ルベーグ可測関数の定義と具体例｜ルベーグ積分の考え方

リーマン積分でもそうでしたが，ルベーグ積分もどんな関数に対しても定義できるわけではありません．

実はルベーグ積分を考えられる関数はルベーグ可測関数と呼ばれる関数に限るため，ルベーグ積分を考える上でルベーグ可測関数は欠かせない関数となっています．

この記事では

ルベーグ可測関数の定義
ルベーグ可測関数の具体例
ルベーグ可測関数であるための必要十分条件

を順に説明します．

以下ではルベーグ可測集合のことを単に「可測集合」と呼び，$\R$上のルベーグ可測集合全部の族を$\mathcal{L}$で表します．

「ルベーグ積分の基本」の一連の記事

ルベーグ積分入門
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ルベーグ測度

ルベーグ可測関数とルベーグ積分

ルベーグ積分の性質と項別積分
1. 12. 非負値可測関数のルベーグ積分の基本性質
2. 13. 単関数列の項別積分定理の考え方・応用・証明
3. 14. ルベーグの単調収束定理と具体例と証明
4. 15. ファトゥの補題の使い方を例題から理解する
5. ルベーグの収束定理と具体例(準備中)

ルベーグ積分の参考文献
1. ルベグ積分入門
2. ルベーグ積分と関数解析
ルベーグ可測関数の定義
ルベーグ可測関数の具体例
ルベーグ可測関数であるための必要十分条件
1. 必要十分条件１
2. 必要十分条件２

ルベーグ積分の参考文献

以下はルベーグ積分に関するオススメの教科書です．

ルベグ積分入門

ロングセラーの入門書です．専門書ですが，文庫なので安く購入できるのも魅力です．

ルベーグ積分と関数解析

ルベーグ積分から更なるステップに進みたい人向けの教科書です．

ルベーグ可測関数の定義

ルベーグ可測関数は可測集合を用いて定義されます．

可測集合$A$に対して，関数$f:A\to\overline{\R}$が$A$上ルベーグ可測関数（または単に可測関数）であるとは，任意の$\alpha\in\R$に対して

$\begin{align*}\set{x\in A}{f(x)\ge\alpha}\end{align*}$

が可測集合であることをいう．

ただし，$f$の終集合$\overline{\R}$は拡大実数$\R\cup\{\infty,-\infty\}$である．

ここまでで可測集合と可測関数の２つの「可測」が定義されましたが，これらは別物なので混同しないように注意してください．

ざっくり言えば，可測集合上の関数$f$の「標高」が$\alpha$より高くなる$x$の集合が可測集合であるとき，$f$を可測関数というわけですね．

ルベーグ可測関数の具体例

以下でいくつか具体的に可測関数を考えてみましょう．

例１

関数$f:\R\to\R$を

$\begin{align*}f(x)=\frac{1}{2}x\end{align*}$

で定めるとき，$f$が$\R$上ルベーグ可測関数であることを証明せよ．

定義域の$\R$は可測集合である．任意に$\alpha\in\R$に対して，

$\begin{align*}\set{x\in\R}{f(x)\ge\alpha} =&\set{x\in\R}{\frac{1}{2}x\ge\alpha} \\=&\set{x\in\R}{x\ge2\alpha} \\=&[2\alpha,\infty)\end{align*}$

である．一般に区間は可測集合なので$\set{x\in\R}{f(x)\ge\alpha}\in\mathcal{L}$である．

よって，定義から$f$はルベーグ可測関数である．

例２

$I=[0,\infty)$とする．関数$f:I\to\R$を

$\begin{align*}f(x)=-\log{x}\end{align*}$

で定めるとき，$f$が$I$上ルベーグ可測関数であることを証明せよ．

一般に区間は可測集合だから，定義域の$I\subset\R$は可測集合である．任意の$\alpha\in\R$に対して，

$\begin{align*}\set{x\in\R}{f(x)\ge\alpha} =&\set{x\in\R}{-\log{x}\ge\alpha} \\=&\set{x\in\R}{x\le e^{-\alpha}} \\=&(0,e^{-\alpha}]\end{align*}$

である．任意の区間は可測集合なので$\set{x\in\R}{f(x)\ge\alpha}\in\mathcal{L}$である．

よって，定義から$f$はルベーグ可測関数である．

例３

関数$f:\R\to\R$を

$\begin{align*}f(x)=x^2\end{align*}$

で定めるとき，$f$が$\R$上ルベーグ可測関数であることを証明せよ．

定義域の$\R$は可測集合である．任意に$\alpha\in\R$をとる．

[2]　$\alpha\le0$のとき

$\begin{align*}\set{x\in\R}{f(x)\ge\alpha} =\set{x\in\R}{x^2\ge\alpha} =\R\end{align*}$

