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位相空間論一覧

距離空間の定義のイメージと具体例|ノルム空間との関係

大学数学において,「距離空間」は位相空間論で学ぶことになります.

大雑把に言えば,距離空間とは「2点間の離れ具合が数値で表される空間」のことであり,我々が中学・高校以来扱ってきた数直線,xy平面,xyz空間などは距離空間の1つです.

また,距離空間は位相空間の例としても重要で,良い位相的な性質をもちます.

この記事では,

  • 距離空間の定義のイメージ
  • 距離空間の具体例

を説明し,最後に距離空間に似たノルム空間との関係を説明します.

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バナッハの不動点定理|完備距離空間の縮小写像

写像f:X\to Xを施しても変化しない点x\in Xfの不動点という(f(x)=x).

不動点に関する定理は様々なものがあり,[Banach(バナッハ)の不動点定理]もその1つである.

[Banachの不動点定理]は完備距離空間X上の縮小写像に関する不動点定理であり,別名[縮小写像の定理]とも呼ばれている.

例えば,常微分方程式の解の存在と一意性を証明する方法としてPicard(ピカール)の逐次近似法(Picard–Lindelöfの定理)があるが,これは本質的に[Banachの不動点定理]である.

この記事では,[Banachの不動点定理]について説明したのち,この定理の証明を行う.

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位相空間上の連続写像を矛盾なく定義する方法

位相空間上の写像に連続性を定義することを考える.

距離空間における連続性は「\epsilon\delta論法」を用いて定義するのが普通である.

しかし,「\epsilon\delta論法」は距離を用いた定義のため,一般には距離が定義されていない位相空間にそのまま「\epsilon\delta論法」は適用できない.

そのため,位相空間での写像の連続性を定義する際には,距離空間での連続性の定義に矛盾しないように定義する必要がある.

そこで,もし距離空間での写像の連続性の定義を距離を用いない同値な条件に言い換えることができれば,その条件を位相空間上の写像の連続性の定義とすることができる.

この記事では,位相空間の定義,距離空間の定義から確認し,距離空間上の写像の連続性について考察する.

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