微分積分学の基本定理とその証明｜微分と積分の関係を導出

2021/11/12 微分積分学

高校数学では「積分は微分の逆演算」と学びますが，大学数学では必ずしもこれが正しいとは限りません．

求積の方法として「積分」を定義する方法はいくつかありますが，Riemann積分は関数の定義域$I$を細かく分割して，長方形近似(Riemann和)から求積するRiemann(リーマン)積分が最もシンプルでしょう．

この定義では微分を全く用いずに定義されるため，高校数学であまり扱わない不連続関数の積分にも対応することができます．

しかし，実際にRiemann積分をこの長方形近似から定義通りに計算するのは非常に面倒なことが多いです．

そこで，長方形近似を経由せずに簡単に積分を計算する方法が欲しいわけですが，ある場合には微分と積分が逆演算になっているという微分積分法の基本定理を用いることでRiemann積分は簡単に計算することができます．

この記事では，微分積分学の基本定理を理解するのに必要な

  • 不定積分
  • 原始関数

について説明してから，微分積分学の基本定理の内容の説明と証明をします．

解説動画

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【微分積分学の基本定理】「リーマン積分」と「微分」は本当に逆？(11分21秒)

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準備

[微分積分学の基本定理]を説明するために

  • 不定積分
  • 原始関数

の定義を確認しておきます．

不定積分

不定積分の定義は次の通りです．

[不定積分]　区間$I\subset\R$上の実数値関数$f$は$I$上Riemann可積分であるとする．また，$a\in I$を任意にとる．このとき，

    \begin{align*} F(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,dt \end{align*}

で定まる関数$F:I\to\R$を$f$の($a$から$x$までの)不定積分 (indefinite integral)という．

$a\in I$のとり方によって不定積分$F$は異なります．しかし，

  • $a\in I$に対する$f$の不定積分を$F_{a}$
  • $a’\in I$に対する$f$の不定積分を$F_{a’}$

とすると，定義から

    \begin{align*} F_{a}(x)-F_{a'}(x) =&\int_{a}^{x}f(t)\,dt-\int_{a'}^{x}f(t)\,dt \\=&\int_{a}^{a'}f(t)\,dt \end{align*}

なので，$F_{a}(x)$と$F_{a’}(x)$の差は定数$\dint_{a}^{a’}f(t)\,dt$なので$x$によりません．

つまり，$a\in I$の取り方を変えても，不定積分$F$は定数しか変わらないことに注意してください．

原始関数

原始関数の定義は次の通りです．

[原始関数]　区間$I\subset\R$上の実数値関数$f$に対して，$I$上微分可能な実数値関数$F$が$F’=f$をみたすとき，$F$を$I$上の$f$の原始関数という．

$F$を微分すれば$f$になるとき，$F$を$f$の原始関数というわけですね．

定数関数の導関数は恒等的に０なので，$F$が$f$の原始関数であれば

    \begin{align*} (F+C)'=f+0=f \end{align*}

となるので，$F+C$も$f$の原始関数ですね．

つまり，$f$の原始関数は定数を加えても$f$の原始関数というわけですね．

微分積分学の基本定理

[不定積分]と[原始関数]の定義において

  • 「不定積分」の定義には微分は登場せず
  • 「原始関数」の定義には積分が登場しない

というところがこの記事でのポイントです．

そのため，[不定積分]と[原始関数]の関係を述べることができれば，別々に定義されたはずの積分と微分に関係があることになるというわけです．

ということで，この記事の本題である[微分積分学の基本定理]を説明します．

[微分積分学の基本定理]　$f$を区間$I=[a,b]\subset\R$上の実数値連続関数とする．このとき，次が成り立つ．

  1. $f$の$I$上の不定積分は，$I$の$f$の原始関数である．
  2. $I$上の$f$の任意の原始関数$G$は，任意の$f$の不定積分$F$に対して，$G(x)=F(x)+C$ ($x\in I$, $C\in\R$)と表される．
  3. $G$を$I$上の$f$の任意の原始関数とすると，$\dint_{a}^{b}f(t)\,dt=G(b)-G(a)$が成り立つ．

微分積分学の基本定理は「連続関数」に対して成り立つ定理です．

高校数学で扱う関数はほとんどが連続関数であるため，高校数学では最初から積分を微分の逆演算として定義しているわけですね．

[微分積分学の基本定理]は「微積分の基本定理」「微分積分の基本定理」などと呼ぶことも多いです．

  • １では「不定積分」は「原始関数」である(「不定積分」を微分すると，元の関数に戻る)こと
  • ２では「原始関数」は「不定積分」の定数差のものだけであること

を保証しています．

冒頭でも説明したように，１と２を用いて証明できる３が積分の計算において最も重要です．

つまり，和の極限で定義されている不定積分がRiemann和を用いずとも，原始関数が分かれば計算できるということを主張しているのが３なわけですね．

それでは[微分積分学の基本定理]を証明しましょう．


(1)　$c\in I$を任意にとり，$I$上の不定積分$F$を$F(x)=\int_{c}^{x}f(t)\,dt$で定める

$f$は$I$上で連続だから，任意の$x\in I$と$\epsilon>0$に対して，ある$\delta>0$が存在して，$|t-x|<\delta$なら$|f(t)-f(x)|<\epsilon$を満たす．

