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双対性議論(duality argument)について

$p\in[1,\infty)$に対して,$p’=\bra{1-\frac{1}{p}}^{-1}$で$p’\in(1,\infty]$を定める(すなわち,$p$と$p’$はHölder共役).

このとき,$L^{p}$の共役空間(双対空間)$(L^{p})^{*}$が$L^{p’}$と同型であることはよく知られているが,この事実を示すことは簡単ではない.

しかし,この双対的な議論をするとき,$(L^{p})^{*}\cong L^{p’}$まで用いる必要はなく,任意の$v\in L^{p’}(\Omega)$に対して,

\begin{align*} \|v\|_{L^{p'}(\Omega)} =\sup_{\|u\|_{L^{p}(\Omega)}=1}\abs{\int_{\Omega}u(x)v(x)\,dx} \end{align*}

が成り立つことを用いれば十分なことも多い.

この記事では,この等式に関する証明を行う.

なお,$\Omega\subset\R^N$に対して,$I_{\Omega}$を$\Omega\subset\R^N$上の定義関数とする.

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準備

まずは,「Hölder共役」を定義する.

[定義1] $p\in[1,\infty]$に対して,

\begin{align*} \frac{1}{p'}+\frac{1}{p}=1 \iff p'=\bra{1-\frac{1}{p}}^{-1} \end{align*}

で定まる$p’\in[1,\infty]$を$p$のHölder共役という.ただし,$p=1$のときは$p’=\infty$とみなし,$p=\infty$のときは$p’=1$とみなす.

次に$L^{p}L^{q}$空間を定義する.

[定義2] $i=1,2$に対して,$\Omega_i\subset\R^{N_i}$を開集合,$p_i\in[1,\infty]$とする.このとき,$L^{p_1}(\Omega_1,L^{p_2}(\Omega_2))$は,$\Omega_1\times\Omega_2$を定義域とし,$\Omega_1$上ほとんど至るところで$L^{p_2}(\Omega_2)$に値をとる$L^{p_1}$空間である:

\begin{align*} &L^{p_1}(\Omega_1,L^{p_2}(\Omega_2)) :=\set{u:\Omega_1\times\Omega_2\to\C} {\|u\|_{L^{p_1}(\Omega_1,L^{p_2}(\Omega_2))}<\infty}, \\&\|u\|_{L^{p_1}(\Omega_1,L^{p_2}(\Omega_2))} :=\bra{\int_{\Omega_1}\|u(x_1,\cdot)\|_{L^{p_2}(\Omega_2)}^{p_1}\,dx_1}^{1/p_1} \end{align*}

この$L^{p}L^{q}$空間は,例えば発展方程式で空間$\R^N$に関して$L_{x}^{p}$,時間$\R$に関して$L_{t}^{q}$である場合などに用いる.

この定義は冒頭で述べた双対性の証明には用いないので,ひとまず飛ばして読んでも問題はない.

Lp空間の双対性議論

冒頭で述べた双対性を証明する.

[定理3] $\Omega\subset\R^N$を開集合とする.$p\in[1,\infty)$とし,$p’\in(1,\infty]$を$p$のHölder共役とする.このとき,任意の$v\in L^{p’}(\Omega)$に対して,

\begin{align*} \|v\|_{L^{p'}(\Omega)} =\sup_{\|u\|_{L^{p}(\Omega)}=1}\abs{\int_{\Omega}u(x)v(x)\,dx} \end{align*}

が成り立つ.

[証明]

Hölderの不等式より,任意の$v\in L^{p’}(\Omega)$に対して,

\begin{align*} \sup_{\|u\|_{L^{p}(\Omega)}=1}\abs{\int_{\Omega}u(x)v(x)\,dx} \le\sup_{\|u\|_{L^{p}(\Omega)}=1}\|u\|_{p}\|v\|_{p'} =\|v\|_{p'} \end{align*}

だから,あとは

\begin{align*} \sup_{\|u\|_{L^{p}(\Omega)}=1}\abs{\int_{\Omega}u(x)v(x)\,dx} \ge\|v\|_{p'} \end{align*}

を示せば題意が従う.これを

  • $p=1$のとき
  • $p\in(1,\infty)$のとき

に分けて示す.

