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フビニの定理,トネリの定理,フビニ・トネリの定理のまとめ

測度空間$X$, $Y$に対して,

  • $\dint_{X\times Y}f(x,y)\,d(x,y)$
  • $\dint_{Y}\bra{\dint_{X}f(x,y)\,dx}\,dy$

は一致するとは限らない.

[Fubini(フビニ)の定理][Tonnelli(トネリ)の定理]は二重積分と累次積分が一致するための十分条件を述べたものであり,非常に重要な解析学の定理である.

また,[Fubiniの定理]と[Tonelliの定理]を組み合わせた[Fubini-Tonelliの定理]と呼ばれる定理も存在する.

[Fubiniの定理],[Tonelliの定理],[Fubini-Tonelliの定理]を総称して「Fubiniの定理」と呼ぶ場合もある.

この記事では,[Fubiniの定理],[Tonelliの定理],[Fubini-Tonelliの定理]を概説する.

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直積測度空間

[Fubiniの定理],[Tonelliの定理],[Fubini-Tonelliの定理]の主張の中で,「$\sigma$-有限測度空間」が現れるので,まずは$\sigma$-有限測度空間これについて説明する.

ただし,ユークリッド空間$\R^N$は$\sigma$-有限測度空間なので,ここを読み飛ばして$\sigma$-有限測度空間を全て$\R^N$と読み替えても良い.

測度空間$(X,\mathcal{A},\mu)$, $(Y,\mathcal{B},\nu)$に対して,$X$の可測部分集合$A$と$Y$の可測部分集合$B$の直積で生成される$\Omega:=X\times Y$の完全加法族を$\mathcal{F}$とする.

このとき,可測空間$(\Omega,\mathcal{F})$上の測度$P$で,任意の$A\in\mathcal{A}$, $B\in\mathcal{B}$に対して,$P(A\times B)=\mu(A)\nu(B)$となるものが存在する.

この$\mathcal{F}$, $P$をそれぞれ直積完全加法族直積測度といい,測度空間$(\Omega,\mathcal{F},P)$を$(X,\mathcal{A},\mu)$, $(Y,\mathcal{B},\nu)$の直積測度空間という.

ただし,一般の測度空間に対して,この$P$が一意であるとは限らない.

しかし,$(X,\mathcal{A},\mu)$, $(Y,\mathcal{B},\nu)$がともに$\sigma$-有限測度空間であれば,$P$は一意に定まる.このとき,$P$は$P=\mu\times\nu$と表す.

なお,$\sigma$-有限測度空間の定義は次の通りである.

[$\sigma$-有限測度空間] 測度空間$(X,\mathcal{A},\mu)$が$\sigma$-有限であるとは,$\mathcal{A}$の列$\{X_n\}_{n=0}^{\infty}$が存在して,次の2条件を満たすことをいう.

  1. 任意の$n\in\{0,1,\dots\}$に対して,$\mu(X_n)<\infty$が成り立つ.
  2. $X=\bigcup\limits_{n=0}^{\infty}X_n$が成り立つ.

[Tonelliの定理],[Fubini-Tonelliの定理]における測度空間$(X,\mathcal{A},\mu)$, $(Y,\mathcal{B},\nu)$は$\sigma$-有限であるが,[Fubiniの定理]では$\sigma$-有限測度空間に限る必要はない.

しかし,この記事では[Fubiniの定理]も$\sigma$-有限測度空間に限った主張を述べることとする.

例えば,Lebesgue測度に対するEuclid空間$\R^N$は$\sigma$-有限であるから,以下の測度空間$(X,\mathcal{A},\mu)$, $(Y,\mathcal{B},\nu)$はLebesgue測度をもつEuclid空間$\R^N$としても良い.

Fubiniの定理

まずは[Fubiniの定理]について述べる.[Fubiniの定理]の主張は次の通りである.

[Fubiniの定理I] $\sigma$-有限測度空間$(X,\mathcal{A},\mu)$, $(Y,\mathcal{B},\nu)$に対して,$X\times Y$上の関数$f$が$X\times Y$上可積分であれば,$X$上ほとんど至るところで$f(x,\cdot)$は$Y$上可積分で

\begin{align*} \int_{X\times Y}f(x,y)\,d(\mu\times\nu) =\int_{X}\bra{\int_{Y}f(x,y)\,d\nu}\,d\mu \end{align*}

が成り立つ.

「$X\times Y$上の関数$f$が$X\times Y$上可積分である」というのは,言い換えれば,$f$が$X\times Y$上可測であって

\begin{align*} \int_{X\times Y}|f(x,y)|\,d(\mu\times\nu)<\infty \end{align*}

が成り立つことをいう.これは重積分の意味である.

また,「$X$上ほとんど至るところで$f(x,\cdot)$は$Y$上可積分」……(*)というのは,$x\in X$を固定するごとに$Y$の関数$f(x,\cdot)$が存在するが,$X$上ほとんど至るところでこの$Y$の関数$f(x,\cdot)$を$Y$で積分した$\dint_{Y}f(x,y)\,d\nu$が存在する,ということである.

定理の等式の右辺で$\dint_{Y}f(x,y)\,d\nu$を$X$で積分する以上,$\dint_{Y}f(x,y)\,d\nu$が$X$上ほとんど至るところで定義されている必要があるために,主張の中に(*)があるのである.

