位相空間上の写像に連続性を定義することを考える．
距離空間における連続性は「$\epsilon$-$\delta$論法」を用いて定義するのが普通である．
しかし，「$\epsilon$-$\delta$論法」は距離を用いた定義のため，一般には距離が定義されていない位相空間にそのまま「$\epsilon$-$\delta$論法」は適用できない．
そのため，位相空間での写像の連続性を定義する際には，距離空間での連続性の定義に矛盾しないように定義する必要がある．
そこで，もし距離空間での写像の連続性の定義を距離を用いない同値な条件に言い換えることができれば，その条件を位相空間上の写像の連続性の定義とすることができる．
この記事では，位相空間の定義，距離空間の定義から確認し，距離空間上の写像の連続性について考察する．
目次
距離空間上の連続写像
一般の位相空間の連続写像を定義する前に，$\R^n$上の連続関数と距離空間上の連続写像の定義をみる．
ユークリッド空間の連続性
一般の距離空間上の連続写像の話に移る前に，$\Omega\subset\R^{n}$上の関数の連続性についてみておく．これは，次のように定義するのが最もポピュラーであろう．
[定義１($\R^n$上の連続関数)] $\Omega\subset\R^n$とする．関数$f:\Omega\to\R^m$が点$a\in\Omega$で連続 (continuity)であるとは，任意の$\epsilon>0$に対して，ある$\delta>0$が存在して，$|x-a|<\delta$なら
また，$f$が集合$\Omega’\subset\Omega$上で連続であるとは，集合$\Omega’$上の任意の点で$f$が連続であることをいう．
ただし，$x=(x_1,\dots,x_n)\in\R^{n}$に対して，$|x|=\sqrt{{x_1}^2+\dots+{x_n}^2}$である．
$\R^n$上の連続関数は距離空間の連続写像の特別な場合に過ぎないが，$\R^n$上の連続関数のイメージを距離空間の連続写像のイメージとしてもっていること大切である．
距離空間の定義
次に，距離空間の定義を確認しておく．
[定義２(距離空間)] 集合$X$と写像$d:X\times X\to \R$の組$(X,d)$が距離空間 (metric space)であるとは，写像$d$が次の1～3を満たすことをいう．
- $d(x,y)=0$であることと，$x=y$であることは同値である(非退化性)．
- 任意の$x,y\in X$に対して$d(x,y)=d(y,x)$を満たす(対称性)．
- 任意の$x,y,z\in X$に対して$d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)$を満たす(劣加法性)．
が成り立つことをいう．
このとき，写像$d$を距離空間$(X,d)$の距離 (distance)という．距離空間$(X,d)$を単に$X$と書くこともある．
また，$a\in X,r>0$に対し，集合$U_{r}(a):=\{x\in X|d(a,x)<r\}$ を点$a$の$r$開近傍 (open neighborhood)(または単に近傍)という．
距離の定義に非負値性$0\le d(x,y)$を定義に含めることもあるが，非負値性は上の3性質から次のようにして導くことができる：任意の$x,y\in X$に対して，
だから両辺２で割って$0\le d(x,y)$が従う．
なお，距離空間の定義のイメージについては，以下の記事でも簡単に説明しているので参照されたい．
大雑把に言えば，「距離空間」とは２点を与えたときに，その２点の近さ/遠さが実数値として分かる空間のことで，位相空間の一種である．この記事では，距離空間の定義のイメージを説明し，距離空間の具体例を挙げている．また，距離空間とノルム空間の関係についても説明している．
距離空間の連続写像
通常，距離空間上の連続写像は次のように定義される．
[定義３ (距離空間上の連続写像)] $(X,d_1)$, $(Y,d_2)$を距離空間とする．写像$f:X\to Y$が点$a\in X$で連続であるとは，任意の$\epsilon>0$に対して，ある$\delta>0$が存在して，$d_1(x,a)<\delta$なら
が成り立つことをいう．
また，$f$が$X$上で連続であるとは$X$上の任意の点で$f$が連続であることをいう．
写像$d:\R^n\times\R^n\to\R;(x,y)\mapsto|x-y|$を考えれば，$(\R,d)$は距離空間である．
すなわち，$\R^n$上の連続関数は距離空間$(\R,d)$の連続写像の定義を適用したものと一致することが分かる．
なお，この距離空間$(\R,d)$によって自然に定まる$\R^n$の位相を，「$\R^n$の通常の位相」や「自然な位相」などという．
また，通常の位相における開集合を通常の開集合や自然な開集合ということもある．
位相空間と距離空間
ここでは，距離空間を自然に位相空間とみなすことができることを説明する．
位相空間の定義
まずは位相空間の定義を確認しておく．
