ルベーグ積分7|可測関数の定義・具体例・必要十分条件

ルベーグ積分の基本
ルベーグ積分の基本

リーマン積分でもそうでしたが,ルベーグ積分もどんな関数に対しても定義できるわけではありません.

実はルベーグ積分を考えられる関数はルベーグ可測関数と呼ばれる関数に限るため,ルベーグ積分を考える上でルベーグ可測関数は欠かせない関数となっています.

この記事では

  • ルベーグ可測関数の定義
  • ルベーグ可測関数の具体例
  • ルベーグ可測関数であるための必要十分条件

を順に説明します.

以下ではルベーグ可測集合のことを単に「可測集合」と呼び,$\R$上のルベーグ可測集合全部の族を$\mathcal{L}$で表します.

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ルベーグ可測関数の定義

ルベーグ可測関数は可測集合を用いて定義されます.

可測集合$A$に対して,関数$f:A\to\overline{\R}$が$A$上ルベーグ可測関数(または単に可測関数)であるとは,任意の$\alpha\in\R$に対して

   \begin{align*}\set{x\in A}{f(x)\ge\alpha}\end{align*}

が可測集合であることをいう.

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ただし,$f$の終集合$\overline{\R}$は拡大実数$\R\cup\{\infty,-\infty\}$である.

ここまでで可測集合と可測関数の2つの「可測」が定義されましたが,これらは別物なので混同しないように注意してください.

ざっくり言えば,可測集合上の関数$f$の「標高」が$\alpha$より高くなる$x$の集合が可測集合であるとき,$f$を可測関数というわけですね.

ルベーグ可測関数の具体例

以下でいくつか具体的に可測関数を考えてみましょう.

例1

関数$f:\R\to\R$を

   \begin{align*}f(x)=\frac{1}{2}x\end{align*}

で定めるとき,$f$が$\R$上ルベーグ可測関数であることを証明せよ.

定義域の$\R$は可測集合である.任意に$\alpha\in\R$に対して,

   \begin{align*}\set{x\in\R}{f(x)\ge\alpha} =&\set{x\in\R}{\frac{1}{2}x\ge\alpha} \\=&\set{x\in\R}{x\ge2\alpha} \\=&[2\alpha,\infty)\end{align*}

である.一般に区間は可測集合なので$\set{x\in\R}{f(x)\ge\alpha}\in\mathcal{L}$である.

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よって,定義から$f$はルベーグ可測関数である.

例2

$I=[0,\infty)$とする.関数$f:I\to\R$を

   \begin{align*}f(x)=-\log{x}\end{align*}

で定めるとき,$f$が$I$上ルベーグ可測関数であることを証明せよ.

一般に区間は可測集合だから,定義域の$I\subset\R$は可測集合である.任意の$\alpha\in\R$に対して,

   \begin{align*}\set{x\in\R}{f(x)\ge\alpha} =&\set{x\in\R}{-\log{x}\ge\alpha} \\=&\set{x\in\R}{x\le e^{-\alpha}} \\=&(0,e^{-\alpha}]\end{align*}

である.任意の区間は可測集合なので$\set{x\in\R}{f(x)\ge\alpha}\in\mathcal{L}$である.

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よって,定義から$f$はルベーグ可測関数である.

例3

関数$f:\R\to\R$を

   \begin{align*}f(x)=x^2\end{align*}

で定めるとき,$f$が$\R$上ルベーグ可測関数であることを証明せよ.

定義域の$\R$は可測集合である.任意に$\alpha\in\R$をとる.

[2] $\alpha\le0$のとき

   \begin{align*}\set{x\in\R}{f(x)\ge\alpha} =\set{x\in\R}{x^2\ge\alpha} =\R\end{align*}

である.$\R\in\mathcal{L}$なので$\set{x\in\R}{f(x)\ge\alpha}\in\mathcal{L}$である.

[2] $\alpha>0$のとき

   \begin{align*}\set{x\in\R}{f(x)\ge\alpha} =&\set{x\in\R}{x^2\ge\alpha} \\=&\set{x\in\R}{x\le-\sqrt{\alpha},\sqrt{\alpha}\le x} \\=&\bigl(-\infty,-\sqrt{\alpha}\bigr]\cup\bigl[\sqrt{\alpha},\infty\bigr)\end{align*}

である.一般に区間は可測集合で,可測集合の和集合も可測集合なので$\set{x\in\R}{f(x)\ge\alpha}\in\mathcal{L}$である.

[1], [2]より,定義から$f$はルベーグ可測関数である.

実は次の記事で示すように,可測集合上の連続関数は必ず可測関数となります.このことを知っていれば,いまみた3つの例はいずれも可測であることが分かりますね.

ルベーグ可測関数であるための必要十分条件

ルベーグ可測関数であるための必要十分条件を2つ紹介します.

必要十分条件1

可測集合$A$と関数$f:A\to\overline{\R}$に対して,次は同値である.

