位相空間$X$に対して，集合$A\subset X$が「ひとまとまりになっていること」を表す概念として
- 連結
- 弧状連結
があります．これらは大雑把には
- 連結は「集合$A$が２つの開集合によって分けられること」
- 弧状連結は「集合$A$内の任意の２点を$A$内の曲線で結べること」
として定義されます．
連結も弧状連結も「集合に離れた点がないこと」を表す概念ではありますが，実は「弧状連結$\Ra$連結」は成り立つものの逆は成り立ちません．つまり，連結の方が少し広い性質となっています．
連結については次の記事(準備中)に回すとし，この記事では
- 弧状連結の定義
- 弧状連結な集合の具体例
を説明します．
この記事では$X$を位相空間としますが，位相空間をよく知らない方は２次元ユークリッド空間$\R^2$($xy$平面)と思って読み進めても内容は理解できます．
解説動画
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「【連結・弧状連結】「集合がひとまとまり」ってどう考える？」(10分50秒)
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弧状連結の定義
弧状連結を定義するには連続曲線が必要なので，
- 連続曲線
- 弧状連結
を順に定義します．
連続曲線
直感的には連続曲線とは「ちぎれていない曲線」のことをいうのですが，数学的にきちんと定義するには次のようになります．
時刻０から時刻１まで集合$A$上を連続的に点が動く状況を考え，時刻$t$での$A$の位置を$f(t)$と表しましょう．
このとき，$f$に任意に$t\in[0,1]$を与えると$A$の元を返してくるので，$f$は連続写像$[0,1]\to A$となっていますね．
$[0,1]$は０以上１以下の実数の集合のことですね：$[0,1]=\set{x\in\R}{0\le x\le1}$．
逆に，先に連続写像$f:[0,1]\to A$を考えて$f(t)$を時刻$t$での点の位置と思えば，$f$は$A$上の曲線を描くと考えてよいですね．
このことから，次のように連続曲線を定義します．
集合$A\subset X$に対して，連続写像$f:[0,1]\to A$を$A$上の連続曲線という．
「曲線」というと幾何学的な「線」をイメージしますが，厳密には上の定義のように写像のことを「曲線」といいます．
弧状連結
[弧状連結] 集合$A\subset X$が弧状連結であるとは，任意の$a,b\in A$に対して，$a,b$を結ぶ$A$上の連続曲線が存在することをいう．
定義にある「$a,b$を結ぶ$A$上の連続曲線」とは「$f(a)=0$, $f(b)=1$を満たす$A$上の連続曲線」のことですね．
要は集合$A$に属する全ての２点を連続的な移動だけで行き来することができるときに，$A$を弧状連結というわけですね．
もし，下図のように「離れ小島」があれば，異なる「島」に１点ずつとれば連続曲線で結べませんから，弧状連結ではありませんね．
弧状連結な集合の具体例
例１で弧状連結な集合を，例２で弧状連結でない集合を扱います．
例１
$\R^2$は通常の開集合が定められた位相空間とする．$A\subset\R^2$を原点中心，半径１の円周とすると，$A$が弧状連結であることを示せ．
図から分かるように$A$上の任意の２点を結ぶ連続曲線は存在するので弧状連結です．
きちんと示すには，任意の$\m{a},\m{b}\in A$に対して，$f(0)=\m{a}$, $f(1)=\m{b}$を満たす連続曲線$f:[0,1]\to A$をとってくればいいですね．
任意に$\m{a},\m{b}\in A$をとる．
$\m{a}=\bmat{\cos{\theta}\\\sin{\theta}}$, $\m{b}=\bmat{\cos{\phi}\\\sin{\phi}}$ ($\theta,\phi\in[0,2\pi)$)と表せる．
写像$f:[0,1]\to \R^2$を
とすれば，$f$は連続で$f:[0,1]\to A$である．さらに$f(0)=\m{a}$, $f(1)=\m{b}$である．
よって，定義を満たすので$A$は弧状連結である．
例２
$\R^2$は通常の開集合が定められた位相空間とする．$A\subset\R^2$を
とすると，$A$が弧状連結でないことを示せ．
$A$は$x$軸から原点を除いた集合ですね．
このため，$A$は$x>0$の部分と$x<0$の部分が離れているので，弧状連結ではありませんね．
背理法により示す．すなわち，$A$が弧状連結であると仮定して矛盾を導く．
この仮定より$\m{a}=\bmat{1\\0},\m{b}=\bmat{-1\\0}\in A$に対して，$\m{a}$, $\m{b}$を結ぶ$A$上の連続曲線$f$が存在する．
このとき，$f$の第１成分は連続だから，中間値の定理よりある$t\in[0,1]$が存在して$f(t)=\bmat{0\\0}$となるが，$\bmat{0\\0}\notin A$だから$f$が$A$上の曲線であることに矛盾する．
よって仮定は誤りなので，$A$は弧状連結でない．