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ガウス積分はどうやって求める?|極座標変換による計算

不定積分$\dint e^{-x^2}\,dx$は多項式,三角関数,指数・対数といった初等関数で表せないことが知られていますが,広義積分

\begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx \end{align*}

の値は計算することができます.

この広義積分はGauss(ガウス)積分Euler-Poisson(オイラー-ポアソン)積分などと呼ばれており,値が$\sqrt{\pi}$になることが知られています.

一般に$f(x)=Ae^{-(x-\mu)^2/2\sigma^2}$で定まる関数$f(x)$はGauss関数と呼ばれ,確率の分野では正規分布において本質的な関数です.

Gauss積分は$A=1$, $2\sigma^2=1$, $\mu=0$の場合のGauss関数の実数全体での積分というわけですね.

この記事では,Gauss積分の値が$\sqrt{\pi}$になることを極座標変換を用いて計算します.

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ガウス積分

Gauss積分が存在することを示し,実際にGauss積分を計算しましょう.

ガウス積分の存在

一般に,非負値関数$f(x)$の広義積分$\dint_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx$は

\begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx :=\lim_{t,s\to\infty}\int_{-s}^{t}f(x)\,dx \end{align*}

有限な積分区間$[-s,t]$で$f(x)$定積分の極限$s,t\to\infty$で定義されるのでした.

そのため,Gauss積分$\dint_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx$も広義積分ですから,被積分関数が$x$軸対称であることと併せると

\begin{align*} \int_{-t}^{t}e^{-x^2}\,dx \end{align*}

の極限$t\to\infty$がGauss積分の値です.

Gauss積分の値が$\sqrt{\pi}$になることを求めるのは少々面倒ですが,以下のように値が存在することを示すだけであればそれほど難しくありません.

Gauss積分$\dint_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx$が存在することを示せ.

任意の$t\in(1,\infty)$に対して,対称性より

\begin{align*} \int_{-t}^{t}e^{-x^2}\,dx =&2\int_{0}^{t}e^{-x^2}\,dx \\=&2\int_{0}^{1}e^{-x^2}\,dx+2\int_{1}^{t}e^{-x^2}\,dx \end{align*}

である.区間$[0,1]$で$e^{-x^2}$は連続だから$\dint_{0}^{1}e^{-x^2}\,dx$は値をもつ.

また,$\dint_{1}^{t}e^{-x^2}\,dx$は$t$について非減少であり,

\begin{align*} \int_{1}^{t}e^{-x^2}\,dx \le&\int_{1}^{t}e^{-x}\,dx =\brc{-e^{-x}}_{1}^{t} \\=&-\bra{e^{-t}-e^{-1}} \le\frac{1}{2e} \end{align*}

だから,$\dint_{1}^{t}e^{-x^2}\,dx$は$t$について有界である.一般に上に有界な非減少列は極限をもつから,極限

\begin{align*} \lim_{t\to\infty}\int_{1}^{t}e^{-x^2}\,dx \end{align*}

が存在する.以上より,広義積分$\dint_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx$が存在する.

ガウス積分の計算

それではGauss積分を計算します.

Gauss積分$\dint_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx=\sqrt{\pi}$を示せ.

$I(t):=\dint_{-t}^{t}e^{-x^2}\,dx$とすると,対称性より

\begin{align*} I(t)^2 =&\bra{\int_{-t}^{t}e^{-x^2}\,dx}\bra{\int_{-t}^{t}e^{-y^2}\,dy} \\=&\int_{-t}^{t}\bra{\int_{-t}^{t}e^{-x^2-y^2}\,dx}\,dy \\=&4\int_{0}^{t}\bra{\int_{0}^{t}e^{-x^2-y^2}\,dx}\,dy \\=&4\iint_{[0,t]\times[0,t]}e^{-x^2-y^2}\,d(x,y) \end{align*}

である.ここで,$D(r)\subset\R^2$を原点中心,半径$r$の閉円板の$x\ge0$かつ$y\ge0$の部分

\begin{align*} D(r):=\set{(x,y)\in\R^2}{x^2+y^2\le r^2, x\ge0, y\ge0} \end{align*}

とすると,積分領域$[0,t]\times[0,t]$は

\begin{align*} D(t)\subset[0,t]\times[0,t]\subset D(\sqrt{2}t) \end{align*}

をみたす.

