$p\in[1,\infty)$のとき
が同型であることはよく知られており，これを$L^p$双対性といいます（$p’$は$p$のヘルダー共役）．
この同型について，任意の$v\in L^{p’}(\Omega)$に対して
\begin{align*}\|v\|_{L^{p’}(\Omega)}=\sup_{\|u\|_{L^{p}(\Omega)}=1}\abs{\int_{\Omega}u(x)v(x)\,dx}\end{align*}
が成り立ちます．また，混合ルベーグ空間$L^pL^q$でも同様の等式が成り立ち，これらの双対性の等式を用いる論法を双対性議論（duality argument）などといいます．
この記事では複素数値関数に対する$L^p$双対性，$L^pL^q$双対性を示します．
この記事では
- 準備（ヘルダーの不等式，ルベーグ空間，混合ルベーグ空間）
- $L^p$双対性とその証明
- $L^pL^q$双対性とその証明
を順に解説します．
準備（ヘルダーの不等式，ルベーグ空間，混合ルベーグ空間）
本題に入る前にヘルダーの不等式，ルベーグ空間$L^p$，混合ルベーグ空間$L^{p}L^{q}$を確認しておきましょう．
ヘルダーの不等式
$L^p$双対性の証明のベースとなるのはヘルダーの不等式です．
$\frac{1}{p}+\frac{1}{p’}=1$を満たす$p,p’\in[1,\infty]$はヘルダー共役であるという．ただし，$p=1$のときは$p’=\infty$，$p=\infty$のときは$p’=1$とみなす．
［ヘルダーの不等式］$p\in[1,\infty]$とする．ルベーグ可測集合$A\subset\R$上のルベーグ可測関数$f,g$に対して，不等式
\begin{align*}\int_{A}|f(x)g(x)|\,dx\le\|f\|_{p}\|g\|_{p’}\end{align*}
が成り立つ．ただし，$p’\in[1,\infty]$は$p$のヘルダー共役である．
実は実数値関数に対する$L^p$双対性（$p\in(1,\infty)$）はヘルダーの不等式から簡単に証明でき，実際に$p\in(1,\infty)$の場合は以下の記事で証明しています．
また，$p=1$のときは$q=\infty$となり，とくに性質を使うまでもなく
\begin{align*}\int_{A}|f(x)g(x)|\,dx\le\|f(x)\|_{\infty}\int_{A}|g(x)|\,dx=\|f(x)\|_{\infty}\|g\|_{1}\end{align*}
が得られ，この場合も含めてヘルダーの不等式ということもあります．以下，この$p=1$の場合も含めてヘルダーの不等式といいます．
ルベーグ空間$L^p$の定義
［ルベーグ空間］$\Omega\subset\R^N$をルベーグ可測集合とし，$p\in[1,\infty]$とする．このとき，ノルム
\begin{align*}\|u\|_{p}=\|u\|_{L^{p}(\Omega)}
:=\left\{\begin{aligned}
&\bra{\int_{\Omega}|u(x)|^{p}\,dx}^{1/p}&&(p\in[1,\infty))\\
&\operatorname{ess\, sup}\limits_{x\in\Omega}|u(x)|&&(p=\infty)
\end{aligned}\right.\end{align*}
が有限なルベーグ可測関数$u$全部のノルム空間をルベーグ空間といい$L^p(\Omega)$と表す．
ルベーグ空間$L^p(\Omega)$は完備なノルム空間（バナッハ空間）となります．
混合ルベーグ空間$L^pL^q$の定義
［混合ルベーグ空間］$i=1,2$に対して，$\Omega_i\subset\R^{N_i}$をルベーグ可測集合とし，$p,q\in[1,\infty]$とする．このとき，任意の$x_1\in\Omega_1$に対して$\|u(x_1,\cdot)\|_{L^q(\Omega)}<\infty$で，ノルム
\begin{align*}\|u\|_{p,q}=\|u\|_{L^{p}L^{q}(\Omega_1\times\Omega_2)}:=\brb{\int_{\Omega_1}\bra{\int_{\Omega_2}|u(x_1,x_2)|^{q}\,dx_2}^{p/q}\,dx_1}^{1/q}\end{align*}
が有限なルベーグ可測関数$u$全部のノルム空間を$L^{p}L^{q}(\Omega_1\times\Omega_2)$と表す．
混合ルベーグ空間$L^{p}L^{q}$は，例えば時間発展する非線形偏微分方程式で
- 空間$\R^n$に関して$L^{p}$
- 時間$\R$に関して$L^{q}$
である場合などに用います．
$L^p$双対性とその証明
複素数値関数に対する$L^p$双対性を示しましょう．
