フレシェ空間とは?|セミノルムから距離空間を定義する方法

位相空間論
位相空間論

以下の3つの性質を満たす実(または複素)線形空間$V$上の関数$\|\cdot\|:V\to\R$を$V$上のノルムというのでした:

  1. 非退化性:$\|\m{v}\|=0\Ra\ \m{v}=0$ ($\m{v}\in V$)
  2. 斉次性:$\|\alpha \m{v}\|=|\alpha|\|\m{v}\|$ ($\alpha\in\R\ \mrm{or}\ \C)$, $\m{v}\in V$)
  3. 劣加法性:$\|\m{u}+\m{v}\|\le \|\m{u}\|+\|\m{v}\|$ ($\m{u},\m{v}\in V$)

また,ノルムを備えた線形空間$(V,\|\cdot\|)$をノルム空間といい,ノルム空間は自然に距離空間とみなすことができるのでした.

さて,ノルムの性質のうち非退化性を満たさない関数$V\to\R$をセミノルムといいます.

セミノルムを1つ用意するだけではベクトル空間は距離空間とみなすことはできませんが,適当なセミノルムを用意することによりベクトル空間を距離空間とみなすことができ,この距離空間が完備であるときこの空間をFréchet(フレシェ)空間といいます.

この記事では,

    • 適当な性質を持つセミノルムの族により線形空間は距離空間とみなせること
    • Fréchet空間の定義と具体例

を説明します.

なお,この記事では一般論は複素線形空間で考えますが,実線形空間に対してもFréchet空間は同様に定義できます.

距離空間の定義のイメージと具体例|ノルム空間との関係
「距離空間」は位相空間よりはとっつきやすいものの,それでも少々抽象的に感じる初学者も少なくないようです.この記事では,距離空間の定義の3条件のイメージ,距離空間の具体例を説明します.最後に,距離空間に似た「ノルム空間」との関係も説明します.

セミノルムの定義と基本性質

まずは

  • セミノルムの定義と基本性質
  • セミノルムとノルム
  • セミノルムによる距離

について説明します.

セミノルムの定義

セミノルムの定義は以下の通りです.

複素線形空間$V$に対して,関数$\|\cdot\|:V\to\R$がセミノルム (半ノルム,semi-norm)であるとは以下を満たすことをいう.

  1. 斉次性:$\|\alpha \m{v}\|=|\alpha|\|\m{v}\|$ ($\alpha\in\C$, $\m{v}\in V$)
  2. 劣加法性:$\|\m{u}+\m{v}\|\le \|\m{u}\|+\|\m{v}\|$ ($\m{u},\m{v}\in V$)

ノルムはこれらの条件を満たすのでセミノルムの1つです.

例えば,$V=\R^2$のとき,$\m{x}=\bmat{a\\b}\in V$に対して

   \begin{align*}\|\m{x}\|:=|a-b|\end{align*}

で定まる関数$\|\cdot\|:V\to\R$はノルムではないセミノルムとなります.

セミノルムの以下の性質は基本的です.

複素線形空間$V$上のセミノルム$\|\cdot\|$は以下を満たす.

  1. $\|\m{0}\|=0$
  2. $\big|\|\m{v}\|-\|\m{u}\|\big|\le\|\m{v}-\m{u}\|$ ($\m{v},\m{u}\in V$)
  3. 非負値性:$\|\m{v}\|\ge0$ ($\m{v}\in V$)

(1) 斉次性より

   \begin{align*}\|\m{0}\|=\|0\m{0}\|=|0|\|\m{0}\|=0\end{align*}

が成り立つ.

(2) 任意の$\m{v},\m{u}\in V$に対して,劣加法性より

   \begin{align*}\|\m{v}\|-\|\m{u}\|=&\|(\m{v}-\m{u})+\m{u}\|-\|\m{u}\| \\\le&\|\m{v}-\m{u}\|+\|\m{u}\|-\|\m{u}\| =\|\m{v}-\m{u}\|\end{align*}

が成り立つ.同様に$\|\m{u}\|-\|\m{v}\|=\|\m{v}-\m{u}\|$が成り立つから,

   \begin{align*}\big|\|\m{v}\|-\|\m{u}\|\big|\le\|\m{v}-\m{u}\|\end{align*}

を得る.

