2016大学院入試｜大阪市立大学 数物系専攻(数学系)｜専門分野

$n$を$2$以上の整数とし，$G$を$n$次巡回群とする．$a$を$G$の生成元とする．複素数を成分とする$2$次正則行列全体のなす群$\mrm{GL}(2,\C)$として，群準同型$f:G\to\mrm{GL}(2,\C)$を考える．
以下の問いに答えよ．

(1)　$f(a)$の位数は$n$の約数であることを示せ．

(2)　$f(a)$は対角化可能であることを示せ．

(3)　(2)により，$f(a)$は適当な$\mrm{GL}(2,\C)$の元$P$を用いて

\begin{align*}f(a)=P^{-1}\pmat{\lambda&0\\0&\mu}P\end{align*}

と表される．$\lambda$, $\mu$はどのような数であるか論ぜよ．

$p$を素数，$\mathbb{F}_p$を$p$個の元から成る有限体とする．$\mathbb{F}_p$上の$p$次多項式$f(x)=x^{p}-x-1$について，以下の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$は$\mathbb{F}_p$に根を持たないことを示せ．

(2)　$\alpha$を$\mathbb{F}_p$の拡大体における$f(x)$の根とする．$s\in\mathbb{F}_p$とすると，$\alpha+s$も$f(x)$の根であることを示せ．

(3)　$f(x)$が$\mathbb{F}_p$上既約であるかどうか論ぜよ．

$R$を可換環とする．$R$加群$M$が既約$R$部分加群$I_1$と$I_2$の直和になっているとする．ただし，$M$の${0}$でない$R$部分加群$I$について，$I$に含まれる$R$部分加群が$I$自身と${0}$しかないときに，$I$を$M$の既約$R$部分加群という．$M$の${0}$でない$R$部分加群$X$について，以下の問いに答えよ．

(1)　$X\cap I_1\neq{0}$のとき，$X$は$I_1$か$M$に一致することを示せ．

(2)　$X\cap I_1={0}$のとき，$M$は$I_1$と$X$の直和になることを示せ．

(3)　$I_1$と$I_2$が$R$加群として同型でないとき，$M$の$R$部分加群は，${0}$, $I_1$, $I_2$, $M$のいずれかであることを示せ．

次の2次元の単体複体を考える．

\begin{align*}K=\{|a_1a_2a_3|,|a_1a_2|,|a_2a_3|,|a_3a_4|,|a_4a_1|,|a_1a_3|,|a_1|,|a_2|,|a_3|,|a_4|\}\end{align*}

以下の問いに答えよ．

(1)　オイラー標数$\chi(K)$を求めよ．

(2)　整係数ホモロジー群$H_{d}(K)$を求めよ．

(3)　球面から異なる2点を取り除いた図形を$X$とする．$K$が定める多面体$|K|$と$X$は同相でないことを示せ．

位相空間$X$とその部分集合$A$に対して，次のような同値関係を定める：$x,y\in X$に対し

\begin{align*}x\sim y\quad\iff\quad x=y\end{align*}

または

\begin{align*}\{x,y\}\subset A.\end{align*}

この同値関係による$X$の商集合$X/A$に，全射$p:X\to X/A$が連続となるような最も強い位相(商位相)を入れる．以下の問いに答えよ．

(1)　$X/A$の商位相を定める開集合族はどのように与えられるか述べ，それが位相の3つの条件を満たすことを示せ．

(2)　2つの円周$S_1$, $S_2$，および，異なる2点$P$, $Q\in S_1$を考える．このとき，次の3つの空間$X$, $Y$, $Z$が互いに同相でないことを示せ．

\begin{align*}X=S_1\times S_2,\quad
Y=(S_1\times S_2)/(\{P\}\times S_2),\quad
Z=(S_1/\{P,Q\})\times S_2\end{align*}

平面$\R^2$から空間$\R^3$への写像

\begin{align*}&\varphi:\R^2\ni (u,v)\longmapsto\phi(u,v)\in\R^3,
\\&\varphi(u,v)=(\cos{u}\cosh{v},\sin{u}\cosh{v},v)\end{align*}

によって曲面$S$を定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　曲面$S$の$\varphi$に関する第1基本量$E$, $F$, $G$を計算せよ．

(2)　曲面$S$の$\varphi$に関する第2基本量$L$, $M$, $N$を計算せよ．

(3)　曲面$S$のガウス曲率$K$，平均曲率$H$，主曲率$\kappa_1$, $\kappa_2$を計算せよ．

(4)　$\R^2$の領域$D=\set{(u,v)}{0\le u\le2\pi,-1\le v\le1}$でパラメータ付けされる曲面$S$の部分$\varphi(D)$の面積を求めよ．さらにその概形を描け．

実数$c$に対し，

\begin{align*}M_{c}=\set{(x_1,x_2,x_3)\in\R^3}{{x_1}^2+{x_2}^2=c{x_3}^2+1}\end{align*}

とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$M_{c}$は$\R^3$の部分多様体となることを示せ．

(2)　$c_1$と$c_2$が異符号のとき，$M_{c_1}$と$M_{c_2}$は微分同相でないことを示せ．

(3)　$M_{c}$が$M_0$と微分同相となるための$c$に関する条件を求めよ．

$p>1$とする．区間$[0,1]$上の連続関数の集合$W_{p}$を

\begin{align*}W_p=\set{u\in C([0,1])\cap C^1((0,1])}{\begin{gathered}u\ge0,\quad u(0)=0,\\\int_0^1|u'(t)|^{p}\,dt<\infty,\\
\int_0^1\bra{\frac{u(t)}{t}}^{p}\,dt<\infty\end{gathered}}\end{align*}