  1. $f$はルベーグ可測関数
  2. 任意の$\alpha\in\R$に対して$\set{x\in A}{f(x)>\alpha}\in\mathcal{L}$
  3. 任意の$\alpha\in\R$に対して$\set{x\in A}{f(x)\le\alpha}\in\mathcal{L}$
  4. 任意の$\alpha\in\R$に対して$\set{x\in A}{f(x)<\alpha}\in\mathcal{L}$

この記事では集合$\set{x\in A}{f(x)\ge\alpha}$を用いてルベーグ可測関数を定義したことを思い出しましょう.

この定理は集合$\set{x\in A}{f(x)\ge\alpha}$の条件部分の不等号を$>,\le,<$としても,全く同じことだということを示しているわけですね.

一般に可測集合の補集合は可測集合であり,

   \begin{align*}\set{x\in A}{f(x)\ge\alpha}^c=\set{x\in A}{f(x)<\alpha}\end{align*}

から$(1)\iff(4)$が成り立つ.同様に$(2)\iff(3)$が成り立つから,$(1)\iff(2)$を示せば定理が従う.

[$(1)\Ra(2)$の証明] 任意の$\alpha\in\R$に対して,

   \begin{align*}\set{x\in A}{f(x)>\alpha} =\bigcup_{n=1}^{\infty}\set{x\in A}{f(x)\ge\alpha+\frac{1}{n}}\end{align*}

である.(1)が成り立つなら

   \begin{align*}\set{x\in A}{f(x)\ge\alpha+\frac{1}{n}}\in\mathcal{L}\quad (n=1,2,\dots)\end{align*}

であり,一般に可測集合の和集合も可測集合だから$\set{x\in A}{f(x)>\alpha}\in\mathcal{L}$である.

[$(2)\Ra(1)$の証明] 任意の$\alpha\in\R$に対して,

   \begin{align*}\set{x\in A}{f(x)\ge\alpha} =\bigcap_{n=1}^{\infty}\set{x\in A}{f(x)>\alpha-\frac{1}{n}}\end{align*}

である.(2)が成り立つなら

   \begin{align*}\set{x\in A}{f(x)>\alpha-\frac{1}{n}}\in\mathcal{L}\quad (n=1,2,\dots)\end{align*}

であり,一般に可測集合の共通部分も可測集合だから$\set{x\in A}{f(x)\ge\alpha}\in\mathcal{L}$である.

よって,$f$は$A$上ルベーグ可測関数である.

これらを組み合わせると,次の系が成り立つことも分かりますね.

可測集合$A$と関数$f:A\to\overline{\R}$とに対して,次の集合はいずれも可測集合である.

   \begin{align*}&\set{x\in A}{\alpha<f(x)<\beta},\quad \set{x\in A}{\alpha<f(x)\le\beta}, \\&\set{x\in A}{\alpha\le f(x)<\beta},\quad \set{x\in A}{\alpha\le f(x)\le\beta}\end{align*}

ただし,$\alpha,\beta\in\R$である.

いずれの集合も可測集合

   \begin{align*}&\set{x\in A}{f(x)>\alpha},\quad \set{x\in A}{f(x)\ge\alpha}, \\&\set{x\in A}{f(x)<\beta},\quad \set{x\in A}{f(x)\le\beta}\end{align*}

のうちの2つの共通部分で表せる.一般に可測集合の共通部分も可測集合だから,系の4つの集合はいずれも可測集合である.

必要十分条件2

可測集合$A$と関数$f:A\to\overline{\R}$に対して,次は同値である.

  1. $f$はルベーグ可測関数
  2. 任意の$r\in\Q$に対して$\set{x\in A}{f(x)\ge r}\in\mathcal{L}$

(1)より(2)の方が明らかに弱い条件になっていることに注意しましょう.

すなわち,(2)が成り立てば自動的に無理数$\alpha$に対しても$\set{x\in A}{f(x)\ge\alpha}\in\mathcal{L}$であることが成り立つというわけですね.

(1)が成り立てば,任意の$r\in\Q\subset\R$に対して$\set{x\in A}{f(x)\ge r}$は可測集合だから(2)が成り立つ.

一方,(2)が成り立つとし,任意に$\alpha\in\R$をとる.

実数における有理数の稠密性より$\lim\limits_{n\to\infty}r_n=\alpha$となる単調増加有理数列$\{r_n\}$が存在するから,

   \begin{align*}\set{x\in A}{f(x)\ge\alpha} =\bigcap_{n=1}^{\infty}\set{x\in A}{f(x)\ge r_n}\end{align*}

が成り立つ.全ての$\set{x\in A}{f(x)\ge r_n}$ ($n=1,2,\dots$)が可測集合であり,一般に可測集合の共通部分も可測集合だから$\set{x\in A}{f(x)\ge\alpha}\in\mathcal{L}$である.

よって,$f$は$A$上ルベーグ可測関数である.

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