(3) 任意の$\m{v}\in V$に対して,(2)より

   \begin{align*}0\le\big|\|\m{v}\|-\|\m{0}\|\big|\le\|\m{v}-\m{0}\|=\|\m{v}\|\end{align*}

が成り立つ.

セミノルムの基本性質

例えば,$K=\{1,\dots,n\}$のときの[条件A]を満たす族$\{\|\cdot\|_k\}_{k\in K}$に対しては,以下のようにすれば$V$上のノルムを定義することができます.

複素線形空間$V$上に定められた有限個のセミノルムの族$\{\|\cdot\|_k\}_{k=1}^{n}$を考え

   \begin{align*}\|\m{v}\|:=\sum_{k=1}^{n}\|\m{v}\|_k\end{align*}

で関数$\|\cdot\|:V\to\R$を定める.

   \begin{align*}\brc{\all k\in\{1,\dots,n\}\quad\|\m{v}\|_k=0}\Ra\m{v}=\m{0}\end{align*}

を満たすなら,$\|\cdot\|$はノルムとなる.

$\|\cdot\|$の非退化性,斉次性,劣加法性を示せばよい.

[非退化性] セミノルムの性質より,任意の$k\in S$に対して$\|\m{0}\|_k=0$なので

   \begin{align*}\|\m{0}\|=\sum_{k=1}^{n}\|\m{0}\|_k=\sum_{k=1}^{n}0=0\end{align*}

が成り立つ.

逆に,$\m{v}\in V$が$\|\m{v}\|=0$をみたすとき,セミノルムの非負値性と併せて,任意の$k\in S$に対して$\|\m{v}\|_k=0$が成り立つから,セミノルムの仮定より$\m{v}=\m{0}$が成り立つ.

[斉次性] 任意の$\alpha\in\C$, $\m{v}\in V$に対して,セミノルムの斉次性と$\sum$の線形性より

   \begin{align*}\|\alpha \m{v}\|=&\sum_{k=1}^{n}\|\alpha \m{v}\|_k=\sum_{k=1}^{n}|\alpha|\|\m{v}\|_k \\=&|\alpha|\sum_{k=1}^{n}\|\m{v}\|_k=|\alpha||\m{v}\|\end{align*}

が成り立つ.

[劣加法性] 任意の$\m{v},\m{u}\in V$に対して,セミノルムの劣加法性と$\sum$の線形性より

   \begin{align*}\|\m{v}+\m{u}\|=&\sum_{k=1}^{n}\|\m{v}+\m{u}\|_k=\sum_{k=1}^{n}(\|\m{v}\|_k+\|\m{u}\|_k) \\=&\sum_{k=1}^{n}\|\m{v}\|_k+\sum_{k=1}^{n}\|\m{u}\|_k=\|\m{v}\|+\|\m{u}\|\end{align*}

が成り立つ.

なお,$K=\N$の場合(セミノルムが可算無限個ある場合)には

   \begin{align*}\sum_{k}\|\m{v}\|_k=\infty\end{align*}

となることがあるため,無条件にはセミノルムの和でノルムとはなりません.

セミノルムによる距離と位相

1つのセミノルムでは非退化性を満たすとは限らないので,協力して非退化性を満たすようなセミノルムの族を考えましょう.

ここで,以降で重要になる次の[条件A]を定めておきましょう.

[条件A] $K=\N$または$K=\{1,\dots,n\}$とする.複素線形空間$V$上のセミノルムの族$\{\|\cdot\|_k\}_{k\in K}$は

   \begin{align*}\brc{\all k\in K\quad \|\m{v}\|_k=0}\Ra \m{v}=\m{0}\end{align*}

を満たす.

[条件A]を満たすセミノルムの族から,以下のように線形空間は距離空間となります.

[セミノルムから定まる距離] [条件A]を満たすセミノルムの族$\{\|\cdot\|_k\}_{k=1}^{\infty}$が定まった複素線形空間$V$に対して

   \begin{align*}d(\m{u},\m{v})=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\|\m{u}-\m{v}\|_k}{2^k(1+\|\m{u}-\m{v}\|_k)}\end{align*}

で定まる関数$d:V\times V\to\R$は$V$上の距離である.

