リーマン積分でもそうでしたが,ルベーグ積分もどんな関数に対しても定義できるわけではありません.
実はルベーグ積分を考えられる関数はルベーグ可測関数と呼ばれる関数に限るため,ルベーグ積分を考える上でルベーグ可測関数は欠かせない関数となっています.
この記事では
- ルベーグ可測関数の定義
- ルベーグ可測関数の具体例
- ルベーグ可測関数であるための必要十分条件
を順に説明します.
以下ではルベーグ可測集合のことを単に「可測集合」と呼び,$\R$上のルベーグ可測集合全部の族を$\mathcal{L}$で表します.
「ルベーグ積分の基本」の一連の記事
- ルベーグ積分入門
- ルベーグ測度
- ルベーグ可測関数とルベーグ積分
- ルベーグ積分の性質と項別積分
ルベーグ可測関数の定義
ルベーグ可測関数は可測集合を用いて定義されます.
可測集合$A$に対して,関数$f:A\to\overline{\R}$が$A$上ルベーグ可測関数(または単に可測関数)であるとは,任意の$\alpha\in\R$に対して
が可測集合であることをいう.
ただし,$f$の終集合$\overline{\R}$は拡大実数$\R\cup\{\infty,-\infty\}$である.
ここまでで可測集合と可測関数の2つの「可測」が定義されましたが,これらは別物なので混同しないように注意してください.
ざっくり言えば,可測集合上の関数$f$の「標高」が$\alpha$より高くなる$x$の集合が可測集合であるとき,$f$を可測関数というわけですね.
ルベーグ可測関数の具体例
以下でいくつか具体的に可測関数を考えてみましょう.
例1
関数$f:\R\to\R$を
で定めるとき,$f$が$\R$上ルベーグ可測関数であることを証明せよ.
定義域の$\R$は可測集合である.任意に$\alpha\in\R$に対して,
である.一般に区間は可測集合なので$\set{x\in\R}{f(x)\ge\alpha}\in\mathcal{L}$である.
よって,定義から$f$はルベーグ可測関数である.
例2
$I=[0,\infty)$とする.関数$f:I\to\R$を
で定めるとき,$f$が$I$上ルベーグ可測関数であることを証明せよ.
一般に区間は可測集合だから,定義域の$I\subset\R$は可測集合である.任意の$\alpha\in\R$に対して,
である.任意の区間は可測集合なので$\set{x\in\R}{f(x)\ge\alpha}\in\mathcal{L}$である.
よって,定義から$f$はルベーグ可測関数である.
例3
関数$f:\R\to\R$を
で定めるとき,$f$が$\R$上ルベーグ可測関数であることを証明せよ.
定義域の$\R$は可測集合である.任意に$\alpha\in\R$をとる.
[2] $\alpha\le0$のとき
である.$\R\in\mathcal{L}$なので$\set{x\in\R}{f(x)\ge\alpha}\in\mathcal{L}$である.
[2] $\alpha>0$のとき
である.一般に区間は可測集合で,可測集合の和集合も可測集合なので$\set{x\in\R}{f(x)\ge\alpha}\in\mathcal{L}$である.
[1], [2]より,定義から$f$はルベーグ可測関数である.
実は次の記事で示すように,可測集合上の連続関数は必ず可測関数となります.このことを知っていれば,いまみた3つの例はいずれも可測であることが分かりますね.
ルベーグ可測関数であるための必要十分条件
ルベーグ可測関数であるための必要十分条件を2つ紹介します.
必要十分条件1
可測集合$A$と関数$f:A\to\overline{\R}$に対して,次は同値である.
- $f$はルベーグ可測関数
- 任意の$\alpha\in\R$に対して$\set{x\in A}{f(x)>\alpha}\in\mathcal{L}$
- 任意の$\alpha\in\R$に対して$\set{x\in A}{f(x)\le\alpha}\in\mathcal{L}$
- 任意の$\alpha\in\R$に対して$\set{x\in A}{f(x)<\alpha}\in\mathcal{L}$
この記事では集合$\set{x\in A}{f(x)\ge\alpha}$を用いてルベーグ可測関数を定義したことを思い出しましょう.
この定理は集合$\set{x\in A}{f(x)\ge\alpha}$の条件部分の不等号を$>,\le,<$としても,全く同じことだということを示しているわけですね.
一般に可測集合の補集合は可測集合であり,
から$(1)\iff(4)$が成り立つ.同様に$(2)\iff(3)$が成り立つから,$(1)\iff(2)$を示せば定理が従う.
[$(1)\Ra(2)$の証明] 任意の$\alpha\in\R$に対して,
である.(1)が成り立つなら
であり,一般に可測集合の和集合も可測集合だから$\set{x\in A}{f(x)>\alpha}\in\mathcal{L}$である.
[$(2)\Ra(1)$の証明] 任意の$\alpha\in\R$に対して,
である.(2)が成り立つなら
であり,一般に可測集合の共通部分も可測集合だから$\set{x\in A}{f(x)\ge\alpha}\in\mathcal{L}$である.
よって,$f$は$A$上ルベーグ可測関数である.
これらを組み合わせると,次の系が成り立つことも分かりますね.
可測集合$A$と関数$f:A\to\overline{\R}$とに対して,次の集合はいずれも可測集合である.
ただし,$\alpha,\beta\in\R$である.
いずれの集合も可測集合
のうちの2つの共通部分で表せる.一般に可測集合の共通部分も可測集合だから,系の4つの集合はいずれも可測集合である.
必要十分条件2
可測集合$A$と関数$f:A\to\overline{\R}$に対して,次は同値である.
- $f$はルベーグ可測関数
- 任意の$r\in\Q$に対して$\set{x\in A}{f(x)\ge r}\in\mathcal{L}$
(1)より(2)の方が明らかに弱い条件になっていることに注意しましょう.
すなわち,(2)が成り立てば自動的に無理数$\alpha$に対しても$\set{x\in A}{f(x)\ge\alpha}\in\mathcal{L}$であることが成り立つというわけですね.
(1)が成り立てば,任意の$r\in\Q\subset\R$に対して$\set{x\in A}{f(x)\ge r}$は可測集合だから(2)が成り立つ.
一方,(2)が成り立つとし,任意に$\alpha\in\R$をとる.
実数における有理数の稠密性より$\lim\limits_{n\to\infty}r_n=\alpha$となる単調増加有理数列$\{r_n\}$が存在するから,
が成り立つ.全ての$\set{x\in A}{f(x)\ge r_n}$ ($n=1,2,\dots$)が可測集合であり,一般に可測集合の共通部分も可測集合だから$\set{x\in A}{f(x)\ge\alpha}\in\mathcal{L}$である.
よって,$f$は$A$上ルベーグ可測関数である.
コメント