Ra |v(x)|>\|v(x_{1},\cdot)\|_{L^{\infty}(\Omega_{2})}-\epsilon >\|v\|_{X}-2\epsilon$

が成り立つ．このとき， $w:\Omega_{1}\times\Omega_{2}\to\C$ を $w(x):=\f{\overline{v(x)}}{|\Omega'_{1}||\Omega'_{2}|v(x)}I_{\Omega'_{1}\times\Omega'_{2}}(x)$ で定めると，

$\dint_{\Omega_{1}}\bra{\dint_{\Omega_{2}}|w(x)|\,dx_{2}}\,dx_{1}$
$=\f{1}{|\Omega'_{1}||\Omega'_{2}|}\dint_{\Omega'_{1}}\bra{\int_{\Omega'_{2}}\,dx_{2}}\,dx_{1}$
$=1$

すなわち $\|w\|_{Y}=1$ だから，

だから， $\sup\limits_{\|u\|_{Y}=1}\abs{\dint_{\Omega_{1}} \bra{\dint_{\Omega_{2}}u(x)v(x)\,dx_{2}}\,dx_{1}}\ge\|v\|_{X}$ が従う．

Step.2

$p_{1}=1,p_{2}\in(1,\infty)$ のときを示す．

$p'_{1}=\infty,p'_{2}\in(1,\infty)$ である．任意の $\epsilon>0$ に対して，ある可測集合 $\Omega'_{1}\subset\Omega_{1}$ で $0<|\Omega'_{1}|<\infty$ を満たすものが存在して，

$x\in\Omega'_{1}\times\Omega_{2} \Ra \|v(x_{1},\cdot)\|_{L^{p'_{2}}(\Omega_{2})} >\|v\|_{X}-\epsilon$

が成り立つ．このとき， $\theta_{x}:=\arg v(x)$ とし， $w:\Omega_{1}\times\Omega_{2}\to\C$ を

$w(x):=\f{|v(x)|^{p'_{2}-1}}{|\Omega'_{1}| \|v(x_{1},\cdot)\|_{L^{p'_{2}}(\Omega_{2})}^{p'_{2}/p_{2}}} e^{-i\theta_{x}}I_{\Omega'_{1}\times\Omega_{2}}(x)$

で定めると，

$\dint_{\Omega_{1}}\bra{\dint_{\Omega_{2}} |w(x)|^{p_{2}}\,dx_{2}}^{1/p_{2}}\,dx_{1}$
$=\f{1}{|\Omega'_{1}|}\dint_{\Omega'_{1}} \f{1}{\|v(x_{1},\cdot)\|_{L^{p'_{2}}(\Omega_{2})}^{p'_{2}/p_{2}}} \bra{\dint_{\Omega_{2}}|v(x_{1},x_{2})|^{p_{2}(p'_{2}-1)}\,dx_{2}}^{1/p_{2}}\,dx_{1}$
$=\f{1}{|\Omega'_{1}|}\dint_{\Omega'_{1}} \f{1}{\|v(x_{1},\cdot)\|_{L^{p'_{2}}(\Omega_{2})}^{p'_{2}/p_{2}}} \bra{\dint_{\Omega_{2}}|v(x_{1},x_{2})|^{p'_{2}}\,dx_{2}}^{1/p_{2}}\,dx_{1}$
$=\f{1}{|\Omega'_{1}|}\dint_{\Omega'_{1}}\,dx_{1}=1$

すなわち $\|w\|_{Y}=1$ だから，

$\sup\limits_{\|u\|_{Y}=1}\abs{\dint_{\Omega_{1}} \bra{\dint_{\Omega_{2}}u(x)v(x)\,dx_{2}}\,dx_{1}} \ge\abs{\dint_{\Omega_{1}}\bra{\dint_{\Omega_{2}}w(x)v(x)\,dx_{2}}\,dx_{1}}$
$=\abs{\dfrac{1}{|\Omega'_{1}|}\dint_{\Omega'_{1}} \bra{\f{1}{\|v(x_{1},\cdot)\|_{L^{p'_{2}}(\Omega_{2})}^{p'_{2}/p_{2}}} \dint_{\Omega_{2}}|v(x_{1},x_{2})|^{p'_{2}-1}e^{-i\theta_{x}}v(x)\,dx_{2}}\,dx_{1}}$
$=\f{1}{|\Omega'_{1}|}\dint_{\Omega'_{1}} \bra{\f{1}{\|v(x_{1},\cdot)\|_{L^{p'_{2}}(\Omega_{2})}^{p'_{2}/p_{2}}} \dint_{\Omega_{2}}|v(x_{1},x_{2})|^{p'_{2}}\,dx_{2}}\,dx_{1}$
$=\f{1}{|\Omega'_{1}|}\dint_{\Omega'_{1}} \|v(x_{1},\cdot)\|_{L^{p'_{2}}(\Omega_{2})}^{p'_{2}-\frac{p'_{2}}{p_{2}}}\,dx_{1} =\f{1}{|\Omega'_{1}|}\dint_{\Omega'_{1}} \|v(x_{1},\cdot)\|_{L^{p'_{2}}(\Omega_{2})}\,dx_{1}$
$>\f{1}{|\Omega'_{1}|}\dint_{\Omega'_{1}} (\|v\|_{X}-\epsilon)\,dx_{1} =\|v\|_{X}-\epsilon$