［$L^p$双対性］$\Omega\subset\R^N$をルベーグ可測集合とし，$p\in[1,\infty)$とする．このとき，任意の複素数値$v\in L^{p’}(\Omega)$に対して，
\begin{align*}\|v\|_{p’}=\sup_{\|u\|_{p}=1}\abs{\int_{\Omega}u(x)v(x)\,dx}\end{align*}
が成り立つ．ただし，$p’\in(1,\infty]$は$p$のヘルダー共役である．
$v=0$のときは両辺０で成り立つから，以下では$v\neq0$とする．
$\ge$の証明
ヘルダーの不等式より，任意の$v\in L^{p’}(\Omega)$に対して，
\begin{align*}\sup_{\|u\|_{p}=1}\abs{\int_{\Omega}u(x)v(x)\,dx}\le\sup_{\|u\|_{p}=1}\|u\|_{p}\|v\|_{p’}=\|v\|_{p’}\end{align*}
だから，あとは逆向きの不等式を示せばよい．
$p\in(1,\infty)$の場合の$\le$の証明
$p\in(1,\infty)$のときは$p’\in(1,\infty)$である．$\theta_{x}:=\arg v(x)$とし，$w:\Omega\to\C$を$w(x):=\dfrac{|v(x)|^{p’-1}}{\|v\|_{p’}^{p’/p}}e^{-i\theta_{x}}$で定める．
\begin{align*}\|w\|_{p}^{p}&=\int_{\Omega}|w(x)|^{p}\,dx
\\&=\frac{1}{\|v\|_{p’}^{p’}}\int_{\Omega}|v(x)|^{p(p’-1)}\,dx
\\&=\frac{1}{\|v\|_{p’}^{p’}}\int_{\Omega}|v(x)|^{p’}\,dx=1\end{align*}
だから
\begin{align*}&\sup_{\|u\|_{p}=1}\abs{\int_{\Omega}u(x)v(x)\,dx}
\\&\ge\abs{\int_{\Omega}w(x)v(x)\,dx}
=\abs{\frac{1}{\|v\|_{p’}^{p’/p}}\int_{\Omega}|v(x)|^{p’-1}e^{-i\theta_{x}}|v(x)|e^{i\theta_{x}}\,dx}
\\&=\frac{1}{\|v\|_{p’}^{p’/p}}\int_{\Omega}|v(x)|^{p’}\,dx
=\|v\|_{p’}^{p’-\frac{p’}{p}}
=\|v\|_{p’}\end{align*}
を得る．
$p=1$の場合の$\le$の証明
$p=1$のときは$p’=\infty$なので，$\|v\|_{\infty}<\infty$である．任意に$\epsilon>0$をとる．ルベーグ測度を$m$で表す．
本質的有界性の定義より，$0<m(\Omega_{\epsilon})<\infty$を満たすあるルベーグ可測集合$\Omega_{\epsilon}\subset\Omega$が存在して
\begin{align*}x\in\Omega_{\epsilon}\Ra|v(x)|>\|v\|_{\infty}-\epsilon\end{align*}
が成り立つ．このとき，$w:\Omega\to\C$を
\begin{align*}w(x):=\frac{\overline{v(x)}}{m(\Omega_{\epsilon})|v(x)|}\mathbb{I}_{\Omega_{\epsilon}}(x)\end{align*}
で定める．
\begin{align*}\|w\|_{p}=\int_{\Omega}|w(x)|\,dx=\frac{1}{m(\Omega_{\epsilon})}\int_{\Omega_{\epsilon}}\,dx=1\end{align*}
だから
\begin{align*}&\sup_{\|u\|_{p}=1}\abs{\int_{\Omega}u(x)v(x)\,dx}
\\&\ge\abs{\int_{\Omega}w(x)v(x)\,dx}
=\abs{\frac{1}{m(\Omega_{\epsilon})}\int_{\Omega_{\epsilon}}\frac{\overline{v(x)}v(x)}{|v(x)|}\,dx}
\\&=\frac{1}{m(\Omega_{\epsilon})}\int_{\Omega_{\epsilon}}|v(x)|\,dx
>\frac{1}{m(\Omega_{\epsilon})}\int_{\Omega_{\epsilon}}(\|v\|_{\infty}-\epsilon)\,dx
\\&=\|v\|_{\infty}-\epsilon\end{align*}
を得る．$\epsilon$の任意性から$\sup\limits_{\|u\|_{p}=1}\abs{\dint_{\Omega}u(x)v(x)\,dx}\ge\|v\|_{\infty}$が従う．