である．$\R\in\mathcal{L}$なので$\set{x\in\R}{f(x)\ge\alpha}\in\mathcal{L}$である．

[2]　$\alpha>0$のとき

$\begin{align*}\set{x\in\R}{f(x)\ge\alpha} =&\set{x\in\R}{x^2\ge\alpha} \\=&\set{x\in\R}{x\le-\sqrt{\alpha},\sqrt{\alpha}\le x} \\=&\bigl(-\infty,-\sqrt{\alpha}\bigr]\cup\bigl[\sqrt{\alpha},\infty\bigr)\end{align*}$

である．一般に区間は可測集合で，可測集合の和集合も可測集合なので$\set{x\in\R}{f(x)\ge\alpha}\in\mathcal{L}$である．

[1], [2]より，定義から$f$はルベーグ可測関数である．

実は次の記事で示すように，可測集合上の連続関数は必ず可測関数となります．このことを知っていれば，いまみた３つの例はいずれも可測であることが分かりますね．

ルベーグ可測関数であるための必要十分条件

ルベーグ可測関数であるための必要十分条件を２つ紹介します．

必要十分条件１

可測集合$A$と関数$f:A\to\overline{\R}$に対して，次は同値である．

$f$はルベーグ可測関数
任意の$\alpha\in\R$に対して$\set{x\in A}{f(x)>\alpha}\in\mathcal{L}$
任意の$\alpha\in\R$に対して$\set{x\in A}{f(x)\le\alpha}\in\mathcal{L}$
任意の$\alpha\in\R$に対して$\set{x\in A}{f(x)<\alpha}\in\mathcal{L}$

この記事では集合$\set{x\in A}{f(x)\ge\alpha}$を用いてルベーグ可測関数を定義したことを思い出しましょう．

この定理は集合$\set{x\in A}{f(x)\ge\alpha}$の条件部分の不等号を$>,\le,<$としても，全く同じことだということを示しているわけですね．

一般に可測集合の補集合は可測集合であり，

$\begin{align*}\set{x\in A}{f(x)\ge\alpha}^c=\set{x\in A}{f(x)<\alpha}\end{align*}$

から$(1)\iff(4)$が成り立つ．同様に$(2)\iff(3)$が成り立つから，$(1)\iff(2)$を示せば定理が従う．

[$(1)\Ra(2)$の証明] 任意の$\alpha\in\R$に対して，

$\begin{align*}\set{x\in A}{f(x)>\alpha} =\bigcup_{n=1}^{\infty}\set{x\in A}{f(x)\ge\alpha+\frac{1}{n}}\end{align*}$

である．(1)が成り立つなら

$\begin{align*}\set{x\in A}{f(x)\ge\alpha+\frac{1}{n}}\in\mathcal{L}\quad (n=1,2,\dots)\end{align*}$

であり，一般に可測集合の和集合も可測集合だから$\set{x\in A}{f(x)>\alpha}\in\mathcal{L}$である．

[$(2)\Ra(1)$の証明] 任意の$\alpha\in\R$に対して，

$\begin{align*}\set{x\in A}{f(x)\ge\alpha} =\bigcap_{n=1}^{\infty}\set{x\in A}{f(x)>\alpha-\frac{1}{n}}\end{align*}$

である．(2)が成り立つなら

$\begin{align*}\set{x\in A}{f(x)>\alpha-\frac{1}{n}}\in\mathcal{L}\quad (n=1,2,\dots)\end{align*}$

であり，一般に可測集合の共通部分も可測集合だから$\set{x\in A}{f(x)\ge\alpha}\in\mathcal{L}$である．

よって，$f$は$A$上ルベーグ可測関数である．

これらを組み合わせると，次の系が成り立つことも分かりますね．

可測集合$A$と関数$f:A\to\overline{\R}$とに対して，次の集合はいずれも可測集合である．

$\begin{align*}&\set{x\in A}{\alpha<f(x)<\beta},\quad \set{x\in A}{\alpha<f(x)\le\beta}, \\&\set{x\in A}{\alpha\le f(x)<\beta},\quad \set{x\in A}{\alpha\le f(x)\le\beta}\end{align*}$

ただし，$\alpha,\beta\in\R$である．

いずれの集合も可測集合

$\begin{align*}&\set{x\in A}{f(x)>\alpha},\quad \set{x\in A}{f(x)\ge\alpha}, \\&\set{x\in A}{f(x)<\beta},\quad \set{x\in A}{f(x)\le\beta}\end{align*}$