微分積分学の基本定理とその証明
微分と積分の超重要な関係

微分積分学
微分積分学

高校数学では「積分は微分の逆演算」と学びますが,大学数学では必ずしもこれが正しいとは限りません.

積分を定義する方法はいくつかありますが,区間$[a,b]$を分割してできる長方形近似(リーマン和)の極限で定義されるリーマン(Riemann)積分$\dint_{a}^{b}f(x)\,dx$が最もシンプルでしょう.

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リーマン積分$\dint_{a}^{b}f(x)\,dx$は微分を全く用いずに定義されるため,高校数学であまり扱わない不連続関数の積分にも対応することができます.

微分と無関係に定義されるリーマン積分ですが,「性質の良い関数に対しては微分と積分が逆演算になっている」という微分積分法の基本定理が成り立ち,これを用いることでリーマン積分を簡単に計算することができます.

この記事では

  • 不定積分
  • 原始関数
  • 微分積分学の基本定理

を順に説明します.

準備

微分積分学の基本定理を説明するために

  • 不定積分
  • 原始関数

が必要なので,まずはこれらの定義を確認しておきましょう.

不定積分

区間$I\subset\R$上の実数値関数$f$は$I$上リーマン可積分であるとする.また,$a\in I$を任意にとる.このとき,

   \begin{align*}F(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,dt\end{align*}

で定まる関数$F:I\to\R$を$f$の($a$から$x$までの)不定積分 (indefinite integral)という.

$a\in I$のとり方によって不定積分$F$は異なります.しかし,

  • $a\in I$に対する$f$の不定積分を$F_{a}$
  • $b\in I$に対する$f$の不定積分を$F_{b}$

とすると,定義から

   \begin{align*}F_{a}(x)-F_{b}(x) =&\int_{a}^{x}f(t)\,dt-\int_{b}^{x}f(t)\,dt \\=&\int_{a}^{b}f(t)\,dt\end{align*}

なので,$F_{a}(x)$と$F_{b}(x)$の差は定数$\dint_{a}^{b}f(t)\,dt$なので$x$によりません.

つまり,$a\in I$の取り方を変えても,不定積分$F$は定数しか変わらないわけですねことに注意してください.

原始関数

区間$I\subset\R$上の実数値関数$f$に対して,$I$上微分可能な実数値関数$F$が$F’=f$をみたすとき,$F$を$I$上の$f$の原始関数という.

$F$を微分すれば$f$になるとき,$F$を$f$の原始関数というわけですね.

定数関数の導関数は恒等的に$0$な関数なので,$F$が$f$の原始関数であれば

   \begin{align*}(F+C)'=f+0=f\end{align*}

となるので,$F+C$も$f$の原始関数ですね.

つまり,$f$の原始関数は定数を加えても$f$の原始関数というわけですね.

微分積分学の基本定理

それでは微分積分学の基本定理の説明に移ります.

微分積分学の基本定理

不定積分と原始関数の定義において

  • 不定積分の定義には微分を用いない
  • 原始関数の定義には積分を用いない

というところが重要です.

そのため,不定積分と原始関数の関係を述べることができれば,別々に定義されたはずの積分と微分に関係があることになるわけですね.

この関係を述べた定理が微分積分学の基本定理で,次の通りです.

[微分積分学の基本定理] $f$を区間$I=[a,b]\subset\R$上の実数値連続関数とする.このとき,次が成り立つ.

  1. $f$の$I$上の不定積分は,$I$の$f$の原始関数である.
  2. $I$上の$f$の任意の原始関数$G$は,任意の$f$の不定積分$F$に対して,$G(x)=F(x)+C$ ($x\in I$, $C\in\R$)と表される.
  3. $G$を$I$上の$f$の任意の原始関数とすると,$\dint_{a}^{b}f(t)\,dt=G(b)-G(a)$が成り立つ.

微分積分学の基本定理は「微積分の基本定理」「微分積分の基本定理」などと呼ぶことも多いです.

微分積分学の基本定理は連続関数に対して成り立つ定理です.高校数学で扱う関数はほとんどが連続関数であるため,高校数学では最初から積分を微分の逆演算として定義しているわけですね.

さて,この微分積分学の基本定理の3つのうち,

  • 1では不定積分は原始関数であること
  • 2では原始関数は不定積分の定数差のものだけであること

を保証しています.応用上は1と2を用いて証明できる3が積分の計算において重要です.

つまり,和の極限で定義されている不定積分がリーマン和を用いずとも,原始関数が分かれば計算できるということを主張しているのが3なわけですね.

証明

それでは微分積分学の基本定理を証明しましょう.


(1) $c\in I$を任意にとり,$I$上の不定積分$F$を$F(x)=\int_{c}^{x}f(t)\,dt$で定める

$f$は$I$上で連続だから,任意の$x\in I$と$\epsilon>0$に対して,ある$\delta>0$が存在して,$|t-x|<\delta$なら$|f(t)-f(x)|<\epsilon$を満たす.