Case.1

$p=1$のとき,$p’=\infty$である.

任意の$\epsilon>0$に対して,ある可測集合$\Omega’\subset\Omega$で$0<|\Omega’|<\infty$を満たすものが存在して,

\begin{align*} x\in\Omega'\Ra|v(x)|>\|v\|_{\infty}-\epsilon \end{align*}

が成り立つ.このとき,$w:\Omega\to\C$を

\begin{align*} w(x):=\frac{\overline{v(x)}}{|\Omega'||v(x)|}I_{\Omega'}(x) \end{align*}

で定めると,

\begin{align*} \int_{\Omega}|w(x)|\,dx =\frac{1}{|\Omega'|}\int_{\Omega'}\,dx=1 \end{align*}

すなわち$\|w\|_{p}=1$だから,

\begin{align*} &\sup_{\|u\|_{L^{p}(\Omega)}=1}\abs{\int_{\Omega}u(x)v(x)\,dx} \\\ge&\abs{\int_{\Omega}w(x)v(x)\,dx} =\abs{\frac{1}{|\Omega'|}\int_{\Omega'}\frac{\overline{v(x)}v(x)}{|v(x)|}\,dx} \\=&\frac{1}{|\Omega'|}\int_{\Omega'}|v(x)|\,dx >\frac{1}{|\Omega'|}\int_{\Omega'}(\|v\|_{\infty}-\epsilon)\,dx \\=&\|v\|_{\infty}-\epsilon \end{align*}

となって,$\sup\limits_{\|u\|_{L^{p}(\Omega)}=1}\abs{\int_{\Omega}u(x)v(x)\,dx}\ge\|v\|_{\infty}$が従う.

Case.2

$p\in(1,\infty)$のとき,$p’\in(1,\infty)$である.

$\theta_{x}:=\arg v(x)$とし,$w:\Omega\to\C$を$w(x):=\dfrac{|v(x)|^{p’-1}}{\|v\|_{p’}^{p’/p}}e^{-i\theta_{x}}$で定める.このとき,

\begin{align*} \bra{\int_{\Omega}|w(x)|^{p}\,dx}^{1/p} =&\frac{1}{\|v\|_{p'}^{p'/p}}\bra{\int_{\Omega}|v(x)|^{p(p'-1)}\,dx}^{1/p} \\=&\frac{1}{\|v\|_{p'}^{p'/p}}\bra{\int_{\Omega}|v(x)|^{p'}\,dx}^{1/p} =1 \end{align*}

だから,$\|w\|_{p}=1$に注意すれば,

\begin{align*} &\sup_{\|u\|_{L^{p}(\Omega)}=1}\abs{\int_{\Omega}u(x)v(x)\,dx} \\\ge&\abs{\int_{\Omega}w(x)v(x)\,dx} =\abs{\frac{1}{\|v\|_{p'}^{p'/p}}\int_{\Omega}|v(x)|^{p'-1}e^{-i\theta_{x}}|v(x)|e^{i\theta_{x}}\,dx} \\=&\frac{1}{\|v\|_{p'}^{p'/p}}\int_{\Omega}|v(x)|^{p'}\,dx =\|v\|_{p'}^{p'-\frac{p'}{p}} =\|v\|_{p'} \end{align*}

が従う.

[証明終]

LpLq空間の双対性議論

次に,$L^{p}L^{q}$空間に関する双対性を示す.

[定理4] $i=1,2$に対して,$\Omega_i\subset\R^{N_i}$を開集合とする.$p_i\in[1,\infty)$とし,$p’_i\in(1,\infty]$を$p_i$のHölder共役とする.このとき,任意の$v\in L^{p’_1}(\Omega_1,L^{p’_2}(\Omega_2))$に対して,

\begin{align*} \|v\|_{L^{p'_1}(\Omega_1,L^{p'_2}(\Omega_2))} =\sup_{\|u\|_{L^{p_1}\bra{\Omega_1,L^{p_2}(\Omega_2)}}=1} \abs{\int_{\Omega_1}\int_{\Omega_2} u(x_1,x_2)v(x_1,x_2)\,dx_2dx_1} \end{align*}

が成り立つ.

