位相空間上の連続写像｜ε-δ論法と矛盾せず定義したい

位相空間の定義の(1)～(3)を確認すれば良い．

[(1)の証明]　$U=\emptyset,X$は明らかに$(*)$をみたすから，$\emptyset$, $X\in\mathcal{O}$が従う($U=\emptyset$に対しては，$a\in U$が偽なので，$(*)$が真となることに注意)．

[(2)の証明]　$\mathcal{O}$の有限個の元$O_1,\dots,O_n$をとり，$a\in\bigcap\limits_{i=1}^{n}O_i$であるとすると，各$i\in{1,\dots,n}$に対して，$U_{r_i}(a) \subset O_i$をみたす$r_i>0$が存在する．

よって，$r:=\min{\{r_1,\dots,r_n\}}$とすれば，$U_{r}(a)\in\bigcap\limits_{i=1}^{n}O_i$をみたすから，$\bigcap\limits_{i=1}^{n}O_i\in\mathcal{O}$が従う．

[(3)の証明]　$\mathcal{O}$の任意個(無限個も可)の元$O_{\lambda}$ $(\lambda\in\Lambda)$をとり，$a\in\bigcup\limits_{\lambda\in\Lambda}O_{\lambda}$であるとすると，$a\in O_{\lambda}$をみたす$\lambda\in\Lambda$が存在する．

このとき，$U_{r}(a)\subset O_\lambda$をみたす$r>0$が存在する．

もとより，$O_\lambda\subset\bigcup\limits_{\lambda\in\Lambda}O_{\lambda}$だから，$\bigcup\limits_{\lambda\in\Lambda}O_{\lambda}\in\mathcal{O}$が従う．

[$(1)\Ra(2)$の証明]　任意の開集合$O\subset Y$をとり，任意に$a \in f^{-1}(O)$をとる．

$a \in f^{-1}(O)$より$f(a)\in O$であり，$O$は開だから，ある$\epsilon>0$が存在して

\begin{align*}U_{\epsilon}(f(a))\subset O\end{align*}

をみたす．条件１が成り立っていれば$f$は点$a$で連続なので，上の$\epsilon$に対して，ある$\delta>0$が存在して

\begin{align*}d_1(x,a)<\delta
\Ra d_2(f(x),f(a))<\epsilon\end{align*}

が成り立つ．すなわち，任意の$x\in U_{\delta}(a)$は$f(x)\in U_{\epsilon}(f(a))$をみたす．よって，

\begin{align*}f\bra{U_{\delta}(a)}\subset U_{\epsilon}(f(a))\subset O\end{align*}

となって，$U_{\delta}(a)\subset f^{-1}(O)$を得る．よって，定義から$f^{-1}(O)$は$X$の開集合である．

[$(2)\Ra(1)$の証明]　任意の$a\in X$をとり，任意に$\epsilon>0$をとる．

$U_{\epsilon}(f(a)) \subset Y$は開集合なので，条件２が成り立っていれば$f^{-1}\left(U_{\epsilon}(f(a))\right)$も$X$の開集合である．

さらに，もとより$a \in f^{-1}\left(U_{\epsilon}(f(a))\right)$であるから，ある$\delta>0$が存在して

\begin{align*}U_{\delta}(a) \subset f^{-1}(U_{\epsilon}(f(a)))\end{align*}

が成り立つ．よって，$f(U_{\delta}(a)) \subset U_{\epsilon}(f(a))$が成り立つ．

これは任意の$x\in U_{\delta}(a)$が$f(x)\in U_{\epsilon}(f(a))$を満たすことに他ならない．言い換えれば，$d_1(x,a)<\delta$を満たす任意の$x\in X$が

\begin{align*}d_2(f(x),f(a))<\epsilon\end{align*}

を満たすことに他ならないから，定義から$f$は$a$で連続である．$a$は$X$上の任意の点だったから$f$は$X$上で連続である．