よって,$x+h\in I$なる任意の$h\in(-\delta,\delta)\setminus\{0\}$に対して

   \begin{align*}&\abs{\frac{F(x+h)-F(x)}{h}-f(x)} \\=&\frac{1}{|h|}\abs{\bra{\int_{c}^{x+h}f(t)\,dt-\int_{c}^{x}f(t)\,dt}-hf(x)} \\=&\frac{1}{|h|}\abs{\int_{x}^{x+h}f(t)\,dt-\int_{x}^{x+h}f(x)\,dt} \\=&\frac{1}{|h|}\abs{\int_{x}^{x+h}(f(t)-f(x))\,dt} \\\le&\frac{1}{|h|}\abs{\int_{x}^{x+h}|f(t)-f(x)|\,dt}\end{align*}

となる.$h>0$のとき

   \begin{align*}\frac{1}{|h|}\abs{\int_{x}^{x+h}|f(t)-f(x)|\,dt} <&\frac{1}{h}\int_{x}^{x+h}\epsilon\,dt \\=&\frac{1}{h}\cdot h\epsilon =\epsilon\end{align*}

$h<0$のとき

   \begin{align*}\frac{1}{|h|}\abs{\int_{x}^{x+h}|f(t)-f(x)|\,dt} =&\frac{1}{-h}\int_{x+h}^{x}|f(t)-f(x)|\,dt \\<&\frac{1}{-h}\int_{x+h}^{x}\epsilon\,dt \\=&\frac{1}{-h}\cdot (-h)\epsilon =\epsilon\end{align*}

が成り立つから,$\lim\limits_{h\to0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=f(x)$が得られた.

すなわち,$I$上で$F$は微分可能で$F’=f$となるから,$F$は$I$上の$f$の原始関数である.

(2) $G$は$f$の原始関数だから定義より$G’=f$であり,$F$は$f$の不定積分だから(1)より$F’=f$である.よって,

   \begin{align*}F'=G' \iff (F-G)'=0\end{align*}

となるから$F-G$は定数なので,$G$は不定積分の定数差のものに限る.

(3) (2)の記号を用いる.$F(x)=\dint_{a}^{x}f(t)\,dt$により不定積分$F$を定める.

(2)より$F-G$は定数関数だったから

   \begin{align*}F(x)-G(x) =F(a)-G(a) =-G(a)\end{align*}

である.ただし,最後の等式では$F(a)=\int_{a}^{a}f(t)\,dt=0$であることを用いた.よって

   \begin{align*}\int_{a}^{b}f(t)\,dt =F(b) =G(b)-G(a)\end{align*}

が成り立つ.

証明に関する補足

(1)の証明について,いくつか簡単な補足をします.

補足1

$f(x)$は$t$に無関係なので,$t$で積分すると

   \begin{align*}hf(x)=\int_{x}^{x+h}f(x)\,dt\end{align*}

となります.

$t$の積分において$x$は定数として扱ってもよいのでした.

補足2

リーマン積分$\dint_{a}^{b}f(t)\,dt$の定義式は

   \begin{align*}\lim_{\max_{i}\{x_i-x_{i-1}\}\to0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi)(x_i-x_{i-1})\end{align*}

という形でしたが,$x_i-x_{i-1}$の部分を$|x_i-x_{i-1}|$に置き換えたものを

   \begin{align*}\int_{a}^{b}f(t)\,|dt| :=\lim_{\max_{i}\{x_i-x_{i-1}\}\to0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi)|x_i-x_{i-1}|\end{align*}

とする記法があります.

この記法のもとでは$a,b\in\R$の大小関係が不明でも,$0\le f(t)\le g(t)$なら

   \begin{align*}\int_{a}^{b}f(t)\,|dt| \le\int_{a}^{b}g(t)\,|dt|\end{align*}

が成り立ちます.このことを用いると$|f(t)-f(x)|<\epsilon$から

   \begin{align*}&\abs{\frac{F(x+h)-F(x)}{h}-f(x)} \\\le&\frac{1}{|h|}\int_{x}^{x+h}|f(t)-f(x)|\,|dt| \\\le&\frac{1}{|h|}\int_{x}^{x+h}\epsilon\,|dt| =\frac{1}{|h|}|h|\epsilon =\epsilon\end{align*}

と簡単に$\epsilon$で上からの評価を記述できます.

参考文献

以下は参考文献です.

解析入門

[杉浦光男 著/東京大学出版会]

解析学の教科書としては非常に有名で,理論系で解析がしっかり必要となる人は持っておいてよいテキストです.

  • 第1巻で1変数の微分積分学
  • 第2巻で多変数の微分積分学

を扱っています.本書に対応した演習書「解析演習」も出版されています.

本書の特徴としては

  • 数学的に厳密に書かれている
  • 基本的な微分積分学の知識体系は網羅されている

の2点が挙げられます.

このため,辞書的に使う教科書という位置付けて持っている人も多いようです.

なお,この記事の内容は第1巻に載っています.

微分積分学

[笠原晧司 著/サイエンス社]

微分積分学の教科書として有名な名著です.

具体例を多く扱いイメージを掴むことに重点を置きつつ,議論もきっちりしているため,大学1年生の微分積分学をしっかり学びたい人には心強い味方になると思います.

具体例のレベルは基本的なものに加えて少々難しいものも含まれているので,いろいろな具体例に触れたい人は持っておいてもよいでしょう.

このため,しっかり数学をやりたい人の微分積分学の導入としてオススメできる一冊です.

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