$d$の非退化性,対称性,劣加法性を示せばよい.

[非退化性] 任意の$\m{v}\in V$に対して

   \begin{align*}d(\m{v},\m{v})=&\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\|\m{v}-\m{v}\|_k}{2^k(1+\|\m{v}-\m{v}\|_k)} \\=&\sum_{k=1}^{\infty}\frac{0}{2^k(1+0)}=0\end{align*}

が成り立つ.

一方,$d(\m{u},\m{v})=0$であるとすると,任意の$k\in\{1,2,\dots\}$に対して,$\frac{\|\m{u}-\m{v}\|_k}{2^k(1+\|\m{u}-\m{u}\|_k)}$が非負値であることと併せて,

   \begin{align*}\|\m{u}-\m{v}\|_k=0\end{align*}

が成り立つ.よって,[条件A]より$\m{u}=\m{v}$が成り立つ.

[対称性] 任意の$k\in\{1,2,\dots\}$に対して,セミノルムの斉次性より

   \begin{align*}\|\m{u}-\m{v}\|_k=\|(-1)(\m{v}-\m{u})\|_k=\|\m{v}-\m{u}\|_k\end{align*}

が成り立つから,

   \begin{align*}d(\m{u},\m{v})=&\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\|\m{u}-\m{v}\|_k}{2^k(1+\|\m{u}-\m{v}\|_k)} \\=&\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\|\m{u}-\m{v}\|_k}{2^k(1+\|\m{u}-\m{v}\|_k)} =d(\m{v},\m{u})\end{align*}

[劣加法性] 任意の$k\in\{1,2,\dots\}$と任意の$\m{u},\m{v},\m{w}\in V$に対して,

   \begin{align*}\|\m{u}-\m{v}\|_k\le&\|\m{u}-\m{w}\|_k+\|\m{w}-\m{v}\|_k \\\le&\|\m{u}-\m{w}\|_k+\|\m{w}-\m{v}\|_k+\|\m{u}-\m{w}\|_k\|\m{w}-\m{v}\|_k\end{align*}

が成り立つことと,関数$\R_{\ge0}\to\R_{\ge0};x\mapsto\frac{x}{1+x}\bra{=1-\frac{1}{1+x}}$が単調増加であることを併せて,任意の$k\in\{1,2,\dots\}$に対して

   \begin{align*}&\frac{\|\m{u}-\m{w}\|_k}{1+\|\m{u}-\m{w}\|_k}+\frac{\|\m{w}-\m{v}\|_k}{1+\|\m{w}-\m{v}\|_k} \\=&\frac{\|\m{u}-\m{w}\|_k+\|\m{w}-\m{v}\|_k+2\|\m{u}-\m{w}\|_k\|\m{w}-\m{v}\|_k}{1+\|\m{u}-\m{w}\|_k+\|\m{w}-\m{v}\|_k+\|\m{u}-\m{w}\|_k\|\m{w}-\m{v}\|_k} \\\ge&\frac{\|\m{u}-\m{w}\|_k+\|\m{w}-\m{v}\|_k+\|\m{u}-\m{w}\|_k\|\m{w}-\m{v}\|_k}{1+\|\m{u}-\m{w}\|_k+\|\m{w}-\m{v}\|_k+\|\m{u}-\m{w}\|_k\|\m{w}-\m{v}\|_k} \\\ge&\frac{\|\m{u}-\m{v}\|_k}{1+\|\m{u}-\m{v}\|_k}\end{align*}

だから,これらの和をとって$d(\m{u},\m{w})+d(\m{w},\m{v})\ge d(\m{u},\m{v})$が従う.

これで,線形空間$V$上の[条件A]を満たすセミノルムの族によって,$V$を距離空間とみなせることが分かりました.

セミノルムによる位相

距離空間$(V,d)$に対しては,集合族$\mathcal{O}$を

   \begin{align*}\mathcal{O}:=\set{O\subset V}{\all\m{v}\in O\ \exi\epsilon>0\ s.t.\ B_{\epsilon}(\m{v})\subset O}\end{align*}

で定めると,$(V,\mathcal{O})$は位相空間となるのでした.ここに,$B_{\epsilon}(\m{v})$は$\m{v}\in V$の$\epsilon$近傍です:

   \begin{align*}B_\epsilon(\m{v}):=\set{\m{x}\in V}{d(\m{v},\m{x})<\epsilon}\end{align*}

同様に,セミノルムによる位相を以下のように定めることができます.