とおく．以下の問いに答えよ．

(1)　任意の$u\in W_{p}$に対して

\begin{align*}\int_0^1\bra{\frac{u(t)}{t}}^{p}\,dt=\frac{(u(1))^p}{1-p}-\frac{p}{1-p}\dint_0^1t^{1-p}(u(t))^{p-1}u'(t)\,dt\end{align*}

が成り立つことを示せ．

(2)　任意の$u\in W_{p}$に対して不等式

\begin{align*}\bra{\frac{p-1}{p}}^{p}\dint_0^1\bra{\frac{u(t)}{t}}^p\,dt\le\dint_0^1|u'(t)|^{p}\,dt\end{align*}

が成り立つことを示せ．

(3)　等式

\begin{align*}\inf\set{\frac{\dint_0^1|u'(t)|^{p}\,dt}{\dint_0^1\bra{\frac{u(t)}{t}}^{p}\,dt}}{u\in W_{p},u\not\equiv0}
=\bra{\frac{p-1}{p}}^{p}\end{align*}

が成り立つことを示せ．

$f(z)=\frac{1}{z^4+1}$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)　$z^4=-1$を満たす複素数を全て求めよ．

(2)　$R$を1より大きい実数とする．複素平面上で，$z=R$から原点を中心として反時計回りに円周上を$z=-R$まで進んでできる半円を$C_R$, $z=-R$から実数上を$z=R$まで進んでできる線分を$I_R$とおく．次の複素積分の値を求めよ．

\begin{align*}\int_{C_R+I_R}f(z)\,dz\end{align*}

(3)　$\lim\limits_{R\to\infty}\dint_{C_R}f(z)\,dz=0$であることを示せ．

(4)　定積分$\dint_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{x^4+1}$の値を求めよ．

数列空間

\begin{align*}\ell^2=\set{a=(a_k)_{k=1}^{\infty}}{a_k\in\R,\|a\|=\brb{\dsum_{k=1}^{\infty}|a_k|^2}^{1/2}<\infty}\end{align*}

の元$a^{(n)}$ $(n=1,2,3,\dots)$を以下で定める．

\begin{align*}&a^{(n)}=\bra{a_1^{(n)},a_2^{(n)},a_3^{(n)},\dots},
\\&a_k^{(n)}=\frac{1}{1+|n-k|}\quad(k=1,2,3,\dots)\end{align*}

また，任意の$a,b\in \ell^2$に対して$\anb{a,b}=\dsum_{k=1}^{\infty}a_kb_k$とおく．このとき以下の問いに答えよ．

(1)　$\sup\limits_{n\in\N}|a^{(n)}|<\infty$を示せ．

(2)　$\inf\limits_{n\in\N}|a^{(n)}|>0$を示せ．

(3)　任意の$b\in \ell^2$に対して$\lim\limits_{n\to\infty}\anb{a^{(n)},b}=0$となることを示せ．

以下の各問いに答えよ．

(1)　区間$[0,1]$上の実数値可積分関数列$\{f_n\}_{n\in\N}$が全ての$n$について非負であり，かつ

\begin{align*}\lim_{n\to\infty}\dint_0^1f_n(x)\,dx=0\end{align*}

をみたすとする．このとき，ほとんどすべての$x\in[0,1]$に対して

\begin{align*}\liminf\limits_{n\to\infty}f_n(x)=0\end{align*}

となることを示せ．

(2)　区間$[0,1]$上の実数値可積分関数列$\{g_n\}_{n\in\N}$を次で定義する：

$n\in\N$が$n=2^k+j$ $(j=0,1,\dots,2^k-1;k=0,1,2,\dots)$と表されるとき，

\begin{align*}g_n(x)=\begin{cases}1&\bra{\frac{j}{2^k}\le x<\frac{j+1}{2^k}}\\0&\bra{\mrm{others}}\end{cases}\end{align*}

このとき，関数列$\{g_n\}_{n\in\N}$に対して$\lim\limits_{n\to\infty}\dint_0^1g_n(x)\,dx=0$となることを示せ．

(3)　(2)の関数列$\{g_n\}_{n\in\N}$について，どのような$0<x<1$に対しても$\lim\limits_{n\to\infty}g_n(x)$は存在しないことを示せ．

$X$は正値確率変数とし，$S(x)=\mathbb{P}(X>x)$とおく．$\alpha$は正の定数として，

\begin{align*}\od{}{x}\log{S(x)}=-\alpha x^{\alpha-1},x>0\end{align*}

をみたすとする．以下の問いに答えよ．

(1)　$X$の確率密度関数を求めよ．

(2)　$\alpha=2$のとき，$X$の期待値と分散を求めよ．必要なら，ガンマ関数$\Gamma(x)=\dint_0^{\infty}t^{x-1}e^{-t}\,dt$について，$\Gamma\bra{\dfrac{1}{2}}=\sqrt{\pi}$であることを用いよ．

(3)　$U$は$(0,1)$上の一様乱数，すなわち，区間$(0,1)$の定義関数を確率密度関数とする確率変数であるとする．このとき

\begin{align*}Y=\bra{\log\dfrac{1}{1-U}}^{1/\alpha}\end{align*}

は$X$と同分布であることを示せ．