連結性1|集合が「弧状連結」であることの定義と具体例

位相空間$X$に対して,集合$A\subset X$が「ひとまとまりになっていること」を表す概念として

  • 連結
  • 弧状連結

があります.これらは大雑把には

  • 連結は「集合$A$が2つの開集合によって分けられること」
  • 弧状連結は「集合$A$内の任意の2点を$A$内の曲線で結べること」

として定義されます.

連結も弧状連結も「集合に離れた点がないこと」を表す概念ではありますが,実は「弧状連結$\Ra$連結」は成り立つものの逆は成り立ちません.つまり,連結の方が少し広い性質となっています.

連結については次の記事(準備中)に回すとし,この記事では

  • 弧状連結の定義
  • 弧状連結な集合の具体例

を説明します.

この記事では$X$を位相空間としますが,位相空間をよく知らない方は2次元ユークリッド空間$\R^2$($xy$平面)と思って読み進めても内容は理解できます.

解説動画

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「【連結・弧状連結】「集合がひとまとまり」ってどう考える?」(10分50秒)

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弧状連結の定義

弧状連結を定義するには連続曲線が必要なので,

  1. 連続曲線
  2. 弧状連結

を順に定義します.

連続曲線

直感的には連続曲線とは「ちぎれていない曲線」のことをいうのですが,数学的にきちんと定義するには次のようになります.

時刻0から時刻1まで集合$A$上を連続的に点が動く状況を考え,時刻$t$での$A$の位置を$f(t)$と表しましょう.

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このとき,$f$に任意に$t\in[0,1]$を与えると$A$の元を返してくるので,$f$は連続写像$[0,1]\to A$となっていますね.

$[0,1]$は0以上1以下の実数の集合のことですね:$[0,1]=\set{x\in\R}{0\le x\le1}$.

逆に,先に連続写像$f:[0,1]\to A$を考えて$f(t)$を時刻$t$での点の位置と思えば,$f$は$A$上の曲線を描くと考えてよいですね.

このことから,次のように連続曲線を定義します.

集合$A\subset X$に対して,連続写像$f:[0,1]\to A$を$A$上の連続曲線という.

「曲線」というと幾何学的な「線」をイメージしますが,厳密には上の定義のように写像のことを「曲線」といいます.

弧状連結

[弧状連結] 集合$A\subset X$が弧状連結であるとは,任意の$a,b\in A$に対して,$a,b$を結ぶ$A$上の連続曲線が存在することをいう.

定義にある「$a,b$を結ぶ$A$上の連続曲線」とは「$f(a)=0$, $f(b)=1$を満たす$A$上の連続曲線」のことですね.

要は集合$A$に属する全ての2点を連続的な移動だけで行き来することができるときに,$A$を弧状連結というわけですね.

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もし,下図のように「離れ小島」があれば,異なる「島」に1点ずつとれば連続曲線で結べませんから,弧状連結ではありませんね.

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弧状連結な集合の具体例

例1で弧状連結な集合を,例2で弧状連結でない集合を扱います.

例1

$\R^2$は通常の開集合が定められた位相空間とする.$A\subset\R^2$を原点中心,半径1の円周とすると,$A$が弧状連結であることを示せ.

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図から分かるように$A$上の任意の2点を結ぶ連続曲線は存在するので弧状連結です.

きちんと示すには,任意の$\m{a},\m{b}\in A$に対して,$f(0)=\m{a}$, $f(1)=\m{b}$を満たす連続曲線$f:[0,1]\to A$をとってくればいいですね.


任意に$\m{a},\m{b}\in A$をとる.

$\m{a}=\bmat{\cos{\theta}\\\sin{\theta}}$, $\m{b}=\bmat{\cos{\phi}\\\sin{\phi}}$ ($\theta,\phi\in[0,2\pi)$)と表せる.

写像$f:[0,1]\to \R^2$を

\begin{align*} f(t)=\bmat{\cos{((1-t)\theta+t\phi)}\\\sin{((1-t)\theta+t\phi)}} \end{align*}

とすれば,$f$は連続で$f:[0,1]\to A$である.さらに$f(0)=\m{a}$, $f(1)=\m{b}$である.

よって,定義を満たすので$A$は弧状連結である.

例2

$\R^2$は通常の開集合が定められた位相空間とする.$A\subset\R^2$を

\begin{align*} A=\set{\bmat{x\\0}\in\R^2}{x\neq0} \end{align*}

とすると,$A$が弧状連結でないことを示せ.

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$A$は$x$軸から原点を除いた集合ですね.

このため,$A$は$x>0$の部分と$x<0$の部分が離れているので,弧状連結ではありませんね.


背理法により示す.すなわち,$A$が弧状連結であると仮定して矛盾を導く.

この仮定より$\m{a}=\bmat{1\\0},\m{b}=\bmat{-1\\0}\in A$に対して,$\m{a}$, $\m{b}$を結ぶ$A$上の連続曲線$f$が存在する.

このとき,$f$の第1成分は連続だから,中間値の定理よりある$t\in[0,1]$が存在して$f(t)=\bmat{0\\0}$となるが,$\bmat{0\\0}\notin A$だから$f$が$A$上の曲線であることに矛盾する.

よって仮定は誤りなので,$A$は弧状連結でない.

最後までありがとうございました!

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