[セミノルムによる位相] [条件A]を満たすセミノルムの族$\{\|\cdot\|_k\}_{k\in K}$が定まった複素線形空間$V$に対して,$V$の部分集合族$\mathcal{O}$を

   \begin{align*}\mathcal{O}:=\set{O\subset V}{\all k\in K\ \all\m{v}\in O\ \exi\epsilon>0\ s.t.\ B_{k,\epsilon}(\m{v})\subset O}\end{align*}

で定めると,$(V,\mathcal{O})$は位相空間となる.ここに,$B_{k,\epsilon}(\m{v})$は

   \begin{align*}B_{k,\epsilon}(\m{v}):=\set{\m{x}\in V}{\|\m{v}-\m{x}\|_k<\epsilon}\end{align*}

である.

[1] 明らかに$\emptyset,V\in\mathcal{B}$は成り立つ.

[2] 任意に$O_1,\dots,O_n\in\mathcal{O}$をとり,$O_{*}:=\bigcap\limits_{m=1}^{n}O_m$とし,$O_{*}\in\mathcal{O}$を示す.

任意に$k\in K$と$\m{v}\in O_{*}$をとる.

このとき,$O_{*}$の定義から任意の$m\in\{1,\dots,n\}$に対して$\m{v}\in O_m$なので,$O_m$の定義から$\epsilon_m>0$が存在して$B_{k,\epsilon_m}(\m{v})\subset O_m$をみたす.

よって,$\epsilon_{*}:=\min_{m\in\{1,\dots,n\}}\epsilon_m$とすると,$B_{k,\epsilon_{*}}(\m{v})\subset O_{*}$が成り立つ.

[3] 任意に部分集合族$\{O_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}\subset\mathcal{O}$をとり,$O^{*}:=\bigcup\limits_{m=1}^{n}O_m$とし,$O^{*}\in\mathcal{O}$を示す.

任意に$k\in K$と$\m{v}\in O^{*}$をとる.

このとき,$O^{*}$の定義からある$\lambda_0\in\Lambda$が存在して$\m{v}\in O_{\lambda_0}$なので,$O_{\lambda_0}$の定義から$\epsilon>0$が存在して$B_{k,\epsilon}(\m{v})\subset O_{\lambda_0}\subset O^{*}$が成り立つ.

[1]-[3]より,$(V,\mathcal{O})$は位相空間である.

これで,線形空間にセミノルムによる位相が定義できました.

セミノルムによる距離と位相の関係

ここまでで線形空間$V$上のセミノルムに関する距離と位相を考えました.

次はこれらの関係を考えましょう.

2つの位相は一致する

一般に距離空間は自然に位相を定めます.そのため,

  • セミノルムによる距離から自然に定まる位相
  • セミノルムの位相

の関係を知っておきたいところですが,実はこれらが一致することが証明できます.

「位相が等しい」ことは「開集合系が一致する」ことと同値でしたから,以下が成り立つことを示せば良いですね.

[条件A]を満たすセミノルムの族$\{\|\cdot\|_k\}_{k\in K}$が定まった複素線形空間$V$において,$d$をセミノルムによる距離とする:

   \begin{align*}d:V\times V\to\R;(\m{u},\m{v})\mapsto\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\|\m{u}-\m{v}\|_k}{2^k(1+\|\m{u}-\m{v}\|_k)}\end{align*}

このとき,2つの開集合系

   \begin{align*}&\mathcal{O}_1:=\set{O\subset V}{\all\m{v}\in O\ \exi\epsilon>0\ s.t.\ B_{\epsilon}(\m{v})\subset O}, \\&\mathcal{O}_2:=\set{O\subset V}{\all k\in K\ \all\m{v}\in O\ \exi\epsilon>0\ s.t.\ B_{k,\epsilon}(\m{v})\subset O}\end{align*}

は一致する.ここに,

   \begin{align*}&B_\epsilon(\m{v}):=\set{\m{x}\in V}{d(\m{v},\m{x})<\epsilon}, \\&B_{k,\epsilon}(\m{v}):=\set{\m{x}\in V}{\|\m{v}-\m{x}\|_k<\epsilon}\end{align*}

である.