[証明]

$x:=(x_1,x_2)$, $X:=L^{p’_1}(\Omega_1,L^{p’_2}(\Omega_2))$, $Y:=L^{p_1}(\Omega_1,L^{p_2}(\Omega_2))$とする.Hölderの不等式より,任意の$v\in X$に対して,

\begin{align*} &\sup_{\|u\|_{Y}=1}\abs{\int_{\Omega_1}\bra{\int_{\Omega_2}u(x)v(x)\,dx_2}\,dx_1} \\\le&\sup_{\|u\|_{Y}=1}\int_{\Omega_1}\abs{\int_{\Omega_2}u(x)v(x)\,dx_2}dx_1 \\\le&\sup_{\|u\|_{Y}=1}\int_{\Omega_1}\|u(x_1,\cdot)\|_{p_1}\|v(x_1,\cdot)\|_{p'_1}\,dx_1 \\\le&\sup_{\|u\|_{Y}=1}\|u\|_{Y}\|v\|_{X} =\|v\|_{X} \end{align*}

だから,あとは

\begin{align*} \sup_{\|u\|_{Y}=1}\abs{\int_{\Omega_1}\bra{\int_{\Omega_2}u(x)v(x)\,dx_2}\,dx_1} \ge\|v\|_{X} \end{align*}

を示せば題意が従う.これを

  • $p_1=p_2=1$のとき
  • $p_1=1$, $p_2\in(1,\infty)$のとき
  • $p_1,p_2\in(1,\infty)$のとき

に分けて証明する.

Case.1

$p_1=p_2=1$のとき,$p’_1=p’_2=\infty$である.

任意の$\epsilon>0$, $i\in\{1,2\}$に対して,ある可測集合$\Omega’_i\subset\Omega$で$0<|\Omega’_i|<\infty$を満たすものが存在して,$x\in\Omega’_1\times\Omega_2$が成り立つなら

\begin{align*} |v(x)|>\|v(x_1,\cdot)\|_{L^{\infty}(\Omega_2)}-\epsilon >\|v\|_{X}-2\epsilon \end{align*}

が成り立つ.このとき,$w:\Omega_1\times\Omega_2\to\C$を

\begin{align*} w(x):=\frac{\overline{v(x)}}{|\Omega'_1||\Omega'_2|v(x)}I_{\Omega'_1\times\Omega'_2}(x) \end{align*}

で定めると,

\begin{align*} \int_{\Omega_1}\bra{\int_{\Omega_2}|w(x)|\,dx_2}\,dx_1 =\frac{1}{|\Omega'_1||\Omega'_2|}\int_{\Omega'_1}\bra{\int_{\Omega'_2}\,dx_2}\,dx_1 =1 \end{align*}

すなわち$\|w\|_{Y}=1$だから,

\begin{align*} &\sup_{\|u\|_{Y}=1}\abs{\int_{\Omega_1}\bra{\int_{\Omega_2}u(x)v(x)\,dx_2}\,dx_1} \\\ge&\abs{\int_{\Omega_1}\bra{\int_{\Omega_2}w(x)v(x)\,dx_2}\,dx_1} \\=&\abs{\frac{1}{|\Omega'_1||\Omega'_2|}\int_{\Omega'_1}\bra{\int_{\Omega'_2}\frac{\overline{v(x)}v(x)}{v(x)}\,dx_2}\,dx_1} \\=&\frac{1}{|\Omega'_1||\Omega'_2|}\int_{\Omega'_1}\bra{\int_{\Omega'_2}|v(x)|\,dx_2}\,dx_1 \\>&\frac{1}{|\Omega'_1||\Omega'_2|}\int_{\Omega'_1}\bra{\int_{\Omega'_2}(\|v\|_{X}-\epsilon)\,dx_2}\,dx_1 \\=&\|v\|_{X}-2\epsilon \end{align*}

だから,

\begin{align*} \sup_{\|u\|_{Y}=1}\abs{\int_{\Omega_1}\bra{\int_{\Omega_2}u(x)v(x)\,dx_2}\,dx_1}\ge\|v\|_{X} \end{align*}

が従う.

Case.2

$p_1=1,p_2\in(1,\infty)$のとき,$p’_1=\infty,p’_2\in(1,\infty)$である.