以上を簡単にまとめると,[Fubiniの定理]は「$f$が$X\times Y$上可積分であれば,累次積分$\dint_{X}\bra{\int_{Y}f(x,y)\,d\nu}\,d\mu$が存在して,重積分$\dint_{X\times Y}f(x,y)\,d(\mu\times\nu)$と一致する」ということができる.

また,以上で$X$と$Y$を入れ替えてもよく,結局,次が成り立つ.

[Fubiniの定理II] $\sigma$-有限測度空間$(X,\mathcal{A},\mu)$, $(Y,\mathcal{B},\nu)$に対して,$X\times Y$上の関数$f$が$X\times Y$上可積分であれば,$X$上ほとんど至るところで$f(x,\cdot)$は$Y$上可積分,かつ$Y$上ほとんど至るところで$f(\cdot,y)$は$X$上可積分で,次の等式が成り立つ:

\begin{align*} \int_{X\times Y}f(x,y)\,d(\mu\times\nu) =\int_{X}\bra{\int_{Y}f(x,y)\,d\nu}\,d\mu =\int_{Y}\bra{\int_{X}f(x,y)\,d\mu}\,d\nu \end{align*}

Tonelliの定理

次に[Tonelliの定理]について述べる.[Tonelliの定理]の主張は次の通りである.

[Tonelliの定理] $\sigma$-有限測度空間$(X,\mathcal{A},\mu)$, $(Y,\mathcal{B},\nu)$に対して,$X\times Y$上の関数$f$が$X\times Y$上可測かつ非負であれば,次の等式が$\infty$の値をとるときにも成り立つ:

\begin{align*} \int_{X\times Y}f(x,y)\,d(\mu\times\nu) =\int_{X}\bra{\int_{Y}f(x,y)\,d\nu}\,d\mu =\int_{Y}\bra{\int_{X}f(x,y)\,d\mu}\,d\nu \end{align*}

[Tonelliの定理]では,[Fubiniの定理]のような可積分性の条件を必要としない.ただ,$f$が可測かつ非負でさえあれば,重積分と累次積分が一致することを主張している.

[Fubiniの定理]における(*)にあたるものがないのは,非負可測関数の積分は$\infty$を許せば必ず存在するからである.

したがって,$\dint_{Y}f(x,y)\,d\nu$は$X$上至るところで($\infty$を許して)存在するし,$\dint_{X}f(x,y)\,d\mu$は$Y$上至るところで($\infty$を許して)存在する.

Fubini-Tonelliの定理

[Fubiniの定理]の問題点は,重積分$\dint_{X\times Y}|f(x,y)|\,d(\mu\times\nu)$が有限であることを先に示さなければならないことにある.多くの場合で重積分の計算は簡単でないため,使いにくいことがある.

一方,[Tonelliの定理]の問題点は,非負値関数に対してのみ有効であることにある.

これらの「いいとこどり」をしよう,というのが[Fubini-Tonelliの定理]である.[Fubini-Tonelliの定理]の主張は次の通りである.

[Fubini-Tonelliの定理] $\sigma$-有限測度空間$(X,\mathcal{A},\mu)$, $(Y,\mathcal{B},\nu)$, $X\times Y$上の可測関数$f$に対して,

\begin{align*} \int_{X\times Y}|f(x,y)|d(\mu\times\nu) =\int_{X}\bra{\int_{Y}|f(x,y)|d\nu}d\mu =\int_{Y}\bra{\int_{X}|f(x,y)|d\mu}d\nu \end{align*}

が成り立ち,この値が有限であれば,次の等式が有限の値で成り立つ:

\begin{align*} \int_{X\times Y}f(x,y)\,d(\mu\times\nu) =\int_{X}\bra{\int_{Y}f(x,y)\,d\nu}\,d\mu =\int_{Y}\bra{\int_{X}f(x,y)\,d\mu}\,d\nu \end{align*}

[Fubini-Tonelliの定理]は[Fubiniの定理],[Tonelliの定理]から,次のようにして直ちに導くことができる.

[証明]

$f$が可測関数なら,$|f|$は非負可測関数だから,Tonelliの定理より

\begin{align*} \int_{X\times Y}|f(x,y)|\,d(\mu\times\nu) =\int_{X}\bra{\int_{Y}|f(x,y)|\,d\nu}\,d\mu =\int_{Y}\bra{\int_{X}|f(x,y)|\,d\mu}\,d\nu \end{align*}

が成り立つ.

また,この値が有限であるとすると,$|f|$が$X\times Y$上可積分だから$f$は$X\times Y$上可積分である.よって,Fubiniの定理より

\begin{align*} \int_{X\times Y}f(x,y)\,d(\mu\times\nu) =\int_{X}\bra{\int_{Y}f(x,y)\,d\nu}\,d\mu =\int_{Y}\bra{\int_{X}f(x,y)\,d\mu}\,d\nu \end{align*}

が成り立つ.

[証明終]

応用上,[Fubini-Tonelliの定理]は累次積分

  • $\dint_{X}\bra{\int_{Y}|f(x,y)|\,d\nu}\,d\mu$
  • $\dint_{Y}\bra{\int_{X}|f(x,y)|\,d\mu}\,d\nu$

のどちらかが計算でき,有限の値を持てば$f$の重積分と累次積分は一致する」として用いることが多い.

(むしろ,重積分$\dint_{X\times Y}|f(x,y)|\,d\mu\times\nu$が計算できるなら,Fubiniの定理のみで十分である.)

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