[1] $O\in\mathcal{O}_1$とし,$O\in\mathcal{O}_2$を示す.任意に$k\in K$, $\m{v}\in O$をとる.

このとき,$O\in\mathcal{O}_1$より,ある$\epsilon>0$が存在して$B_{\epsilon}(\m{v})\subset O$をみたす.この$\epsilon>0$に対して,ある$\epsilon’>0$が存在して

   \begin{align*}\frac{\epsilon'}{2^k(1+\epsilon')}<\epsilon\end{align*}

をみたす.なお,この$\epsilon’$が存在することは,$\epsilon’\to0$のとき$\epsilon’/2^k(1+\epsilon’)\to0$となることから分かる.

よって,任意の$\m{x}\in B_{k,\epsilon’}(\m{v})$に対して,

   \begin{align*}&\|\m{v}-\m{x}\|_k<\epsilon' \\\iff&\|\m{v}-\m{x}\|_k(1+\epsilon')<\epsilon'(1+\|\m{v}-\m{x}\|_k) \\\iff&\frac{\|\m{v}-\m{x}\|_k}{2^k(1+\|\m{v}-\m{x}\|_k)}<\frac{\epsilon'}{2^k(1+\epsilon')} \\\Ra\ &\frac{\|\m{v}-\m{x}\|_k}{2^k(1+\|\m{v}-\m{x}\|_k)}<\epsilon \\\iff&\m{x}\in B_{\epsilon}(\m{v})\end{align*}

が成り立つ.よって,

   \begin{align*}B_{k,\epsilon'}(\m{v})\subset B_{\epsilon}(\m{v})\subset O\end{align*}

が従う.

[2] $O\in\mathcal{O}_2$とし,$O\in\mathcal{O}_1$を示す.任意に$\m{v}\in O$をとる.

このとき,$O\in\mathcal{O}_2$より,ある$\epsilon>0$が存在して$B_{1,\epsilon}(\m{v})\subset O$をみたす.

よって,$\epsilon’:=\frac{\epsilon}{2(1+\epsilon)}$とすると,任意の$\m{x}\in B_{\epsilon’}(\m{v})$に対して,

   \begin{align*}\frac{\|\m{v}-\m{x}\|_1}{2(1+\|\m{v}-\m{x}\|_1)} \le&\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\|\m{v}-\m{x}\|_k}{2^k(1+\|\m{v}-\m{x}\|_k)} \\=&d(\m{v},\m{x})<\epsilon'=\frac{\epsilon}{2(1+\epsilon)}\end{align*}

が成り立つ.このとき,

   \begin{align*}&\frac{\|\m{v}-\m{x}\|_1}{2(1+\|\m{v}-\m{x}\|_1)}<\frac{\epsilon}{2(1+\epsilon)} \\\iff&\|\m{v}-\m{x}\|_1(1+\epsilon)<\epsilon(1+\|\m{v}-\m{x}\|_1) \\\iff&\|\m{v}-\m{x}\|_1<\epsilon\end{align*}

なので,$\m{x}\in B_{1,\epsilon}(\m{v})$となる.

よって,$B_{\epsilon’}(\m{v})\subset B_{1,\epsilon}(\m{v})$なので,$B_{\epsilon}(\m{v})\subset O$が従う.

セミノルムによる収束

このように,セミノルムから距離$d$に変換して位相を考えることと,セミノルムのまま位相を考えることは同じなので,セミノルムの収束も距離$d$と同値になるように定義したいところですね.

セミノルムによる収束を以下のように定義しましょう.

[条件A]を満たすセミノルムの族$\{\|\cdot\|_k\}_{k\in K}$が定まった複素線形空間$V$において,定められた点列$\{\m{v}_n\}_n$が$\m{v}$に収束するとは,任意の$k\in\{1,2,\dots\}$に対して

   \begin{align*}\lim_{n\to\infty}\|\m{v}-\m{v}_n\|_k=0\end{align*}

を満たすことをいう.