任意の$\epsilon>0$に対して,ある可測集合$\Omega’_1\subset\Omega_1$で$0<|\Omega’_1|<\infty$を満たすものが存在して,$x\in\Omega’_1\times\Omega_2$が成り立つとき,

\begin{align*} \|v(x_1,\cdot)\|_{L^{p'_2}(\Omega_2)} >\|v\|_{X}-\epsilon \end{align*}

が成り立つ.このとき,$\theta_{x}:=\arg v(x)$とし,$w:\Omega_1\times\Omega_2\to\C$を

\begin{align*} w(x):=\frac{|v(x)|^{p'_2-1}}{|\Omega'_1| \|v(x_1,\cdot)\|_{L^{p'_2}(\Omega_2)}^{p'_2/p_2}} e^{-i\theta_{x}}I_{\Omega'_1\times\Omega_2}(x) \end{align*}

で定めると,

\begin{align*} &\int_{\Omega_1}\bra{\int_{\Omega_2}|w(x)|^{p_2}\,dx_2}^{1/p_2}\,dx_1 \\=&\frac{1}{|\Omega'_1|}\int_{\Omega'_1}\frac{1}{\|v(x_1,\cdot)\|_{L^{p'_2}(\Omega_2)}^{p'_2/p_2}} \bra{\int_{\Omega_2}|v(x_1,x_2)|^{p_2(p'_2-1)}\,dx_2}^{1/p_2}\,dx_1 \\=&\frac{1}{|\Omega'_1|}\int_{\Omega'_1}\frac{1}{\|v(x_1,\cdot)\|_{L^{p'_2}(\Omega_2)}^{p'_2/p_2}} \bra{\int_{\Omega_2}|v(x_1,x_2)|^{p'_2}\,dx_2}^{1/p_2}\,dx_1 \\=&\frac{1}{|\Omega'_1|}\int_{\Omega'_1}\,dx_1=1 \end{align*}

すなわち$\|w\|_{Y}=1$だから,

\begin{align*} &\sup_{\|u\|_{Y}=1}\abs{\int_{\Omega_1}\bra{\int_{\Omega_2}u(x)v(x)\,dx_2}\,dx_1} \\\ge&\abs{\int_{\Omega_1}\bra{\int_{\Omega_2}w(x)v(x)\,dx_2}\,dx_1} \\=&\abs{\frac{1}{|\Omega'_1|}\int_{\Omega'_1}\bra{\frac{1}{\|v(x_1,\cdot)\|_{L^{p'_2}(\Omega_2)}^{p'_2/p_2}} \int_{\Omega_2}|v(x_1,x_2)|^{p'_2-1}e^{-i\theta_{x}}v(x)\,dx_2}\,dx_1} \\=&\frac{1}{|\Omega'_1|}\int_{\Omega'_1}\bra{\frac{1}{\|v(x_1,\cdot)\|_{L^{p'_2}(\Omega_2)}^{p'_2/p_2}} \int_{\Omega_2}|v(x_1,x_2)|^{p'_2}\,dx_2}\,dx_1 \\=&\frac{1}{|\Omega'_1|}\int_{\Omega'_1}\|v(x_1,\cdot)\|_{L^{p'_2}(\Omega_2)}^{p'_2-\frac{p'_2}{p_2}}\,dx_1 =\frac{1}{|\Omega'_1|}\int_{\Omega'_1}\|v(x_1,\cdot)\|_{L^{p'_2}(\Omega_2)}\,dx_1 \\>&\frac{1}{|\Omega'_1|}\int_{\Omega'_1}(\|v\|_{X}-\epsilon)\,dx_1 =\|v\|_{X}-\epsilon \end{align*}

だから,$\sup\limits_{\|u\|_{Y}=1}\abs{\int_{\Omega_1}\bra{\int_{\Omega_2}u(x)v(x)\,dx_2}\,dx_1}\ge\|v\|_{X}$が従う.

Case.3

$p_1,p_2\in(1,\infty)$のとき,$p’_1,p’_2\in(1,\infty)$である.

