オススメ問題集|演習 大学院入試問題[数学](サイエンス社)

4.0
書評
書評

サイエンス社から発刊されている

は数学系の大学院入試のための問題集です.

各分野の最初には基本事項が簡単にまとめられており,知識の抜けがないか簡単にチェックすることができます.

問題数が豊富に扱われているので,大学院入試で実際に問題を解くための腕力を鍛える基礎固めとして使いやすいテキストです.

大学院入試対策だけではなく,網羅型の問題集として大学数学の基礎的な分野の復習としても利用できます.

といっても,基本的な簡単な問題ばかりでなく,東京大学や京都大学といった国公立大の問題も数多く掲載されているため,様々なレベルの大学院入試に対応することができます.

実は学部時代の私が実際に大学院入試対策の勉強中に重宝した問題集のひとつです.

目次

以下は本書の目次です.

第1編(第1巻):線形代数

  1. 代数学
    1. ベクトル
    2. 行列
    3. 行列式
    4. 行列の階数と連立1次方程式
    5. 線形空間
    6. 固有値と固有ベクトル
    7. 行列の対角化
    8. ヤコビ法による固有値と固有ベクトルの解法
    9. ジョルダンの標準形
    10. 2次形式とエルミート形式
    11. 行列の解析的取扱い
  2. 幾何学
    1. ベクトル
    2. 内積と外積
    3. 直線の方程式
    4. 平面の方程式
    5. 2次曲線と2次曲面

第2編(第1巻):微分・積分学

  1. 微分
    1. 関数の極限と連続性
    2. 微分法
    3. 導関数とその応用
  2. 積分
    1. 不定積分
    2. 定積分
  3. 数列と級数
    1. 数列
    2. 級数
  4. 偏微分
    1. 多変数の関数の極限
    2. 偏微分法
    3. 偏導関数とその応用
  5. 重積分
    1. 2重積分

第3編(第1巻):微分方程式

  1. 常微分方程式
    1. 1階常微分方程式
    2. 高階微分方程式(階数を下げ得る場合)
    3. 高階線形微分方程式
    4. 2階線形微分方程式
    5. 定数係数高階線形微分方程式
    6. ルンゲ・クッタ法による常微分方程式の解法
  2. 偏微分方程式
    1. 1階偏微分方程式
    2. 2階偏微分方程式
    3. 偏微分方程式の差分解法

第4編(第2巻):ラプラス変換,フーリエ解析,特殊関数,変分法

  1. ラプラス変換
    1. ラプラス変換の定理
    2. 諸公式
    3. ラプラス変換の例
    4. 部分分数分解とヘビサイドの展開定理
    5. ラプラス変換による定数係数微分方程式の解法
  2. フーリエ解析
    1. 直交関数
    2. フーリエ級数
    3. フーリエ積分
    4. 偏微分方程式の解法
    5. 積分方程式の解法
  3. 特殊関数
    1. べき級数による常微分方程式の解法
    2. ガウス,クンメルの微分方程式と超幾何関数,合流型超幾何関数
    3. ルジャンドルの微分方程式と球関数
    4. ベッセルの微分方程式と円柱関数
    5. エルミートの微分方程式とエルミートの多項式
    6. ラゲールの微分方程式とラゲールの多項式
    7. 楕円積分と楕円関数
    8. ガンマ関数,ベータ関数
  4. 変分法
    1. オイラーの方程式
    2. 直接法

第5編(第2巻):複素関数論

  1. 複素数
    1. 複素数
  2. 正則関数
    1. 微分の定義
    2. 微分公式
    3. 初等関数
    4. 複素数列
    5. 複素級数
    6. べき級数と無限乗積
  3. 複素積分
    1. 複素積分の性質
    2. コーシーの積分定理
    3. 不定積分
    4. コーシーの積分表示(公式)
    5. その他の定理
  4. 関数の級数展開
    1. テイラー展開
    2. ローラン展開
    3. 極,零点
    4. 有理型関数
  5. 留数
    1. 留数の定義
    2. 留数定理
    3. 無限遠点における留数
  6. 定積分への応用
    1. 有理型関数の場合
    2. 三角関数(複素指数)を含む場合
  7. 等角写像
    1. 写像と等角写像

第6編(第2巻):確率・統計

  1. 順列・組合せ
    1. 順列
    2. 組合せ
    3. 2項定理と多項定理
  2. 確率
    1. 事象
    2. 確率の基本定理
    3. 条件付き確率と独立性
    4. 確率変数
    5. 平均,分散,標準偏差,積率
    6. 主要な確率分布
    7. その他の定理
  3. 統計
    1. 資料の整理
    2. 標本分布
  4. 確率過程

良い点と気を付けたい点

良い点

  • 問題が豊富である.
  • 例題の前に基本事項が網羅的にまとめられている.
  • 基本問題が例題としてたくさん解説されているので,不安な分野を基礎から学習できる.
  • ほとんどの問題が実際の大学院で出題された問題である.
  • 計算力の必要な問題も少なくないので,数学的な技術を鍛える練習としても使える.
  • 数学科ではあまり扱われない特殊関数についての問題がある.
  • 計算の行間が少ない.

気を付けたい点

  • 基本事項についてはまとめられているものの,考え方についての解説は少ない.
  • (行間を少なくし丁寧に書こうとしたためか,)冗長な解答になっている部分が散見される.
  • 基礎分野の対策用の問題集であり,専門分野の対策ではない.

全体の感想と使い方

実は学部時代の私は計算力があまり高くなかったので,基本的な技術を補うための本を探していて,本書の一番の大きな特徴である「豊富な問題数」に惹かれたのを覚えています.

実際,本書で問題数をこなすことでかなり計算などの技術が身に付きました(多すぎて終わりません笑).

問題数が多いのはもちろん,大学院入試の基礎科目の範囲を広く網羅しているのも特徴です.

各トピックの例題は基本的で,解答は丁寧に書かれている点は学習者にとって嬉しいポイントです.

また,基本的な問題だけに留まらず東京大学,京都大学といった旧帝大クラスの大学院入試問題も載っており,手応えのある問題も少なくありません.

大学院入試では複数の分野の知識を用いる問題も出題されます.

本書でもそのような問題も扱われているので,複数の分野の関わりを学ぶことができるのも推しポイントのひとつです.

一方,数学的な考え方や問題背景などはそれほど解説されていないので,これについては他のテキストで補う必要があります.

例えば,私は以下の問題集も併用して大学院入試対策をしました.

オススメ問題集|詳解と演習 大学院入試問題[数学](数理工学社)
本書は数学系の大学院入試のための問題集で,重要な頻出問題を中心に構成されています.基本事項の確認をしつつ標準レベルの問題に取り組むことができ,大学院入試を受けるかどうかにかかわらず基本の復習としても取り組みやすい問題集となっています.

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