[定義４ (位相空間)] 集合$X$と，$X$の部分集合族(部分集合の集合)$\mathcal{O}$の組$(X,\mathcal{O})$が位相空間 (topological space)であるとは，次の1-3を満たすことをいう．
- 空集合$\emptyset$と全体集合$X$はともに$\mathcal{O}$に属する：$\emptyset,X\in\mathcal{O}$
- $\mathcal{O}$の有限個の元$O_1,\dots,O_n$の共通部分$\bigcap\limits_{i=1}^{n}O_i$も$\mathcal{O}$に属する：$\bigcap\limits_{i=1}^{n}O_i\in\mathcal{O}$
- $\mathcal{O}$の任意個(無限個も可)の元$O_{\lambda}$ $(\lambda\in\Lambda)$の和集合$\bigcup\limits_{\lambda\in\Lambda}O_{\lambda}$も$\mathcal{O}$に属する：$\bigcup\limits_{\lambda\in\Lambda}O_{\lambda}\in\mathcal{O}$
このとき，部分集合族$\mathcal{O}$は集合$X$の開集合系 (open sets)であるという．また，位相空間$(X,\mathcal{O})$を単に$X$と書くこともある．
本来，位相とは開集合系を定めることによって定まる数学的構造のことを指すが，簡単に開集合系$\mathcal{O}$を指して位相と言うことも多くある．
注意として，条件３で$\mathcal{O}$の任意個(無限個も可)の元を$O_n$ $(n=1,2,\dots)$ではなく$O_{\lambda}$ $(\lambda\in\Lambda)$とするのは，この「任意個」が「たかだか可算個」ではないかもしれないからである．
たとえば，実数と同じ濃度の集合をもってきたときには$O_{\lambda}$ $(\lambda\in\R)$ということになるが，「実数の集合は自然数の集合より濃度が大きく，実数を一列に並べることはできない」という性質により，$\Lambda=\R$のときには$O_n$ $(n=1,2,\dots)$とは書けない．
このような理由で，３では$O_{\lambda}$ $(\lambda\in\Lambda)$という表記になっている．
条件3では，このようにどんな濃度の$\mathcal{O}$の部分集合をとってきても，和集合は再び$\mathcal{O}$に属するということ述べている．
距離空間の位相
次の命題５は距離空間と位相空間を繋ぐ重要な役割を果たす．
[命題５ (距離空間の位相)] 距離空間$X$は，次の性質$(*)$をみたす$X$の部分集合$O$全部の族$\mathcal{O}$を開集合系として位相空間になる．
$(*)$：$a\in O$なら，ある$r>0$が存在して$U_{r}(a)\subset O$をみたす．
位相空間の定義１～３を確認すれば良い．
[１の証明] $U=\emptyset,X$は明らかに$(*)$をみたすから，$\emptyset$, $X\in\mathcal{O}$が従う($U=\emptyset$に対しては，$a\in U$が偽なので，$(*)$が真となることに注意)．
[２の証明] $\mathcal{O}$の有限個の元$O_1,\dots,O_n$をとり，$a\in\bigcap\limits_{i=1}^{n}O_i$であるとすると，各$i\in{1,\dots,n}$に対して，$U_{r_i}(a) \subset O_i$をみたす$r_i>0$が存在する．
よって，$r:=\min{r_1,\dots,r_n}$とすれば，$U_{r}(a)\in\bigcap\limits_{i=1}^{n}O_i$をみたすから，$\bigcap\limits_{i=1}^{n}O_i\in\mathcal{O}$が従う．
[３の証明] $\mathcal{O}$の任意個(無限個も可)の元$O_{\lambda}$ $(\lambda\in\Lambda)$をとり，$a\in\bigcup\limits_{\lambda\in\Lambda}O_{\lambda}$であるとすると，$a\in O_{\lambda}$をみたす$\lambda\in\Lambda$が存在する．
このとき，$U_{r}(a)\subset O_\lambda$をみたす$r>0$が存在する．
もとより，$O_\lambda\subset\bigcup\limits_{\lambda\in\Lambda}O_{\lambda}$だから，$\bigcup\limits_{\lambda\in\Lambda}O_{\lambda}\in\mathcal{O}$が従う．
多くの場合，学部１年生で$(*)$のようにして$\R^{n}$上の「通常の開集合」の定義を習い，学部２年生の位相空間の授業で
「実は1年生で$\R^{n}$上の『通常の開集合』といっていたものは位相の性質をみたす．だから，$\R^{n}$は『通常の開集合』により位相空間となっている．」
と習う．
つまり，命題５は一般の距離空間上で，$\R^{n}$のときと同じ手順を踏んで証明しているのである．
