微分積分学の基本定理とその証明|微分と積分の関係を導出

求積の方法として「積分」を定義する方法はいくつかありますが,最もシンプルな積分の定義は[Riemann(リーマン)積分]でしょう.

Riemann積分は関数の定義域$I$を細かく分割して,長方形近似から(Riemann和を求めて)求積する方法です.

しかし,実際にRiemann積分を定義から計算しようとすると,Riemann和を求める必要があり計算は面倒です.

そこで,長方形近似を経由せずに簡単に積分を計算する方法が欲しいわけですが,[微分積分法の基本定理]を用いることでRiemann積分は簡単に計算することができます.

なお,高校数学においては「微分の逆演算」として積分を定めるため,この定義によれば[微分積分学の定理]は明らかです(が,連続でない関数に対してこの定義はうまくなく,主に連続関数を扱う高校数学ならではの定義となっています).

この記事では,[微分積分学の基本定理]について説明します.

準備

[微分積分学の基本定理]を説明するために

  • 不定積分
  • 原始関数

の定義を確認しておきます.

不定積分

[不定積分]の定義は次の通りです.

[不定積分] 区間$I\subset\R$上の実数値関数$f$は$I$上Riemann可積分であるとする.このとき,任意の$a\in I$に対して,

\begin{align*} F(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,dt \end{align*}

で定まる関数$F:I\to\R$を$f$の不定積分 (indefinite integral)という.

$a\in I$のとり方によって不定積分$F$は異なります.しかし,

  • $a\in I$に対する$f$の不定積分を$F_{a}$
  • $a’\in I$に対する$f$の不定積分を$F_{a’}$

とすると,定義から

\begin{align*} F_{a}(x)-F_{a'}(x) =&\int_{a}^{x}f(t)\,dt-\int_{a'}^{x}f(t)\,dt \\=&\int_{a}^{a'}f(t)\,dt \end{align*}

なので,$F_{a}(x)$と$F_{a’}(x)$の差は定数$\dint_{a}^{a’}f(t)\,dt$なので$x$によりません.

つまり,$a\in I$の取り方を変えても,不定積分$F$は定数しか変わらないことに注意してください.

原始関数

[原始関数]の定義は次の通りです.

[原始関数] 区間$I\subset\R$上の実数値関数$f$に対して,$I$上微分可能な実数値関数$F$が$F’=f$をみたすとき,$F$を$I$上の$f$の原始関数という.

$F$を微分すれば$f$になるとき,$F$を$f$の原始関数というわけですね.

定数関数の導関数は恒等的に0なので,$F$が$f$の原始関数であれば

\begin{align*} (F+C)'=f+0=f \end{align*}

となるので,$F+C$も$f$の原始関数ですね.

つまり,$f$の原始関数は定数を加えても$f$の原始関数というわけですね.

微分積分学の基本定理

[不定積分]と[原始関数]の定義において

  • 「不定積分」の定義には微分は登場せず
  • 「原始関数」の定義には積分が登場しない

というところがこの記事でのポイントです.

そのため,[不定積分]と[原始関数]の関係を述べることができれば,別々に定義されたはずの積分と微分に関係があることになるというわけです.

ということで,この記事の本題である[微分積分学の基本定理]を説明します.

[微分積分学の基本定理] $f$を区間$I=[a,b]\subset\R$上の実数値連続関数とする.このとき,次が成り立つ.

  1. $f$の$I$上の不定積分は,$I$の$f$の原始関数である.
  2. $I$上の$f$の任意の原始関数$G$は,任意の$f$の不定積分$F$に対して,$G(x)=F(x)+C$ ($x\in I$)を満たす定数$C\in\R$が存在する.
  3. $G$を$I$上の$f$の任意の原始関数とすると,$\dint_{a}^{b}f(t)\,dt=G(b)-G(a)$が成り立つ.

[微分積分学の基本定理]は「微積分の基本定理」「微分積分の基本定理」などと呼ぶことも多いです.

  • 1では「不定積分」は「原始関数」である(「不定積分」を微分すると,元の関数に戻る)こと
  • 2では「原始関数」は「不定積分」の定数差のものだけであること

を保証しています.

冒頭でも説明したように,1と2を用いて証明できる3が積分の計算において最も重要です.

つまり,和の極限で定義されている不定積分がRiemann和を用いずとも,原始関数が分かれば計算できるということを主張しているのが3なわけですね.

それでは[微分積分学の基本定理]を証明しましょう.

(1) $c\in I$を任意にとり,$I$上の不定積分$F$を$F(x)=\int_{c}^{x}f(t)\,dt$で定める

$f$は$I$上で連続だから,任意の$x\in I$と$\epsilon>0$に対して,ある$\delta>0$が存在して,$|t-x|<\delta$なら$|f(t)-f(x)|<\epsilon$を満たす.