この記事では,この収束を$\m{v}_n\xrightarrow[k=1,2,\dots]{\|\cdot\|_k}\m{v}$と表すことにします.

この収束の定義を近傍の言葉を用いるなら,任意の$k\in\{1,2,\dots\}$, $\epsilon>0$に対して,ある$N\in\N$が存在して,

   \begin{align*}n>N\Ra\m{v}_n\in B_{k,\epsilon}(\m{v})\end{align*}

が成り立つともいえますね.

このとき,

  • セミノルムによる距離$d$の収束
  • セミノルムの収束

が同じものであることを示すことができます.

[条件A]を満たすセミノルムの族$\{\|\cdot\|_k\}_{k=1}^{\infty}$が定まった複素線形空間$V$上の距離

   \begin{align*}d(\m{u},\m{v})=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\|\m{u}-\m{v}\|_k}{2^k(1+\|\m{u}-\m{v}\|_k)}\end{align*}

を考える.このとき,$V$上の点列$\{\m{v}_n\}_n$と$\m{v}\in V$に対して,次は同値である.

  • $\lim\limits_{n\to\infty}d(\m{v}_n,\m{v})=0$
  • $\m{v}_n\xrightarrow[k=1,2,\dots]{\|\cdot\|_k}\m{v}$

[1] $\lim\limits_{n\to\infty}d(\m{v}_n,\m{v})=0$が成り立つとし,任意に$\epsilon>0$をとる.

このとき,任意の$k\in\{1,2,\dots\}$に対して,ある$N\in\N$が存在して,$n>N$なら

   \begin{align*}d(\m{v}_n,\m{v})<\frac{\epsilon}{2^k(1+\epsilon)}\end{align*}

をみたすから,

   \begin{align*}&\frac{\|\m{u}-\m{v}\|_k}{2^k(1+\|\m{u}-\m{v}\|_k)}<\frac{\epsilon}{2^k(1+\epsilon)} \\\iff&\|\m{u}-\m{v}\|_k(1+\epsilon)<\epsilon(1+\|\m{u}-\m{v}\|_k) \\\iff&\|\m{u}-\m{v}\|_k<\epsilon\end{align*}

をみたす.よって,$\m{v}_n\xrightarrow[k=1,2,\dots]{\|\cdot\|_k}\m{v}$が従う.

[2] $\m{v}_n\xrightarrow[k=1,2,\dots]{\|\cdot\|_k}\m{v}$が成り立つとし,任意に$\epsilon>0$をとる.

$k_0\in\{1,2,\dots\}$が存在して$\frac{1}{2^{k_0}}<\frac{\epsilon}{2}$となるから,

   \begin{align*}\sum_{k=k_0+1}^{\infty}\frac{1}{2^k}=\frac{1}{2^{k_0}}<\frac{\epsilon}{2}\end{align*}

が成り立つ.また,仮定より,任意の$k\in\{1,\dots,k_0\}$に対して,ある$N_{k}\in\N$が存在して,$n>N_k$なら

   \begin{align*}\|\m{u}-\m{v}\|_k<\frac{\epsilon}{2}\end{align*}

が成り立つ.よって,$n>\max_{k\in\{1,\dots,k_0\}}N_k$なら,

   \begin{align*}&d(\m{v}_n,\m{v}) \\=&\sum_{k=1}^{k_0}\frac{\|\m{v}_n-\m{v}\|_k}{2^k(1+\|\m{v}_n-\m{v}\|_k)} +\sum_{k=k_0+1}^{\infty}\frac{\|\m{v}_n-\m{v}\|_k}{2^k(1+\|\m{v}_n-\m{v}\|_k)} \\\le&\sum_{k=1}^{k_0}\frac{\epsilon}{2^{k+1}(1+\|\m{v}_n-\m{v}\|_k)}+\sum_{k=k_0+1}^{\infty}\frac{1}{2^k} \\\le&\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\epsilon}{2^{k+1}(1+\|\m{v}_n-\m{v}\|_k)}+\frac{\epsilon}{2} \\\le&\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\epsilon}{2^{k+1}}+\frac{\epsilon}{2}=\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon\end{align*}

をみたす.よって,$\lim\limits_{n\to\infty}d(\m{v}_n,\m{v})=0$が従う.