$p=1$の場合は関数$v\in L^{\infty}(\Omega)$をかける掛け算作用素$T_f:L^1(\Omega)\to L^1(\Omega)$の作用素ノルム$\|T_f\|$が$\|f\|_{\infty}$であることを示したのと同じことですね．
いまの定理では$\|u\|_{p}=1$なる$u$を動かして上限をとりましたが，$\|u\|_{p}\le1$なる$u$を動かして上限をとっても同じです．
$\Omega\subset\R^N$をルベーグ可測集合とし，$p\in[1,\infty)$とする．このとき，任意の複素数値関数$v\in L^{p’}(\Omega)$に対して，
\begin{align*}\|v\|_{p’}=\sup_{\|u\|_{p}\le1}\abs{\int_{\Omega}u(x)v(x)\,dx}\end{align*}
が成り立つ．ただし，$p’\in(1,\infty]$は$p$のヘルダー共役である．
ヘルダーの不等式より，任意の$v\in L^{p’}(\Omega)$に対して，
\begin{align*}\sup_{\|u\|_{p}\le1}\abs{\int_{\Omega}u(x)v(x)\,dx}\le\sup_{\|u\|_{p}\le1}\|u\|_{p}\|v\|_{p’}=\|v\|_{p’}\end{align*}
が成り立つ．一方，定理［$L^p$双対性］より，
\begin{align*}\|v\|_{p’}=\sup_{\|u\|_{p}=1}\abs{\int_{\Omega}u(x)v(x)\,dx}\le\sup_{\|u\|_{p}\le1}\abs{\int_{\Omega}u(x)v(x)\,dx}\end{align*}
が成り立つ．
$L^pL^q$双対性とその証明
複素数値関数に対する$L^pL^q$双対性を示しましょう．
［$L^{p}L^{q}$双対性］$i=1,2$に対して，$\Omega_i\subset\R^{N_i}$をルベーグ可測集合とし，$p,q\in[1,\infty)$とする．このとき，任意の複素数値$v\in L^{p’}L^{q’}(\Omega_1\times\Omega_2)$に対して，
\begin{align*}\|v\|_{p’,q’}=\sup_{\|u\|_{p,q}=1}\abs{\int_{\Omega_1}\int_{\Omega_2}u(x_1,x_2)v(x_1,x_2)\,dx_2dx_1}\end{align*}
が成り立つ．ただし，$p’,q’\in(1,\infty]$はそれぞれ$p$, $q$のヘルダー共役である．
$v=0$のときは両辺０で成り立つから，以下では$v\neq0$とする．また，$x:=(x_1,x_2)$とする．
$\ge$の証明
ヘルダーの不等式（$\frac{1}{p}+\frac{1}{p’}=1$）より，任意の$v\in L^{p’}L^{q’}(\Omega_1\times\Omega_2)$に対して，
\begin{align*}&\sup_{\|u\|_{p,q}=1}\abs{\int_{\Omega_1}\bra{\int_{\Omega_2}u(x)v(x)\,dx_2}\,dx_1}
\\&\le\sup_{\|u\|_{p,q}=1}\int_{\Omega_1}\abs{\int_{\Omega_2}u(x)v(x)\,dx_2}dx_1
\\&\le\sup_{\|u\|_{p,q}=1}\int_{\Omega_1}\|u(x_1,\cdot)\|_{q}\|v(x_1,\cdot)\|_{q’}\,dx_1
\\&\le\sup_{\|u\|_{p,q}=1}\|u\|_{p,q}\|v\|_{p’,q’}=\|v\|_{p’,q’}\end{align*}
だから，あとは逆向きの不等式を示せばよい．
$\le$の証明
$\theta_{x}:=\arg v(x)$とする．任意の$u\in L^{p}L^{q}(\Omega_1\times\Omega_2)$に対して，$\phi\in L^{p}(\Omega_1)$と$g\in L^{\infty}L^{q}(\Omega_1\times\Omega_2)$を用いて，$u(x)=\phi(x_1)g(x)e^{-i\theta_x}$と表すとき，ヘルダーの不等式より
\begin{align*}\|u\|_{p,q}\le\|\phi\|_{p}\|g\|_{\infty,q}\end{align*}
が成り立つから，$\|\phi\|_{p}=1$かつ$\|g\|_{\infty,q}=1$ならば$\|u\|_{p,q}\le1$が成り立つ．よって，
\begin{align*}&\sup_{\|u\|_{p,q}=1}\abs{\int_{\Omega_1}\bra{\int_{\Omega_2}u(x)v(x)\,dx_2}\,dx_1}
