ルベーグ積分の定義｜単関数近似定理をふまえて

前々回の記事でルベーグ可測単関数のルベーグ積分を定義し，前回の記事ではルベーグ可測関数がルベーグ可測単関数列で近似できることを説明しました．

これらを踏まえると，ルベーグ可測集合$A$上のルベーグ可測関数$f$をルベーグ可測単関数列$\{f_n\}$で近似したとき，

$\begin{align*}\lim_{n\to\infty}\int_{A}f_{n}(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\int_{A}f(x)\,dx\end{align*}$

となるように，一般のルベーグ可測関数$f$に対するルベーグ積分を定義したいところですね．

この記事では

非負値可測関数のルベーグ積分
一般の非負値可測関数のルベーグ積分

を順に説明します．

以下では

ルベーグ可測集合のことを単に「可測集合」
ルベーグ可測関数のことを単に「可測関数」

と呼び，$\R$上のルベーグ可測集合全部の族を$\mathcal{L}$で表します．

「ルベーグ積分の基本」の一連の記事

ルベーグ積分入門
1. 0. ルベーグ積分の基礎｜リーマン積分の先へ！積分の歴史から紹介

ルベーグ測度

ルベーグ可測関数とルベーグ積分

ルベーグ積分の性質と項別積分
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3. ルベーグの単調収束定理と具体例(準備中)
4. ルベーグの収束定理と具体例(準備中)

ルベーグ積分の参考文献
1. ルベグ積分入門
2. ルベーグ積分と関数解析
非負値可測関数のルベーグ積分
1. ルベーグ可測単関数のルベーグ積分（復習）
2. 非負値可測関数のルベーグ積分の定義
一般の可測関数のルベーグ積分
1. 正成分と負成分（復習）
2. 一般の可測関数のルベーグ積分の定義

ルベーグ積分の参考文献

以下はルベーグ積分に関するオススメの教科書です．

ルベグ積分入門

ロングセラーの入門書です．専門書ですが，文庫なので安く購入できるのも魅力です．

ルベーグ積分と関数解析

ルベーグ積分から更なるステップに進みたい人向けの教科書です．

非負値可測関数のルベーグ積分

ここでは可測単関数に対するルベーグ積分を復習して，一般の可測関数に対してルベーグ積分を定義します．

ルベーグ可測単関数のルベーグ積分（復習）

単関数が可測関数であるときのルベーグ積分は次のように定義されるのでした．

$A\in\mathcal{L}$上の可測単関数$f$が有限個の値$\alpha_1,\dots,\alpha_n$のみとるとき，

$\begin{align*}\int_{A}f(x)\,dx=\sum_{k=1}^{n}\alpha_k\times m(\set{x\in A}{f(x)=\alpha_k})\end{align*}$

を可測単関数$f$の$A$上のルベーグ積分 (Lebesgue integral)という．

言い換えれば，可測単関数$f$の値域が$\{\alpha_1,\dots,\alpha_n\}$のとき，

$\alpha_1\times(f(x)=\alpha_1$となる$x$の集合の測度$)$
$\alpha_2\times(f(x)=\alpha_2$となる$x$の集合の測度$)$
……
$\alpha_n\times(f(x)=\alpha_n$となる$x$の集合の測度$)$

を足し合わせたものを$f$のルベーグ積分というわけですね．

例えば，上のグラフをもつ可測単関数$f$のルベーグ積分は

$\begin{align*}\int_{[0,3]}f(x)\,dx =1\times1+2\times\frac{3}{2}+3\times\frac{1}{2} =\frac{11}{2}\end{align*}$

となるわけですね．

非負値可測関数のルベーグ積分の定義

ここで前回の記事で証明した次の単関数近似定理を思い出しておきましょう．

$A\in\mathcal{L}$上の非負値可測関数$f$に対して，ある非負単関数列$\{f_n\}$が存在して，

任意の$n$に対して$f_n$は可測関数
$\{f_n\}$は広義単調増加
$\lim\limits_{n\to\infty}f_n=f$

が成り立つ．

この定理をふまえて非負値可測関数のルベーグ積分を次のように定義します．

$A\in\mathcal{L}$上の非負値可測関数$f$と，$A$の分割

$A=A_1\cup A_2\cup\dots\cup A_n$
$A_i\cap A_j=\emptyset$ ($i\neq j$)
$A_1,A_2,\dots,A_n\in\mathcal{L}$