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このとき,被積分関数$e^{-x^2-y^2}$は正値だから,積分領域が広い方が積分の値も大きいので

\begin{align*} 4\iint_{D(t)}e^{-x^2-y^2}\,d(x,y)<I(t)^2<4\iint_{D(\sqrt{2}t)}e^{-x^2-y^2}\,d(x,y) \end{align*}

が成り立つ.極座標変換$(x,y)=(r\cos{\theta},r\sin{\theta})$を施すと,$x^2+y^2=r^2$であり,$D(t)$と$D(\sqrt{t})$はそれぞれ

\begin{align*} &D_1:=\set{(r,\theta)}{r\in[0,t], \theta\in\brc{0,\frac{\pi}{2}}}, \\&D_2:=\set{(r,\theta)}{r\in[0,\sqrt{2}t], \theta\in\brc{0,\frac{\pi}{2}}} \end{align*}

となるから,

\begin{align*} 4\iint_{D(t)}e^{-x^2-y^2}\,d(x,y) =&4\iint_{D_1}e^{-r^2}r\,d(r,\theta) \\=&4\int_{0}^{t}\bra{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}re^{-r^2}\,d\theta},dr \\=&4\int_{0}^{t}\frac{\pi}{2} re^{-r^2}\,dr \\=&2\pi\brc{-\frac{1}{2}e^{-r^2}}_{0}^{t} \\=&-\pi\bra{e^{-t^2}-1} \\=&\pi\quad (t\to\infty) \end{align*}

であり,同様に

\begin{align*} 4\iint_{D(\sqrt{2}t)}e^{-x^2-y^2}\,d(x,y) =&-\pi\bra{e^{-2t^2}-1} \\\to&\pi\quad (t\to\infty) \end{align*}

となる.よって,はさみうちの原理より

\begin{align*} I^2 =\lim_{t\to\infty}I(t)^2 =\pi \end{align*}

だから,$I>0$に注意して$I=\sqrt{\pi}$を得る.

不定積分$\dint e^{-x^2}\,dx$を初等関数で表すことはできませんが,不定積分$\dint xe^{-x^2}\,dx$は$-\dfrac{1}{2}e^{-x^2}$となることがポイントですね.

計算上のポイント

以上の計算でのポイントを説明します.

正方形領域と極座標変換

2重積分$\displaystyle\iint f(x,y)\,d(x,y)$において,$f(x,y)$の式の中に$x^2+y^2$があるときには,極座標変換$(x,y)=(r\cos{\theta},r\sin{\theta})$を用いるのは鉄板ですね.

極座標変換は$xy$平面上の円板領域を$r\theta$平面へぴったり写すことができますが,$xy$平面上の円板でない領域を$r\theta$平面へ移すのは得意ではありません.

そのような場合には,積分領域を円板で挟んで評価し,[はさみうちの原理]に持ち込むという方法がよく採られます.

今のGauss積分の計算では,$I(t)^2$を考えると正方形領域$[0,t]\times[0,t]$を積分領域とする重積分を計算することになったので

  • 正方形領域$[0,t]\times[0,t]$に含まれる領域$D(t)$
  • 正方形領域$[0,t]\times[0,t]$に含まれる領域$D(\sqrt{2}t)$

での重積分を計算し,[はさみうちの原理]に持ち込んだわけですね.

重積分と累次積分

大学の授業では「多くの場合で

  • 重積分$\displaystyle\iint_{I\times J}f(x,y)\,d(x,y)$
  • 累次積分(逐次積分)$\dint_{I}\bra{\dint_{J}f(x,y)\,dx}\,dy$

は一致する」と学びます.

実用上,確かに計算では気にしなくても一致することは多いですが,数学的にはこれらが一致することはしっかり述べておく必要があります.

したがって,上の計算でいえば

\begin{align*} &\int_{0}^{t}\bra{\int_{0}^{t}e^{-x^2-y^2}\,dx}\,dy =\iint_{[0,t]\times[0,t]}e^{-x^2-y^2}\,dxdy, \\&\iint_{D_1}e^{-r^2}r\,d(r\,theta) =\int_{0}^{t}\bra{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}re^{-r^2}\,d\theta}\,dr \end{align*}

が正しいことを確かめる必要があるわけですが,それは以下の[Tonelliの定理]から従うことが分かります.

[Tonelliの定理] 区間$I,J\subset\R$に対して,$I\times J$上の非負関数$f$が$I\times J$上連続であれば,次の等式が成り立つ:

\begin{align*} \int_{I\times J}f(x,y)\,d(x,y) =\int_{I}\bra{\int_{J}f(x,y)\,dx}\,dy =\int_{J}\bra{\int_{I}f(x,y)\,dy}\,dx \end{align*}

本来の[Tonelliの定理]はより広く$\sigma$-有限測度空間でも成り立ち,また$f$も連続ではなく可測であれば良いのですが,ここではこの記事で使うために十分な形で書いています.

さて,積分$\dint_{0}^{t}\bra{\dint_{0}^{t}e^{-x^2-y^2}\,dx}\,dy$について

  • $[0,t]\subset\R$は区間 (より詳しく「$\sigma$-有限」)
  • 被積分関数$e^{-x^2-y^2}$は連続 (より詳しく「可測」)

なので,[Tonelliの定理]から重積分に等しくなることが分かりますね.

同様に積分$\dint_{0}^{t}\bra{\dint_{0}^{\frac{\pi}{2}}re^{-r^2}\,d\theta}\,dr$も重積分に等しくなることがわかりますね.

なお,[Tonelliの定理]について詳しくは以下の記事を参照してください.

最後までありがとうございました!

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