よって，$x+h\in I$なる任意の$h\in(-\delta,\delta)\setminus\{0\}$に対して

    \begin{align*} &\abs{\frac{F(x+h)-F(x)}{h}-f(x)} \\=&\frac{1}{|h|}\abs{\bra{\int_{c}^{x+h}f(t)\,dt-\int_{c}^{x}f(t)\,dt}-hf(x)} \\=&\frac{1}{|h|}\abs{\int_{x}^{x+h}f(t)\,dt-\int_{x}^{x+h}f(x)\,dt} \\=&\frac{1}{|h|}\abs{\int_{x}^{x+h}(f(t)-f(x))\,dt} \\\le&\frac{1}{|h|}\abs{\int_{x}^{x+h}|f(t)-f(x)|\,dt} \end{align*}

となる．$h>0$のとき

    \begin{align*} \frac{1}{|h|}\abs{\int_{x}^{x+h}|f(t)-f(x)|\,dt} <&\frac{1}{h}\int_{x}^{x+h}\epsilon\,dt \\=&\frac{1}{h}\cdot h\epsilon =\epsilon \end{align*}

$h<0$のとき

    \begin{align*} \frac{1}{|h|}\abs{\int_{x}^{x+h}|f(t)-f(x)|\,dt} =&\frac{1}{-h}\int_{x+h}^{x}|f(t)-f(x)|\,dt \\<&\frac{1}{-h}\int_{x+h}^{x}\epsilon\,dt \\=&\frac{1}{-h}\cdot (-h)\epsilon =\epsilon \end{align*}

が成り立つから，$\lim\limits_{h\to0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=f(x)$が得られた．

すなわち，$I$上で$F$は微分可能で$F’=f$となるから，$F$は$I$上の$f$の原始関数である．

(2)　$G$は$f$の原始関数だから定義より$G’=f$であり，$F$は$f$の不定積分だから(1)より$F’=f$である．よって，

    \begin{align*} F'=G' \iff (F-G)'=0 \end{align*}

となるから$F-G$は定数なので，$G$は不定積分の定数差のものに限る．

(3)　(2)の記号を用いる．$F(x)=\dint_{a}^{x}f(t)\,dt$により不定積分$F$を定める．

(2)より$F-G$は定数関数だったから

    \begin{align*} F(x)-G(x) =F(a)-G(a) =-G(a) \end{align*}

である．ただし，最後の等式では$F(a)=\int_{a}^{a}f(t)\,dt=0$であることを用いた．よって

    \begin{align*} \int_{a}^{b}f(t)\,dt =F(b) =G(b)-G(a) \end{align*}

が成り立つ．

証明に関する補足

(1)の証明について，いくつか簡単な補足をします．

補足１

$f(x)$は$t$に無関係なので，$t$で積分すると

    \begin{align*} hf(x)=\int_{x}^{x+h}f(x)\,dt \end{align*}

となります．

$t$の積分において$x$は定数として扱ってもよいのでしたね．

補足２

リーマン積分$\dint_{a}^{b}f(t)\,dt$の定義式は

    \begin{align*} \lim_{\max_{i}\{x_i-x_{i-1}\}\to0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi)(x_i-x_{i-1}) \end{align*}

という形でしたが，$x_i-x_{i-1}$の部分を$|x_i-x_{i-1}|$に置き換えたものを

    \begin{align*} \int_{a}^{b}f(t)\,|dt| :=\lim_{\max_{i}\{x_i-x_{i-1}\}\to0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi)|x_i-x_{i-1}| \end{align*}

とする記法があります．

この記法のもとでは$a,b\in\R$の大小関係が不明でも，$0\le f(t)\le g(t)$なら

    \begin{align*} \int_{a}^{b}f(t)\,|dt| \le\int_{a}^{b}g(t)\,|dt| \end{align*}

が成り立ちます．このことを用いると$|f(t)-f(x)|<\epsilon$から

    \begin{align*} &\abs{\frac{F(x+h)-F(x)}{h}-f(x)} \\\le&\frac{1}{|h|}\int_{x}^{x+h}|f(t)-f(x)|\,|dt| \\\le&\frac{1}{|h|}\int_{x}^{x+h}\epsilon\,|dt| =\frac{1}{|h|}|h|\epsilon =\epsilon \end{align*}

と簡単に$\epsilon$で上からの評価を記述できます．

参考文献

以下は参考文献です．

解析入門

[杉浦光男 著/東京大学出版会]

解析学の教科書としては非常に有名で，理論系で解析がしっかり必要となる人は持っておいてよいテキストです．

  • 第１巻で１変数の微分積分学
  • 第２巻で多変数の微分積分学

を扱っています．本書に対応した演習書「解析演習」も出版されています．

本書の特徴としては

  • 数学的に厳密に書かれている
  • 基本的な微分積分学の知識体系は網羅されている

の２点が挙げられます．

このため，辞書的に使う教科書という位置付けて持っている人も多いようです．

なお，この記事の内容は第１巻に載っています．

微分積分学

[笠原晧司 著/サイエンス社]

微分積分学の教科書として有名な名著です．

具体例を多く扱いイメージを掴むことに重点を置きつつ，議論もきっちりしているため，大学１年生の微分積分学をしっかり学びたい人には心強い味方になると思います．

具体例のレベルは基本的なものに加えて少々難しいものも含まれているので，いろいろな具体例に触れたい人は持っておいてもよいでしょう．

このため，しっかり数学をやりたい人の微分積分学の導入としてオススメできる一冊です．

最後までありがとうございました！

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