以上から,複素線形空間$V$上の[条件A]をみたすセミノルムが与えられたとき,わざわざ距離$d$を考えなくても,上でみたセミノルムから定まる位相,収束を考えれば距離空間$(V,d)$を考えていることと同じであるということになります.

線形位相空間

以上で定めたセミノルムによる距離空間は線形位相空間とよばれる空間になっています.

複素線形空間$V$について,和とスカラー倍がともに連続であるとき,すなわち

  • $\C$上$\alpha_n\to\alpha$, $\beta_n\to\beta$
  • $V$上$\m{v}_n\to\m{v}$, $\m{u}_n\to\m{u}$

が成り立つなら

   \begin{align*}\alpha_n\m{u}_n+\beta_n\m{v}_n\to\alpha\m{u}+\beta\m{v}\end{align*}

が成り立つとき,$V$を複素線形位相空間 (complex linear topological space)という.同様に実線形位相空間も定義される.

単に線形空間といっただけでは距離などの位相は定まっていませんが,$V$上の和とスカラー倍が連続になるような位相が定まっているような空間を$V$を線形位相空間というわけですね.

例えば,複素ノルム空間$V$はノルムから自然に定義される距離の位相によって線形位相空間となります.

同様に,[条件A]をみたすセミノルムの族が定まった複素線形空間も以下のように線形位相空間となります.

[条件A]を満たすセミノルムの族$\{\|\cdot\|_k\}_{k\in K}$が定まった複素線形空間$V$において,$V$の和,スカラー倍は連続である.すなわち,

   \begin{align*}&\m{u}_n\xrightarrow[k=1,2,\dots]{\|\cdot\|_k}\m{u},\quad \m{v}_n\xrightarrow[k=1,2,\dots]{\|\cdot\|_k}\m{v}, \\&\alpha_n\to\alpha,\ \beta_n\to\beta\ \mrm{in}\ \C\end{align*}

なら

   \begin{align*}\alpha_n\m{u}_n+\beta_n\m{v}_n\xrightarrow[k=1,2,\dots]{\|\cdot\|_k}\alpha\m{u}+\beta\m{v}\end{align*}

が成り立つ.

任意の$k$に対して,劣加法性より

   \begin{align*}\|(\m{u}_n+\m{v}_n)-(\m{u}+\m{v})\|_k=&\|(\m{u}_n-\m{u})+(\m{v}_n-\m{v})\|_k \\\le&\|\m{u}_n-\m{u}\|_k+\|\m{v}_n-\m{v}\|_k\to0\end{align*}

が成り立ち,劣加法性と斉次性より

   \begin{align*}\|\alpha_n\m{u}_n-\alpha\m{u}\|_k =&\|(\alpha_n-\alpha)\m{u}_n-\alpha(\m{u}-\m{u}_n)\|_k \\\le&\|(\alpha_n-\alpha)\m{u}_n\|_k+\|\alpha(\m{u}-\m{u}_n)\|_k \\=&|\alpha_n-\alpha|\|\m{u}_n\|_k+|\alpha|\|\m{u}-\m{u}_n\|_k \\\to&0\|\m{u}\|_k+|\alpha|0=0\end{align*}

が成り立つ.よって,これらを併せて命題が従う.

フレシェ空間

最後にFréchet(フレシェ)空間の定義と具体例を説明します.

フレシェ空間の定義

Fréchet空間は以下のように定義されます.

[条件A]を満たすセミノルムの族$\{\|\cdot\|_k\}_{k\in K}$が定まった複素線形空間$V$が完備であるとき,$V$をFréchet空間という.

距離空間が完備であるとは,任意のCauchy列が収束列であることをいうのでした.

[条件A]を満たすセミノルムの族$\{\|\cdot\|_k\}_{k\in K}$はこれらがまとまって距離の役割を果たすことは,先ほどから説明してきた通りです.

よって,$V$上の点列$\{\m{v}_n\}$がCauchy列であるとは,任意の$k\in K$と$\epsilon>0$に対して,ある$N\in\N$が存在して$m,n>N$なら,$\|\m{v}_n-\m{v}_m\|<\epsilon$をみたすことをいうわけですね.