よって,$x+h\in I$なる任意の$h\in(-\delta,\delta)\setminus\{0\}$に対して

\begin{align*} &\abs{\frac{F(x+h)-F(x)}{h}-f(x)} \\=&\frac{1}{|h|}\abs{\bra{\int_{c}^{x+h}f(t)\,dt-\int_{c}^{x}f(t)\,dt}-hf(x)} \\=&\frac{1}{|h|}\abs{\int_{x}^{x+h}f(t)\,dt-\int_{x}^{x+h}f(x)\,dt} \\=&\frac{1}{|h|}\abs{\int_{x}^{x+h}(f(t)-f(x))\,dt} \\\le&\frac{1}{|h|}\abs{\int_{x}^{x+h}|f(t)-f(x)|\,dt} \end{align*}

となる.$h>0$のとき

\begin{align*} \frac{1}{|h|}\abs{\int_{x}^{x+h}|f(t)-f(x)|\,dt} <&\frac{1}{h}\int_{x}^{x+h}\epsilon\,dt \\=&\frac{1}{h}\cdot h\epsilon =\epsilon \end{align*}

$h<0$のとき

\begin{align*} \frac{1}{|h|}\abs{\int_{x}^{x+h}|f(t)-f(x)|\,dt} =&\frac{1}{-h}\int_{x+h}^{x}|f(t)-f(x)|\,dt \\<&\frac{1}{-h}\int_{x+h}^{x}\epsilon\,dt \\=&\frac{1}{-h}\cdot (-h)\epsilon =\epsilon \end{align*}

が成り立つから,$\lim\limits_{h\to0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=f(x)$が得られた.

すなわち,$I$上で$F$は微分可能で$F’=f$となるから,$F$は$I$上の$f$の原始関数である.

(2) $G$は$f$の原始関数だから,定義より$G’=f$である.

また,$F$は$f$の不定積分だから,(1)より$F’=f$である.

よって,$F’=G’$だから$(F-G)’=0$となって$F-G$は定数なので,$G$は不定積分の定数差のものに限る.

(3) (2)の記号を用いる.$F(x)=\dint_{a}^{x}f(t)\,dt$により不定積分$F$を定める.

(2)より$F-G$は定数関数だったから

\begin{align*} F(x)-G(x) =F(a)-G(a) =-G(a) \end{align*}

である.ただし,最後の等式では$F(a)=\int_{a}^{a}f(t)\,dt=0$であることを用いた.よって

\begin{align*} \int_{a}^{b}f(t)\,dt =F(b) =G(b)-G(a) \end{align*}

が成り立つ.

証明に関する補足

(1)の証明について,いくつか簡単な補足をします.

補足1

$f(x)$は$t$に無関係なので,$t$で積分すると

\begin{align*} hf(x)=\int_{x}^{x+h}f(x)\,dt \end{align*}

となります.

$t$の積分において$x$は定数として扱ってもよいのでしたね.

補足2

積分の絶対値について

\begin{align*} \int_{a}^{b}f(t)\,|dt| :=\abs{\int_{a}^{b}f(t)\,dt} \end{align*}

とする記法もあり,この記法のもとでは$[a,b]$上で$0\le f(t)\le g(t)$なら

\begin{align*} \int_{a}^{b}f(t)\,|dt| \le\int_{a}^{b}g(t)\,|dt| \end{align*}

が成り立ちます.このことを用いると$|f(t)-f(x)|<\epsilon$から

\begin{align*} &\abs{\frac{F(x+h)-F(x)}{h}-f(x)} \\\le&\frac{1}{|h|}\int_{x}^{x+h}|f(t)-f(x)|\,|dt| \\\le&\frac{1}{|h|}\int_{x}^{x+h}\epsilon\,|dt| =\frac{1}{|h|}|h|\epsilon =\epsilon \end{align*}

と簡単に$\epsilon$で上から評価できることが分かります.

参考文献

以下は参考文献です.

解析入門 (杉浦光男 著/東京大学出版会)

解析学の教科書としては非常に有名で

  • 第1巻で1変数の微分積分学
  • 第2巻で多変数の微分積分学

を扱っています.

この記事の[微分積分学の基本定理]は1巻で説明されています.

本書の特徴として,論理は極めて厳密であり,基本的な微分積分学の知識体系は網羅されていると言ってよい点にあります.

理論系で解析がしっかり必要となる人は持っておいてよいテキストです.

なお,本書に対応した演習書「解析演習」も出版されています.

微分積分学 (笠原晧司 著/サイエンス社)

こちらも解析学の教科書として有名な名著です.

具体例を多く扱いイメージを掴むことに重点を置きつつ,議論もきっちりしているため,大学1年生の微分積分学をしっかり学びたい人には心強い味方になると思います.

具体例のレベルは基本的なものに加えて少々難しいものも含まれているので,いろいろな具体例に触れたい人は持っておいてもよいでしょう.

この意味で,しっかり数学をやりたい人の解析の導入としてオススメできる一冊です.

最後までありがとうございました!

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コメント

  1. ほりぴー より:

    $h\to0$の時に$\epsilon\to0$となっているのは連続関数のグラフより自明だからですか?

    • yama-taku より:

      ご質問をありがとうございます!

      先にお答えすると,「$h\to0$から$\epsilon\to0$が得られる」わけではありません.

      「関数$f$が連続関数である」の定義を大雑把に言えば,「$x+h$が$x$に近ければ,$f(x+h)$は$f(x)$に近い」ということになります.これはグラフ繋がっていれば,$x$が少し動いたところで$f(x)$も少ししか動かないということから理解できます(おそらく,ここは理解されているものと思います).

      連続関数のイメージはまさにその通りなのですが,しかし厳密な定義は「任意の$\epsilon>0$に対して,ある$\delta>0$が存在して,$|x-a|<\delta$なら$|f(x)-f(a)|<\epsilon$が成り立つ」とグラフとは無関係に定義します.

      言葉で説明すれば,もとからとっておいた$\epsilon$に対して,$h$を一定より小さくとれば$f(x+h)$が$f(x)$から$\epsilon$程度しか離れないようにできる,ということです.

      このため,もとからある$\epsilon$は固定されており,この$\epsilon$に対して上の性質を満たす$h$を「とれる」だけで,「$h\to0$の時に$\epsilon\to0$となっている」わけではありません.

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