を考え，$\alpha_k:=\inf_{x\in A_k}f(x)$とする．このとき，$A$の分割をさまざまに取ったときの和

$\begin{align*}\alpha_1 m(A_1)+\alpha_2 m(A_2)+\dots+\alpha_n m(A_n)\quad\dots(*)\end{align*}$

の集合の上限を$\dint_{A}f(x)\,dx$と表し，非負値可測関数$f$の$A$上のルベーグ積分という．

この非負値可測関数のルベーグ積分は，関数を下から近似しているようなイメージですね．

例えば，$A=[-1,1]$とし非負値関数$f:A\to\R;x\mapsto -x^2+1$を考えましょう．$n=6$で

$\begin{align*}&A_1:=[-1,-0.7],\quad A_2:=(-0.7,-0.3),\quad A_3:=[-0.3,0.1], \\&A_4:=(0.1,0.5],\quad A_5:=(0.5,0.8],\quad A_6:=(0.8,1]\end{align*}$

とすると，和$(*)$は下図の色付き部分の面積になりますね．

$A$の分割はこの他にも無数に考えられ，もっと細かく分割していくと$y=f(x)$と$x$軸に囲まれる領域の面積に近付いていくことが見てとれます．

このように$A$をさまざまに分割してできる和$(*)$の上限を$f$のルベーグ積分と定めるわけですね．

このように定義すると，単関数近似定理で示された下から単調に非負値可測関数$f$に各点収束する可測単関数列$\{f_n\}$に関して，項別積分

$\begin{align*}\lim_{n\to\infty}\int_{A}f_{n}(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\int_{A}f(x)\,dx\end{align*}$

が成り立つことが証明できます．この証明には少し準備が必要なので，のちの記事で示します．

一般の可測関数のルベーグ積分

非負とは限らない一般の可測関数$f$のルベーグ積分は，$f$の正成分・負成分に分けて定義されます．

正成分と負成分（復習）

まずは関数の正成分・負成分について確認しておきましょう．

$A\subset\R$とする．関数$f:A\to\R$に対して，

$\begin{align*}f_+(x)=\max\{f(x),0\},\quad f_-(x)=\max\{-f(x),0\}\end{align*}$

で定まる関数$f_+,f_-:A\to\R$をそれぞれ$f$の正成分，負成分という．

つまり，

関数の負の部分を全て０にしたものが正成分
関数の正の部分を全て０にして$-1$をかけたものが負成分

ですね．また，次の補題も思い出しておきましょう．

$A\in\mathcal{L}$上の可測関数$f$に対して，正成分$f_+$と負成分$f_-$はともに非負値可測関数である．

この補題から可測関数$f$の正成分$f_-$と負成分$f_+$には非負値可測関数のルベーグ積分が定義されることが分かりますね．

一般の可測関数のルベーグ積分の定義

一般の可測関数$f$のルベーグ積分は(正成分$f_+$のルベーグ積分)-(負成分$f_-$のルベーグ積分)で定義されます．

$A\in\mathcal{L}$上の可測関数$f$を考える．正成分$f_+$と負成分$f_-$の非負値可測関数のルベーグ積分について，

$\int_{A}f_+(x)\,dx<\infty$
$\int_{A}f_-(x)\,dx<\infty$

のいずれか一方を満たすとき，

$\begin{align*}\int_{A}f_+(x)\,dx-\int_{A}f_-(x)\,dx\end{align*}$

を$\dint_{A}f(x)\,dx$と表し，可測関数$f$の$A$上のルベーグ積分という．

また，(1), (2)の両方を満たすとき，すなわちルベーグ積分が有限の値をとるとき，$f$はルベーグ可積分関数という．

$\int_{A}f_+(x)\,dx$と$\int_{A}f_-(x)\,dx$がともに$\infty$の場合は$\infty-\infty$となって定義できないため，どちらか一方は$\infty$でない場合のみ定義するわけですね．

ルベーグ積分11｜一般の可測関数にルベーグ積分を定義する