フレシェ空間の具体例

例えば,

  • $I$上$m$階連続微分可能な関数の空間$C^n(I)$
  • Schwartz空間$\mathcal{S}(\R^d)$

はFréchet空間となります.

例1

$I$を有界区間とする.関数空間$C^n(I)$に

   \begin{align*}\|f\|_k:=\sup_{x\in I}\frac{d^{k}f}{dx^{k}}(x)\end{align*}

で定まるセミノルムの族$\{\|\cdot\|_k\}_{k=0}^{n}$を定めると,

   \begin{align*}\|f\|:=\sum_{k=0}^{n}\|f\|_k\end{align*}

で定まる$\|\cdot\|$は$C^n(I)$上のノルムとなり,このノルムを$m$次ノルムといいます.

このとき,$C^n(I)$上の列$\{f_n\}_n$が$f\in C^n(I)$に収束することは,任意の$k\in\{0,\dots,n\}$に対して${f_n}^{(k)}$が$f^{(k)}$に収束することと同値ですね.

これより,$m$次ノルムの完備性が得られ,$C^n(I)$はFréchet空間となります.

例2

$\N=\{0,1,2,\dots\}$とします.関数空間$\mathcal{S}(\R^n)$を

   \begin{align*} \mathcal{S}(\R^n) :=\set{f\in C^\infty(\R^n)}{\all\alpha,\beta\in\N^{n}\quad \|f\|_{\alpha,\beta}:=\sup_{x\in\R^n}\abs{x^{\alpha}\pd{f}{x^{\beta}}(x)}<\infty} \end{align*}

で定めると$\mathcal{S}(\R^n)$は線形空間となります.ただし,$\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_n)$, $\beta=(\beta_1,\dots,\beta_n)$に対して,

   \begin{align*}&x^{\alpha}:=x_1^{\alpha_1}\dots x_n^{\alpha_n}, \\&\pd{f}{x^{\beta}}:=\frac{\partial f}{\partial x_1^{\beta_1}\dots \partial x_n^{\beta_n}}\end{align*}

です.このとき,

  • $\mathcal{S}(\R^n)$をSchwartz(シュワルツ)空間
  • $\mathcal{S}(\R^n)$の元を急減少関数 (rapidly decreasing function)

といいます.

Schwartz空間$\mathcal{S}(\R^n)$上の$\{\|\cdot\|_{\alpha,\beta}\}_{\alpha,\beta\in\N^{n}}$は[条件A]をみたすセミノルムの族となり,完備性も得られます.すなわち,Schwartz空間$\mathcal{S}(\R^n)$はFréchet空間となります.

なお,完備性の証明については以下の記事を参照してください.

シュワルツ空間の定義と完備性|急減少関数の空間を考える
無限遠方で任意の多項式の逆数よりも速く減衰する関数を「急減少関数」といい,急減少関数の空間を「シュワルツ空間」といいます.この記事では,シュワルツ空間の定義を述べ,完備性を証明します.これによりシュワルツ空間がフレシェ空間となります.

コメント

  1. エアの創造 より:

    $d$が距離であることの証明の最後、$\sum$が抜けています

    二つの位相が一致することの証明の[2]最終行
    $\epsilon$と$\epsilon’$が入れ替わっています

    セミノルムによる収束の定義の後の文章
    「任意の$\epsilon>0$に対して、ある$N\in\N$が存在して、$n>N$なら任意の$k$に対して」とありますが、正しくは「任意の$k$と任意の$\epsilon>0$に対して、ある$N\in\N$が存在して、$n>N$なら」
    さらに$v_N\in B_{k,\epsilon}(v)$とありますが、正しくは$v_n\in B_{k,\epsilon}(v)$だと思います

    シュワルツ空間を学んだ時、教科書にこれはフレシュ空間になると書いてありましたが、詳しい説明がありませんでした
    このサイトのおかげで詳しいことを知ることができ、とても参考になりました
    ありがとうございます

    • 山本 拓人 より:

      細かいところまでご指摘をありがとうございます!誤植を修正しました.

      かつて私もフレシェ空間についての詳しい文献が見つからず,自分で詳しく考えてまとめたものがこの記事のもとになっています.
      私と同じ悩みの方のお役に立てたようで良かったです.

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