フレシェ空間とは？｜セミノルムから距離空間を定義する方法

以下の３つの性質を満たす実（または複素）線形空間$V$上の関数$\|\cdot\|:V\to\R$を$V$上のノルムというのでした：

1. 非退化性：$\|\m{v}\|=0\Ra\ \m{v}=0$ ($\m{v}\in V$)
2. 斉次性：$\|\alpha \m{v}\|=|\alpha|\|\m{v}\|$ ($\alpha\in\R\ \mrm{or}\ \C)$, $\m{v}\in V$)
3. 劣加法性：$\|\m{u}+\m{v}\|\le \|\m{u}\|+\|\m{v}\|$ ($\m{u},\m{v}\in V$)

また，ノルムを備えた線形空間$(V,\|\cdot\|)$をノルム空間といい，ノルム空間は自然に距離空間とみなすことができるのでした．

さて，ノルムの性質のうち非退化性を満たさない関数$V\to\R$をセミノルムといいます．

セミノルムを１つ用意するだけではベクトル空間は距離空間とみなすことはできませんが，適当なセミノルムを複数用意することによりベクトル空間を距離空間とみなすことができ，この距離空間が完備であるときこの空間をフレシェ（Fréchet）空間といいます．

この記事では，

• 適当な性質を持つセミノルムの族により線形空間は距離空間とみなせること
• フレシェ空間の定義と具体例

を説明します．

なお，この記事では一般論は複素線形空間で考えますが，実線形空間に対してもフレシェ空間は同様に定義できます．

距離空間の定義のイメージと具体例｜ノルム空間との関係

数学では３つの条件を満たす集合Xと関数dの組(X,d)を「距離空間」といい，重要な位相空間のひとつです．この記事では，距離空間の定義の３条件のイメージ，距離空間の具体例を説明し，「ノルム空間」との関係も説明します．

math-note.xyz

セミノルムの定義と基本性質

まずは

• セミノルムの定義と基本性質
• セミノルムとノルム
• セミノルムによる距離

について説明します．

セミノルムの定義

セミノルムの定義は以下の通りです．

ノルムはこれらの条件を満たすのでセミノルムの１つです．

例えば，$V=\R^2$のとき，$\m{x}=\bmat{a\\b}\in V$に対して

   

で定まる関数$\|\cdot\|:V\to\R$はノルムではないセミノルムとなります．

セミノルムの以下の性質は基本的です．

セミノルムの基本性質

次の命題は有限個のセミノルムを併せてノルムとなるための条件を述べています．

なお，$K=\N$の場合（セミノルムが可算無限個ある場合）には

   

となることがあるため，無条件にはセミノルムの和でノルムとはなりません．

セミノルムによる距離と位相

１つのセミノルムでは非退化性を満たすとは限らないので，協力して非退化性を満たすようなセミノルムの族を考えましょう．

ここで，以降で重要になる次の［条件A］を定めておきましょう．

セミノルムによる距離

［条件A］を満たすセミノルムの族から，以下のように線形空間は距離空間となります．

これで，線形空間$V$上の［条件A］を満たすセミノルムの族によって，$V$を距離空間とみなせることが分かりました．

セミノルムによる位相

距離空間$(V,d)$に対しては，集合族$\mathcal{O}$を

   

で定めると，$(V,\mathcal{O})$は位相空間となるのでした．ここに，$B_{\epsilon}(\m{v})$は$\m{v}\in V$の$\epsilon$近傍です：

   

同様に，セミノルムによる位相を以下のように定めることができます．

これで，線形空間にセミノルムによる位相が定義できました．

セミノルムによる距離と位相の関係

ここまでで線形空間$V$上のセミノルムに関する距離と位相を考えました．

次はこれらの関係を考えましょう．

２つの位相は一致する

一般に距離空間は自然に位相を定めます．

そのため，上で定めた「セミノルムによる距離から自然に定まる位相」と「セミノルムの位相」の関係を知っておきたいところですが，実はこれらが一致することが証明できます．

「位相が等しい」ことは「開集合系が一致する」ことと同値でしたから，以下が成り立つことを示せば良いですね．

セミノルムによる収束

このように，セミノルムから距離$d$に変換して位相を考えることと，セミノルムのまま位相を考えることは同じなので，セミノルムの収束も距離$d$と同値になるように定義したいところですね．

