１と−１を交互に足し続ける級数
\begin{align*}1-1+1-1+1-1+\dots\quad(*)\end{align*}
は部分和が１と０を繰り返すので収束しない級数ですね．
しかし，普通の級数の収束を拡張したチェザロ総和という考え方のもとでは，級数$(*)$が$\dfrac{1}{2}$に総和可能であるということができます．
このように普通の意味では収束していない級数にも，チェザロ総和の意味では和を考えることができる場合があります．
この記事では
- チェザロ総和の定義と意味
- チェザロ総和の具体例
を順に解説します．
チェザロ総和の定義と意味
まずはチェザロ総和の基礎とチェザロ総和の定義を解説します．
前提知識
チェザロ総和の定義の意味を理解するためには，次の定理が重要です．
［収束列の平均極限］実数列$\{s_n\}$が$s\in\R$に収束するとき，
\begin{align*}\lim_{n\to\infty}\frac{s_1+s_2+\dots+s_n}{n}=s\end{align*}
が成り立つ．
極限をとる前の
\begin{align*}\frac{s_1+s_2+\dots+s_n}{n}\end{align*}
は初項から第$n$項までの平均ですね．この平均を$\{s_n\}$のチェザロ平均ということがあります．
実数列$\{s_{n}\}$が$s\in\R$に収束するということから，この平均で極限$n\to\infty$をとったものは「$s$にどこまでも近い項の無限個の平均」と考えられるので，$s$に収束することが直観的にも理解できますね．
チェザロ総和の定義
今の定理を踏まえて，次の通りチェザロ総和が定義されます．
実数列$\{a_n\}$に対して，$s_n=a_1+a_2+\dots+a_n$とする．このとき，
\begin{align*}\lim_{n\to\infty}\frac{s_1+s_2+\dots+s_n}{n}\end{align*}
が有限の値に収束するとき，$\{a_n\}$の級数はチェザロ（Cesàro）総和可能であるといい，この極限をチェザロ総和という．
上の［収束列の平均極限］の定理から，実数列$\{a_n\}$の級数が
\begin{align*}\sum_{n=1}^{\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}s_n=s\end{align*}
と収束すれば，$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{s_1+s_2+\dots+s_n}{n}=s$が成り立つのでした．
すなわち，$\{a_n\}$の級数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$が値$s$に収束すれば，$\{a_n\}$はチェザロ総和可能でチェザロ総和は$s$となりますね．
逆にチェザロ総和可能でも通常の意味で収束するとは限りません．そのため，チェザロ総和は普通の級数の拡張として捉えることができますね．
チェザロ総和の具体例
それでは最後に，普通の意味では収束しない最初の級数の例が，チェザロ総和可能であることを確かめましょう．
一般項が$a_n=(-1)^{n+1}$で定まる実数列$\{a_n\}$の級数
\begin{align*}\sum_{n=1}^{\infty}a_n(=1-1+1-1+1-1+\dots)\end{align*}
は通常の意味では発散することを示せ．また，チェザロ総和可能であることを示し，チェザロ総和が$\dfrac{1}{2}$であることを示せ．
通常の意味では発散することの証明
定義より，数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの部分和を$s_n$とすると，問題の級数の部分和は
\begin{align*}s_n=\sum_{k=1}^{n}a_k=\begin{cases}1&(n=1,3,5,\dots)\\ 0&(n=2,4,6,\dots)\end{cases}\end{align*}
だから，$s_n$は収束しない．すなわち，$\{a_n\}$の級数は収束しない．
チェザロ総和可能であることの証明とチェザロ総和の値
実数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$s_{n}$は
\begin{align*}s_{n}
=\begin{cases}
1&(n=1,3,5,\dots)\\
0&(n=2,4,6,\dots)
\end{cases}\end{align*}
なので，
\begin{align*}\frac{s_{1}+s_{2}+\dots+s_{n}}{n}
&=\begin{cases}\frac{n+1}{2n}&(n=1,3,\dots)\\\frac{1}{2}&(n=2,4,\dots)\end{cases}
\\&\xrightarrow[]{n\to\infty}\frac{1}{2}\end{align*}
だからチェザロ総和可能で，チェザロ総和は$\dfrac{1}{2}$となります．
直感的な意味付け
なお，この$\dfrac{1}{2}$の直観的な理由付けとしては，この級数を$S$とおくと，
\begin{align*}-1+S
&=-1+(1-1+1-1+1-1+\dots)
\\&=-S\end{align*}
となるので，$-1+S=-S$から$S=\dfrac{1}{2}$となります．
ただし繰り返しますが，級数
\begin{align*}1-1+1-1+1-1+\dots\end{align*}
は普通の意味では発散でしかありません．あくまでチェザロ総和で意味をもつだけであることに注意してください．
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