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商集合の考え方と具体例|同値関係はただのグループ分け

集合論には二項関係という概念がありますが,二項関係の中でもある性質を満たすものを同値関係といいます.

最初に「同値関係」と聞くと語感からキツい印象を受けてしまいますが,実際にはただの「グループ分け」の考え方を数学的に定式化したものにほかなりません.

とはいえ,同値関係は数学の様々な分野に現れる概念であり,縁の下の力持ちともいえます.例えば

  • 代数学では剰余群G/N
  • 幾何学では射影空間\K P_n
  • 解析学ではLebesgue(ルベーグ)空間L^p(\R^n)

などは商集合の一種で,定義には同値関係が必要です.

この記事では,同値関係の基本的な考え方と,同値関係の具体例を考えます.

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同値関係

ここでは

  • 二項関係
  • 同値関係

を説明します.

二項関係

まずは二項関係の定義です.

集合Xに対して,G\subset X\times Xとする.このとき,組R:=(X,G)X上の二項関係 (binary relation)または単に関係 (relation)という.また,(a,b)\in GのときaRbなどと表し,a, bは関係\simをもつという.

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逆に,(a,b)\in Xがある条件をみたすときa\hat{R}bで表し,

\begin{align*} G:=\set{(a,b)\in X\times X}{a\hat{R}b},\quad R:=(X,G) \end{align*}

とすればaRb=a\hat{R}bとなります.つまり,

  • G\subset X\times Xを定めること
  • (a,b)\in X\times Xがみたす条件aRbを定めること

はどちらも二項関係を定めていることになるわけですね.

例1

\R上の二項関係R

\begin{align*} aRb \stackrel{\mrm{def.}}{\iff} a<b \end{align*}

で定めると,R:=(\R,G)で定まるG\subset\R\times\R

\begin{align*} G:=\set{(a,b)\in\R\times\R}{a<b} \end{align*}

となります.

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例2

\R上の二項関係R

\begin{align*} aRb \stackrel{\mrm{def.}}{\iff} a=b \end{align*}

で定めると,R:=(\R,G)で定まるG\subset\R\times\R

\begin{align*} G:=\set{(a,b)\in\R\times\R}{a=b} \end{align*}

となります.

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例3

[0,1]上の二項関係R

\begin{align*} aRb \stackrel{\mrm{def.}}{\iff} a=b\ \text{or}\ (a,b)=(0,1),(1,0) \end{align*}

で定めると,R:=([0,1],G)で定まるG\subset[0,1]\times[0,1]

\begin{align*} G:=\set{(a,b)\in[0,1]\times[0,1]}{a=b\ \text{or}\ (a,b)=(0,1),(1,0)} \end{align*}

となります.

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同値関係

次に同値関係を説明します.

集合X上の二項関係Rが次の3条件をみたすとき,R同値関係 (equivalence relation)という.

  1. 反射性:任意のa\in Xに対して,aRaが成り立つ.
  2. 対称性:任意のa,b\in XaRbを満たせば,bRaが成り立つ.
  3. 推移性:任意のa,b,c\in XaRbかつbRcを満たせば,aRcが成り立つ.

同値関係はRよりも\simなどの記号で表すことが普通なので,ここから同値関係は\simで表します.

さて,これらの3条件を平たくいえば,

  • 全てのa\in Xは自身と関係を持ち
  • 関係\simにあるXの元は互いに行き来することができ
  • 別の元を経由して辿り着けるものとも関係をもつ

というわけですね.

このことから,同値関係\simで繋がっている元たちは1つの「グループ」を作っていることになります.

言い換えれば,同値関係\simで繋がっていない元たちはどう頑張っても\simでは行き来できないわけですね.

先ほどの例では,例2と例3の関係Rは同値関係です.

この「グループ」を数学では次のように定義します.

集合X上の同値関係\simに対して,Xの部分集合族

\begin{align*} \mathfrak{M}:=\set{M\subset X}{\begin{gathered}\all a,b\in M\ a\sim b,\\\all a\in M_1\ \all b\in M_2\ a\nsim b\end{gathered}} \end{align*}

X\simによる商集合 (quotient set)といいX/\simと表す.また,M\in\mathfrak{M}のそれぞれを同値類 (equivalence class)という.

なお,x\in Xが属する同値類を[x]と表すことがよくあります.

商集合の2つの条件については,

  • \all a,b\in M\quad a\sim bは「同値類に属する元たちは全て関係をもつ」
  • \all a\in M_1 \all b\in M_2\quad a\nsim bは「異なる同値類に属する元は関係を持たない」

ということですね.

このように,集合X上に同値関係\simが定まっていると自然に\simによりグループ分けされた部分集合族\mathfrak{M}が定まり,この\mathfrak{M}を商集合X/\simというわけですね.

また,\mathfrak{M}=X/\simは「同値関係\simで繋がったXの元の全てを同一視したもの」とも言い換えることができますね.

具体例

ここでは具体的に冒頭に挙げた

  • 代数学では剰余群G/N
  • 幾何学では射影空間\K P_n
  • 解析学ではLebesgue空間L^p(\R^n)

を紹介します.

剰余群

剰余群G/Nは次のように定義されます.