セミノルムによる収束を以下のように定義しましょう．

この記事では，この収束を$\m{v}_n\xrightarrow[k=1,2,\dots]{\|\cdot\|_k}\m{v}$と表すことにします．

この収束の定義を近傍の言葉を用いるなら，任意の$k\in\{1,2,\dots\}$, $\epsilon>0$に対して，ある$N\in\N$が存在して，

   

が成り立つともいえますね．

このとき，

• セミノルムによる距離$d$の収束
• セミノルムの収束

が同じものであることを示すことができます．

以上から，複素線形空間$V$上の［条件A］をみたすセミノルムが与えられたとき，わざわざ距離$d$を考えなくても，上でみたセミノルムから定まる位相，収束を考えれば距離空間$(V,d)$を考えていることと同じであるということになります．

線形位相空間

以上で定めたセミノルムによる距離空間は線形位相空間とよばれる空間になっています．

単に線形空間といっただけでは距離などの位相は定まっていませんが，$V$上の和とスカラー倍が連続になるような位相が定まっているような空間を$V$を線形位相空間というわけですね．

例えば，複素ノルム空間$V$はノルムから自然に定義される距離の位相によって線形位相空間となります．

同様に，［条件A］をみたすセミノルムの族が定まった複素線形空間も以下のように線形位相空間となります．

フレシェ空間

最後にフレシェ空間の定義と具体例を説明します．

フレシェ空間の定義

一般に距離空間$V$上の点列$\{\m{v}_n\}$がコーシー列であるとは，任意の$k\in K$と$\epsilon>0$に対して，ある$N\in\N$が存在して$m,n>N$なら，$\|\m{v}_n-\m{v}_m\|<\epsilon$をみたすことをいい，$V$上の任意のコーシー列が収束列であるとき$V$を完備距離空間というのでした．

フレシェ空間は以下のように定義されます．

［条件A］を満たすセミノルムの族$\{\|\cdot\|_k\}_{k\in K}$はこれらがまとまって距離の役割を果たすことは，先ほどから説明してきた通りです．

そこで，［条件A］を満たすセミノルムの族が定める距離空間$V$を考えることができ，$V$が完備であるときフレシェ空間というわけですね．

フレシェ空間の具体例

例えば，

• $I$上$m$階連続微分可能な関数の空間$C^n(I)$
• Schwartz空間$\mathcal{S}(\R^d)$

はフレシェ空間となります．

具体例１（$C^n(I)$）

$I$を有界区間とする．関数空間$C^n(I)$に

   

で定まるセミノルムの族$\{\|\cdot\|_k\}_{k=0}^{n}$を定めると，

   

で定まる$\|\cdot\|$は$C^n(I)$上のノルムとなり，このノルムを$m$次ノルムといいます．

このとき，$C^n(I)$上の列$\{f_n\}_n$が$f\in C^n(I)$に収束することは，任意の$k\in\{0,\dots,n\}$に対して${f_n}^{(k)}$が$f^{(k)}$に収束することと同値ですね．

これより，$m$次ノルムの完備性が得られ，$C^n(I)$はフレシェ空間となります．

具体例２（シュワルツ空間$\mathcal{S}(\R^n)$）

$\N=\{0,1,2,\dots\}$とします．関数空間$\mathcal{S}(\R^n)$を

   

で定めると$\mathcal{S}(\R^n)$は線形空間となります．ただし，$\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_n)$, $\beta=(\beta_1,\dots,\beta_n)$に対して，

   

です．このとき，

• $\mathcal{S}(\R^n)$をシュワルツ（Schwartz）空間
• $\mathcal{S}(\R^n)$の元を急減少関数 (rapidly decreasing function)

といいます．

Schwartz空間$\mathcal{S}(\R^n)$上の$\{\|\cdot\|_{\alpha,\beta}\}_{\alpha,\beta\in\N^{n}}$は［条件A］をみたすセミノルムの族となり，完備性も得られます．すなわち，Schwartz空間$\mathcal{S}(\R^n)$はフレシェ空間となります．

なお，シュワルツ空間の完備性の証明は以下の記事を参照してください．

シュワルツ空間の定義と完備性｜急減少関数の空間を考える

任意の導関数が|x|→∞で任意の多項式の逆数より速く減衰する関数を「急減少関数」といい，急減少関数の空間を「シュワルツ空間」といいます．この記事では，シュワルツ空間の定義・完備性を解説します．

math-note.xyz