だから， $\sup\limits_{\|u\|_{Y}=1}\abs{\dint_{\Omega_{1}}\bra{\int_{\Omega_{2}}u(x)v(x)\,dx_{2}}\,dx_{1}}\ge\|v\|_{X}$ が従う．

Step.3

$p_{1},p_{2}\in(1,\infty)$ のときを示す．

$p'_{1},p'_{2}\in(1,\infty)$ である． $\theta_{x}:=\arg v(x)$ とし， $w:\Omega_{1}\times\Omega_{2}\to\mathbb{C}$ を

$w(x) :=\f{|v(x)|^{p'_{2}-1}}{\|v\|_{X}^{p'_{1}/p_{1}} \|v(x_{1},\cdot)\|_{L^{p'_{2}} (\Omega_{2})}^{1-p'_{1}+p'_{2}/p_{2}}}e^{-i\theta_{x}}$

で定めると，

$\bra{\dint_{\Omega_{1}}\abs{\dint_{\Omega_{2}} |w(x)|^{p_{2}}\,dx_{2}}^{p_{1}/p_{2}}\,dx_{1}}^{1/p_{2}}$
$=\f{1}{\|v\|_{X}^{p'_{1}/p_{1}}} \bra{\dint_{\Omega'_{1}} \dfrac{1}{\|v(x_{1},\cdot)\|_{L^{p'_{2}}(\Omega_{2})}^{p_{1}(1-p'_{1}+p'_{2}/p_{2})}} \bra{\dint_{\Omega_{2}}|v(x)|^{p_{2}(p'_{2}-1)}\,dx_{2}}^{p_{1}/p_{2}}\,dx_{1}}^{1/p_{1}}$
$=\f{1}{\|v\|_{X}^{p'_{1}/p_{1}}}\bra{\dint_{\Omega'_{1}}\f{1}{\|v(x_{1},\cdot)\|_{L^{p'_{2}} (\Omega_{2})}^{p_{1}(1-p'_{1}+p'_{2}/p_{2})}} \bra{\int_{\Omega_{2}}|v(x)|^{p'_{2}}\,dx_{2}}^{p_{1}/p_{2}}\,dx_{1}}^{1/p_{1}}$
$=\f{1}{\|v\|_{X}^{p'_{1}/p_{1}}} \bra{\dint_{\Omega'_{1}}\|v(x_{1},\cdot)\|_{L^{p'_{2}} (\Omega_{2})}^{p_{1}(p'_{1}-1)}\,dx_{1}}^{1/p_{1}}$
$=\f{1}{\|v\|_{X}^{p'_{1}/p_{1}}} \bra{\dint_{\Omega'_{1}}\|v(x_{1},\cdot)\|_{L^{p'_{2}} (\Omega_{2})}^{p'_{1}}\,dx_{1}}^{1/p_{1}} =1$

すなわち $\|w\|_{Y}=1$ だから，

$\sup\limits_{\|u\|_{Y}=1}\abs{\dint_{\Omega_{1}} \bra{\dint_{\Omega_{2}}u(x)v(x)\,dx_{2}}\,dx_{1}}$
$\ge\abs{\dint_{\Omega_{1}} \bra{\dint_{\Omega_{2}}w(x)v(x)\,dx_{2}}\,dx_{1}}$
$=\abs{\f{1}{\|v\|_{X}^{p'_{1}/p_{1}}}\dint_{\Omega_{1}} \bra{\f{1}{\|v(x_{1},\cdot)\|_{L^{p'_{2}}(\Omega_{2})}^{1-p'_{1}+p'_{2}/p_{2}}} \dint_{\Omega_{2}}|v(x)|^{p'_{2}-1}e^{-i\theta_{x}}v(x)\,dx_{2}}\,dx_{1}}$
$=\f{1}{\|v\|_{X}^{p'_{1}/p_{1}}}\dint_{\Omega_{1}} \bra{\f{1}{\|v(x_{1},\cdot)\|_{L^{p'_{2}}(\Omega_{2})}^{1-p'_{1}+p'_{2}/p_{2}}} \dint_{\Omega_{2}}|v(x)|^{p'_{2}}\,dx_{2}}\,dx_{1}$
$=\f{1}{\|v\|_{X}^{p'_{1}/p_{1}}}\dint_{\Omega_{1}} \bra{\f{1}{\|v(x_{1},\cdot)\|_{L^{p'_{2}}(\Omega_{2})}^{1-p'_{1}+p'_{2}/p_{2}}} \|v(x_{1},\cdot)\|_{L^{p'_{2}}(\Omega_{2})}^{p'_{2}}}\,dx_{1}$
$=\f{1}{\|v\|_{X}^{p'_{1}/p_{1}}}\dint_{\Omega_{1}} \|v(x_{1},\cdot)\|_{L^{p'_{2}}(\Omega_{2})}^{p'_{1}-1+p'_{2}(1-1/p_{2})}\,dx_{1}$
$=\f{1}{\|v\|_{X}^{p'_{1}/p_{1}}}\dint_{\Omega_{1}} \|v(x_{1},\cdot)\|_{L^{p'_{2}}(\Omega_{2})}^{p'_{1}}\,dx_{1}$
$=\f{1}{\|v\|_{X}^{p'_{1}/p_{1}}}\|v\|_{X}^{p'_{1}} =\|v\|_{X}^{p'_{1}(1-1/p_{1})} =\|v\|_{X}$

が従う．

[証明終]

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