位相空間$X$に対して，集合$A\subset X$が「ひとまとまりになっていること」を表す概念として
- 連結
- 弧状連結
があり，それぞれ
- 連結は「集合$A$が２つの開集合によって分けられないこと」
- 弧状連結は「集合$A$内の任意の２点を$A$内の曲線で結べること」
として定義されます．
連結性も弧状連結性も「集合に離れた点がないこと」を表す概念ではありますが，実は「弧状連結$\Ra$連結」は成り立つものの逆は成り立ちません．つまり，連結性の方が少し広い性質となっています．
連結性については次の記事に回すとし，この記事では
- 弧状連結性の定義
- 弧状連結性な集合の具体例
を順に説明します．
この記事では$X$を位相空間としますが，位相空間をよく知らない方は２次元ユークリッド空間$\R^2$($xy$平面)と思って読み進めても内容は理解できます．
弧状連結の定義
弧状連結を定義するには連続曲線が必要なので，
- 連続曲線
- 弧状連結
を順に定義します．
連続曲線
直感的には連続曲線とは「ちぎれていない曲線」のことをいうのですが，数学的にきちんと定義するには次のようになります．
時刻$0$から時刻$1$まで集合$A$上を連続的に点が動く状況を考え，時刻$t$での$A$の位置を$f(t)$と表しましょう．
このことは，$f$が連続写像$[0,1]\to A$になっていると言い換えることができますね．
$[0,1]$は$0$以上$1$以下の実数全部の集合のことですね：$[0,1]=\set{x\in\R}{0\le x\le1}$．
このことから，次のように連続曲線を定義します．
集合$A\subset X$に対して，連続写像$f:[0,1]\to A$を$A$上の連続曲線や道という．
ただし，$[0,1]$は自然な位相（ユークリッド距離）をもつ$\R$の部分位相空間とする．
「曲線」というと直感的には幾何学的な線ですが，厳密にはこの定義のように写像のことをいうわけですね．
弧状連結
それでは弧状連結性を定義しましょう．
集合$A\subset X$が弧状連結であるとは，任意の$a,b\in A$に対して，$a,b$を結ぶ$A$上の連続曲線が存在すること（すなわち，$f(a)=0$, $f(b)=1$を満たす$A$上の連続曲線$f$が存在すること）をいう．
要は集合$A$に属する全ての２点を連続的な移動だけで行き来することができるときに，$A$を弧状連結というわけですね．
もし，下図のように「離れ小島」があれば，異なる「島」に１点ずつとれば連続曲線で結べませんから，弧状連結ではありませんね．
弧状連結な集合の具体例
例１で弧状連結な集合を，例２で弧状連結でない集合を扱います．
例１
$\R^2$は自然な位相空間（２次元ユークリッド空間）とする．$A\subset\R^2$を原点中心，半径$1$の円周とすると，$A$が弧状連結であることを示せ．
図から分かるように$A$上の任意の２点を結ぶ連続曲線は存在するので弧状連結です．
きちんと示すには，任意の$\m{a},\m{b}\in A$に対して，$f(0)=\m{a}$, $f(1)=\m{b}$を満たす連続曲線$f:[0,1]\to A$をとってくればいいですね．
任意に$\m{a},\m{b}\in A$をとる．
このとき，$\m{a}=\bmat{\cos{\theta}\\\sin{\theta}}$, $\m{b}=\bmat{\cos{\phi}\\\sin{\phi}}$ ($\theta,\phi\in[0,2\pi)$)と表せるから，写像$f:[0,1]\to \R^2$を
とすれば，$f$は連続で$f:[0,1]\to A$である．さらに$f(0)=\m{a}$, $f(1)=\m{b}$である．
よって，定義を満たすので$A$は弧状連結である．
例２
$\R^2$は自然な位相空間（２次元ユークリッド空間）とする．$A\subset\R^2$を
とすると，$A$が弧状連結でないことを示せ．
$A$は$x$軸から原点を除いた集合ですね．
このため，$A$は$x>0$の部分と$x<0$の部分が離れているので，弧状連結ではありませんね．
このことを示すには，連続曲線で繋ぐことのできない２点をとってくればいいですね．
背理法により示す．すなわち，$A$が弧状連結であると仮定して矛盾を導く．
この仮定より$\m{a}=\bmat{1\\0},\m{b}=\bmat{-1\\0}\in A$に対して，$\m{a}$, $\m{b}$を結ぶ$A$上の連続曲線$f$が存在する．
このとき，$f$の第１成分は連続だから，中間値の定理より，ある$t\in[0,1]$が存在して$f(t)=\bmat{0\\0}$となる．
しかし，$\bmat{0\\0}\notin A$だから$f$が$A$上の曲線であることに矛盾する．
よって仮定は誤りなので，$A$は弧状連結でない．
参考文献
集合・位相入門
[松坂和夫 著/岩波書店]
本書は「集合論」「位相空間論」をこれから学ぶ人のための入門書です．
説明が丁寧で行間が少ないのは初学者にありがたいところですね．
実際，本書は1968年に発刊されて以来売れ続けている超ロングセラーで，2018年に新装版が発売されたことからも現在でも教科書として広く使われていることが分かります．
具体例が多く扱われているのも特徴で，新しい概念のイメージも掴みやすいように書かれています．
また，各セクションの終わりに少なくない数の演習問題も載っており，演習書的な使い方もできます．
なお，本書については，以下の記事で書評としてまとめています．
【オススメの教科書｜集合・位相入門(松坂和夫著，岩波書店)】
本書の目次・必要な知識・良い点と気になる点・オススメの使い方などをレビューしています．
集合と位相
[鎌田正良 著/近代科学社(現代数学ゼミナール)]
本書はすっきりと書かれた「集合論」「位相空間論」の教科書です．
簡潔な説明が多いので，集合と位相の基本の全体像をさらうのに適しています．
裏返せば簡潔すぎてかえって分かりにくい可能性もありますが，数学をきちんと学びたい人には是非読みこなして欲しいテキストです．
また，演習問題の解説も丁寧に書かれているので，この点は独学で学ぶ場合には重宝します．
背景にある位相の圏論的な性質も踏まえて解説されており，数学系の学生は是非とも理解しておきたい考え方です．
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