\\&=\sup_{\|u\|_{p,q}\le1}\abs{\int_{\Omega_1}\bra{\int_{\Omega_2}u(x)v(x)\,dx_2}\,dx_1}
\\&\ge\sup_{\substack{\|\phi\|_{p}=1\\\|g\|_{\infty,q}=1}}\abs{\int_{\Omega_1}\bra{\int_{\Omega_2}\phi(x_1)g(x)e^{-i\theta_x}v(x)\,dx_2}\,dx_1}
\\&=\sup_{\substack{\|\phi\|_{p}=1\\\|g\|_{\infty,q}=1}}\abs{\int_{\Omega_1}\bra{\int_{\Omega_2}\phi(x_1)g(x)|v(x)|\,dx_2}\,dx_1}\quad\dots(*)\end{align*}
が成り立つ．最後の積分について
\begin{align*}&\abs{\int_{\Omega_1}\bra{\int_{\Omega_2}\phi(x_1)g(x)|v(x)|\,dx_2}\,dx_1}
\\&\le\int_{\Omega_1}\bra{\int_{\Omega_2}|\phi(x_1)||g(x)||v(x)|\,dx_2}\,dx_1\end{align*}
だから，$(*)$の上限は非負実数値関数$\phi$, $g$で考えれば十分である．また，トネリの定理と併せて
\begin{align*}&\sup_{\|u\|_{p,q}=1}\abs{\int_{\Omega_1}\bra{\int_{\Omega_2}u(x)v(x)\,dx_2}\,dx_1}
\\&\ge\sup_{\substack{\|\phi\|_{p}=1\\\phi\ge0}}\sup_{\substack{\|g\|_{\infty,q}=1\\g\ge0}}\int_{\Omega_1}\phi(x_1)\bra{\int_{\Omega_2}g(x)|v(x)|\,dx_2}\,dx_1\end{align*}
が成り立つ．
ここで，関数$H:\Omega_1\to\R$を
\begin{align*}H(x_1)=\sup_{\substack{\|g\|_{\infty,q}=1\\g\ge0}}\int_{\Omega_2}g(x)|v(x)|\,dx_2\end{align*}
で定める．各$x_1\in\Omega_1$に対して，$L^{q}(\Omega_2)$での双対性議論より$H(x_1)=\|v(x_1,\cdot)\|_{L^{q’}(\Omega_2)}$であり，ある非負値関数列$\{g_n\}\subset L^{\infty}L^{q}(\Omega_1\times\Omega_2)$が存在して，$g_1\le g_2\le g_3\le\dots$かつ
\begin{align*}H_n(x_1):=\int_{\Omega_2}g_n(x)|v(x)|\,dx_2\xrightarrow[]{n\to\infty}H(x_1)\end{align*}
が成り立つ．任意の非負実数値関数$\phi\in L^{p}(\Omega_1)$と$n\in\N$に対して，
\begin{align*}&\sup_{\substack{\|g\|_{\infty,q}=1\\g\ge0}}\int_{\Omega_1}\phi(x_1)\bra{\int_{\Omega_2}g(x)|v(x)|\,dx_2}\,dx_1
\ge\int_{\Omega_1}\phi(x_1)H_n(x_1)\,dx_1\end{align*}
なので，両辺（右辺）で極限$n\to\infty$をとると，ルベーグの単調収束定理より
\begin{align*}&\sup_{\substack{\|g\|_{\infty,q}=1\\g\ge0}}\int_{\Omega_1}\phi(x_1)\bra{\int_{\Omega_2}g(x)|v(x)|\,dx_2}\,dx_1
\ge\int_{\Omega_1}\phi(x_1)H(x_1)\,dx_1\end{align*}
が成り立つ．
以上と$L^{p}(\Omega_1)$での双対性議論を併せて，
\begin{align*}&\sup_{\|u\|_{p,q}=1}\abs{\int_{\Omega_1}\bra{\int_{\Omega_2}u(x)v(x)\,dx_2}\,dx_1}
\\&\ge\sup_{\substack{\|\phi\|_{p}=1\\\phi\ge0}}\int_{\Omega_1}\phi(x_1)H(x_1)\,dx_1
\\&=\|H\|_{L^{p’}(\Omega_1)}=\|v\|_{p’,q’}\end{align*}
を得る．
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