Gとその正規部分群Nを考える.このとき,G上の同値関係

\begin{align*} g\sim h\stackrel{\mrm{def.}}{\iff}g^{-1}h\in N \end{align*}

による商集合G/\simG/Nと表す.さらに,g\in Gが属するG/Nの同値類をgNで表し,g_1N,g_2N\in G/Nの積を

\begin{align*} (g_1N)(g_2N)=(g_1g_2)N \end{align*}

で定めると,G/Nは群となる.この群G/N剰余群 (quotient group)という.

この関係\simが同値関係となっていること,すなわち同値関係の定義の

  • 反射性
  • 対称性
  • 推移性

を証明しましょう.

[反射性] 任意のg\in Gに対して

\begin{align*} g^{-1}g=1_{G}=1_{N}\in N \end{align*}

なので,g\sim gが成り立つ.ただし,1_{G}, 1_{N}はそれぞれG, Nの単位元である.

[対称性] 任意のg,h\in Gに対して,g\sim hが成り立つとする.このとき,g^{-1}h\in Nなので

\begin{align*} h^{-1}g=(g^{-1}h)^{-1}\in N \end{align*}

が成り立つ.よって,h\sim gが成り立つ.

[推移性] 任意のg,h,i\in Gに対して,g\sim hかつh\sim iが成り立つとする.このとき,g^{-1}h, h^{-1}i\in Nなので

\begin{align*} g^{-1}i=g^{-1}(h^{-1}h)i=(g^{-1}h)(h^{-1}i)\in N \end{align*}

が成り立つ.よって,g\sim iが成り立つ.

なお,剰余群の定義の詳しい考え方はwell-defined性の考え方とともに以下の記事で詳しく説明しています.

射影空間

射影空間\K P_nは次のように定義されます.

正の整数nと位相体\Kに対して,\K^{n+1}\setminus{0}上の同値関係

\begin{align*} \m{a}\sim\m{b} \stackrel{\mrm{def.}}{\iff} \exi t\in\K\ \mrm{s.t.}\ t\m{a}=\m{b} \end{align*}

による商集合\K^{n+1}\setminus\{0\}/\sim\K P_nと表す.さらに,\bmat{a_1\\\vdots\\a_n}\in\K^{n+1}\setminus{0}が属する\K P_nの同値類を[a_1:\dots:a_n]で表し,自然な写像

\begin{align*} \K^{n+1}\setminus\{0\}\to\K P_n;\bmat{a_1\\\vdots\\a_n}\longmapsto[a_1:\dots:a_n] \end{align*}

が連続になる最小の位相により\K P_nは自然に位相空間となる.この位相空間\K P_n射影空間 (projective space)という.

位相体Kは例えばK=R,Cのことで,

  • \R P_nを実射影空間
  • \C P_nを複素射影空間

といいます.

\m{a},\m{b}\in\K^{n+1}\setminus\{0\}t\m{a}=\m{b}となるt\in\Kをもつためには,\m{a}, \m{b}\K^{n+1}の原点を通る同一直線上に存在することが必要十分です.

よって,射影空間\K P_n\K^{n+1}\setminus{0}の原点を通る直線上の零ベクトルでないベクトルを同一視したものと言えますね.

射影空間\K P_nの定義で考えたように,一般に以下のように定義します.

位相空間X上の同値関係\simに対して,自然な写像

\begin{align*} X\to X/\sim;x\longmapsto[x] \end{align*}

が連続になるX/\simの最小の位相を商位相 (quotient topology)といい,商位相が定まったX/\sim商空間 (quotient topological space)という.

よって,位相空間\K P_nは「\K^{n+1}の同値関係\simによる商空間」と表現することができますね.

Lebesgue空間

Lebesgue(ルベーグ)空間L^p(\R^n)は次のように定義されます.

\muをLebesgue測度,p\ge1とする.\R^n上の実数値関数でp乗Lebesgue可積分な関数の空間

\begin{align*} \mathcal{L}^p(\R^n):=\set{f:\R^n\to\R}{\int_{\R^n}|f(x)|^p\,dx<infty} \end{align*}

に対して,\mathcal{L}^p(\R^n)上の同値関係

\begin{align*} f\sim g \stackrel{\mrm{def.}}{\iff} \mu(\set{x\in\R^n}{f(x)\neq g(x)})=0 \end{align*}

による商集合\mathcal{L}^p(\R^n)/\simL^p(\R^n)と表す.さらに,L^p(\R^n)に和と\R倍を

  • 和:[f]+[g]=[f+g]
  • \R倍:\alpha[f]=[\alpha f]

を定めるとL^p(\R^n)は線形空間となり,ノルムを

\begin{align*} \|[f]\|_{p}:=\bra{\int_{\R^n}|f(x)|^p\,dx}^{1/p} \end{align*}

で定めることによりL^p(R^n)はBanach(バナッハ)空間となる.このBanach空間L^p(\R^n)Lebesgue空間という.

\mu(\set{x\in\R^n}{f(x)\neq g(x)})=0は「f(x)g(x)が異なるようなx\in\R^nのLebesgue測度\muによる長さ(測度)が0である」ということですね.

このことは「fgはほとんど至るところで等しい」とも表現できるのでした.

なお,f,g\in\mathcal{L}^{p}(\R^n)がほとんど至るところで等しければ積分の値も変わりませんから,[f]\in L^p(\R^n)のことを普通の関数のように単にfと表します.

また,上の定義の和と\R倍で線形空間になることは簡単ですが,ノルム\|\cdot\|_{p}によりBanach空間となることを示すのは少々大変(であり,本筋とはかなり違う)なのでここでは説明しません.

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