$\theta_{x}:=\arg v(x)$とし,$w:\Omega_1\times\Omega_2\to\C$を

\begin{align*} w(x) :=\frac{|v(x)|^{p'_2-1}}{\|v\|_{X}^{p'_1/p_1} \|v(x_1,\cdot)\|_{L^{p'_2} (\Omega_2)}^{1-p'_1+p'_2/p_2}}e^{-i\theta_{x}} \end{align*}

で定めると,

\begin{align*} &\bra{\int_{\Omega_1}\abs{\int_{\Omega_2}|w(x)|^{p_2}\,dx_2}^{p_1/p_2}\,dx_1}^{1/p_2} \\=&\frac{1}{\|v\|_{X}^{p'_1/p_1}}\bra{\int_{\Omega'_1} \frac{1}{\|v(x_1,\cdot)\|_{L^{p'_2}(\Omega_2)}^{p_1(1-p'_1+p'_2/p_2)}} \bra{\int_{\Omega_2}|v(x)|^{p_2(p'_2-1)}\,dx_2}^{p_1/p_2}\,dx_1}^{1/p_1} \\=&\frac{1}{\|v\|_{X}^{p'_1/p_1}}\bra{\int_{\Omega'_1}\frac{1}{\|v(x_1,\cdot)\|_{L^{p'_2} (\Omega_2)}^{p_1(1-p'_1+p'_2/p_2)}} \bra{\int_{\Omega_2}|v(x)|^{p'_2}\,dx_2}^{p_1/p_2}\,dx_1}^{1/p_1} \\=&\frac{1}{\|v\|_{X}^{p'_1/p_1}} \bra{\int_{\Omega'_1}\|v(x_1,\cdot)\|_{L^{p'_2} (\Omega_2)}^{p_1(p'_1-1)}\,dx_1}^{1/p_1} \\=&\frac{1}{\|v\|_{X}^{p'_1/p_1}} \bra{\int_{\Omega'_1}\|v(x_1,\cdot)\|_{L^{p'_2} (\Omega_2)}^{p'_1}\,dx_1}^{1/p_1} =1 \end{align*}

すなわち$\|w\|_{Y}=1$だから,

\begin{align*} &\sup_{\|u\|_{Y}=1}\abs{\int_{\Omega_1}\bra{\int_{\Omega_2}u(x)v(x)\,dx_2}\,dx_1} \\\ge&\abs{\int_{\Omega_1}\bra{\int_{\Omega_2}w(x)v(x)\,dx_2}\,dx_1} \\=&\abs{\frac{1}{\|v\|_{X}^{p'_1/p_1}}\int_{\Omega_1} \bra{\frac{1}{\|v(x_1,\cdot)\|_{L^{p'_2}(\Omega_2)}^{1-p'_1+p'_2/p_2}} \int_{\Omega_2}|v(x)|^{p'_2-1}e^{-i\theta_{x}}v(x)\,dx_2}\,dx_1} \\=&\frac{1}{\|v\|_{X}^{p'_1/p_1}}\int_{\Omega_1} \bra{\frac{1}{\|v(x_1,\cdot)\|_{L^{p'_2}(\Omega_2)}^{1-p'_1+p'_2/p_2}} \int_{\Omega_2}|v(x)|^{p'_2}\,dx_2}\,dx_1 \\=&\frac{1}{\|v\|_{X}^{p'_1/p_1}}\int_{\Omega_1} \bra{\frac{1}{\|v(x_1,\cdot)\|_{L^{p'_2}(\Omega_2)}^{1-p'_1+p'_2/p_2}} \|v(x_1,\cdot)\|_{L^{p'_2}(\Omega_2)}^{p'_2}}\,dx_1 \\=&\frac{1}{\|v\|_{X}^{p'_1/p_1}}\int_{\Omega_1} \|v(x_1,\cdot)\|_{L^{p'_2}(\Omega_2)}^{p'_1-1+p'_2(1-1/p_2)}\,dx_1 \\=&\frac{1}{\|v\|_{X}^{p'_1/p_1}}\int_{\Omega_1} \|v(x_1,\cdot)\|_{L^{p'_2}(\Omega_2)}^{p'_1}\,dx_1 \\=&\frac{1}{\|v\|_{X}^{p'_1/p_1}}\|v\|_{X}^{p'_1} =\|v\|_{X}^{p'_1(1-1/p_1)} =\|v\|_{X} \end{align*}

が従う.

 [証明終]

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