このように，距離空間$(X,d)$は自然に位相空間$(X,\mathcal{O})$となる．
以降，命題5により定まる位相を距離空間の位相とする．
位相空間上の連続写像
一般の位相空間上の連続写像を定義しよう．
距離空間の開集合と連続写像
一般の位相空間には距離が定義されていないため，位相空間の連続性を定義する際に距離空間の連続性の定義をそのまま採用することはできないが，距離空間の連続性に矛盾しないように定めなければならない．
そのために，次の定理６が重要である．
[定理６] 2つの距離空間$(X,d_1)$, $(Y,d_2)$と写像$f:X\to Y$に対し，次は同値である．
- $f$は$X$上で連続．
- 任意の開集合$U\subset Y$に対し，$f^{-1}(U)\subset X$は開集合．
[$1\Ra2$の証明] 任意の開集合$U \subset Y$をとり，$f^{-1}(U)$が開集合であることを示す．
任意の$a \in f^{-1}(U)$に対して，$f(a) \in U$であり，$U$は開だから，ある$\epsilon>0$が存在して
をみたす．条件１より$f$は$X$上で連続，したがって点$a$で連続なので，上の$\epsilon$に対して，ある$\delta>0$が存在して
が成り立つ．すなわち，任意の$x\in U_{\delta}(a)\subset X$は$f(x)\in U_{\epsilon}(f(a))\subset Y$をみたす．これは，
であることに他ならない．いま，$U_{\epsilon}(f(a))\subset U$だから，$f\bra{U_{\delta}(a)}\subset U$である．よって，
となって，$U_{\delta}(a)\subset f^{-1}(U)$を得る．
$U_{\delta}(a)$は開集合だから，$f^{-1}(U)$が開集合であることが従う．
したがって，２が示された．
[$2\Ra1$の証明] 任意の$a\in X$をとり，$a$で$f$が連続であることを示す．
任意の$\epsilon>0$に対し，$U_{\epsilon}(f(a)) \subset Y$は開なので，条件２より$f^{-1}\left(U_{\epsilon}(f(a))\right) \subset X$も開である．
さらに，もとより$a \in f^{-1}\left(U_{\epsilon}(f(a))\right)$であるから，ある$\delta>0$が存在して
が成り立つ．これは，任意の$x\in U_{\delta}(a)\subset X$は$f(x)\in U_{\epsilon}(f(a))\subset Y$をみたすことに他ならない．
すなわち，ある$\delta>0$が存在して
が従う．したがって，２が示された．
位相空間の連続写像
先にも述べたが，ここで重要なことは定理６の条件２は距離空間でない一般の位相空間にも通用するということである．
これにより，一般の位相空間での連続の定義を定理６の条件２により定めることができ，さらにこれは既に距離空間で定めていた連続の定義と矛盾しない．
したがって，一般の位相空間における連続写像は次のように定義される．
[定義７ (位相空間上の連続写像)] 位相空間$X$, $Y$に対し，写像$f:X\rightarrow Y$が連続であるとは次が成り立つことをいう：任意の開集合$U \subset Y$に対し，$f^{-1}(U) \subset X$は開集合．
このことは，標語的に「開集合の連続写像による引き戻しは開集合」ということが多い．
また，証明は省略するが，この「開集合」を「閉集合」に変えた次の「閉集合の連続写像による引き戻しは閉集合」も成り立つ．
[定理８] 距離空間$(X,d_1),(Y,d_2)$と写像$f:X\to Y$に対し，次の1，2は同値である．
- $f$は$X$上で連続．
- 任意の閉集合$O \subset Y$に対し，$f^{-1}(U) \subset X$は閉集合．
したがって，この定理６の条件２を連続写像の定義とすることもできる．
この「閉集合の連続写像による引き戻しは閉集合」という性質は非常に重要ではある．
しかし，位相空間の写像の連続性の定義は，慣習的にも開集合系を定めることが多い．
参考文献
以下は参考文献である．
集合・位相入門 (松坂和夫 著)
超ロングセラーの集合と位相の教科書で，2018年に新装版が発売された．
具体例と図が非常に豊富であり，イメージを掴みやすい．
これにより，写像や位相などの概念が直感的に理解できるようになっている．
また，説明も丁寧に書かれており，行間が少ないのも初学者にとっては非常にありがたい点であろう．
初めて集合と位相を学ぶ人にオススメできる好著である．
集合と位相 (鎌田正良 著)
非常にすっきりと書かれた教科書である．
そのため，集合と位相の基本の全体像をさらうのに適している．
また，演習問題の解説も丁寧なので，独学で集合と位相を学ぶのにも適している．
背景にある位相の圏論的な性質も踏まえて解説されており，数学系の学生は是非とも理解しておきたい考え方である．