ルベーグ外測度の本質的に重要な５つの性質を説明します

前回の記事ではルベーグ積分においては「集合の長さ」を考えることが重要であることを説明し，そのために「集合の長さ」を外側から測る(ルベーグ)外測度$m^{*}$定義しました．

外測度はルベーグ積分において重要なルベーグ測度の土台となる重要な概念なので，ルベーグ外測度$m^{*}$の性質を知っておくことは大切です．

そこで，この記事ではルベーグ外測度$m^{*}$の本質的に重要な５つの性質

非負値性
単調性
平行移動不変性
劣加法性
区間の外測度

について，

どのように重要なのか
それぞれの性質の証明

を順に説明します．

名前を見るといかめしい印象を受けてしまうかも知れませんが，内容自体はシンプルで直感的に理解できるものばかりなので，恐れず１つずつ理解してくださいね．

なお，この一連の記事では外測度を$m^{*}$で表し，右半開区間$I=[a,b)$の長さを$|I|$で表し$b-a$としています．

「ルベーグ積分の基本」の一連の記事

ルベーグ積分入門
1. 0. ルベーグ積分の基礎｜リーマン積分の先へ！積分の歴史から紹介

ルベーグ測度

ルベーグ可測関数とルベーグ積分

ルベーグ積分の性質と項別積分
1. ルベーグ積分の基本性質を証明する(準備中)
2. 単関数列の項別積分定理のイメージと証明(準備中)
3. ルベーグの単調収束定理と具体例(準備中)
4. ルベーグの収束定理と具体例(準備中)

ルベーグ積分の参考文献
1. ルベグ積分入門
2. ルベーグ積分と関数解析
外測度の５つの性質が重要な理由
1. 外測度の５つの性質
2. ルベーグ測度
外測度の５つの性質の証明

ルベーグ積分の参考文献

以下はルベーグ積分に関するオススメの教科書です．

ルベグ積分入門

ロングセラーの入門書です．専門書ですが，文庫なので安く購入できるのも魅力です．

ルベーグ積分と関数解析

ルベーグ積分から更なるステップに進みたい人向けの教科書です．

外測度の５つの性質が重要な理由

まずは冒頭で挙げた５つの性質がどのような性質で，どのように重要かを説明します．

外測度の５つの性質

もし写像$m$が「$\R$の部分集合の『長さ』を測る」ものであれば，次の４つの性質を満たしていて欲しいというのは自然な考え方でしょう．

$m(A)\ge0$が成り立つ．また，$m(\emptyset)=0$が成り立つ．
$A$, $B$が平行移動で移り合うなら$m(A)=m(B)$が成り立つ．
$A_1, A_2,\dots$が互いに素（$i\neq j$なら$A_i\cap A_j=\emptyset$）なら$m\bra{\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}A_n}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}m(A_n)$が成り立つ．
右半開区間$I=[a,b)$に対して$m(I)=b-a$が成り立つ．

それぞれ言葉で説明すると，次のように言うことができますね：

どんな集合$A$も$m$で測ると$0$以上であり，空集合$\emptyset$を$m$で測ると$0$である．
平行移動して移り合う２つの集合$A$, $B$を$m$で測ると等しい．
被りのない集合たち$A_1, A_2,\dots$の和集合を$m$で測るのと，それぞれを$m$で測って和を取るのでは等しい．
右半開区間$I$を$m$測ると，$I$の長さに等しい．

そこで我々は「前回の記事で定義した外測度

$m^{*}(A)=\inf\set{\dsum_{n=1}^{\infty}|I_n|}{\begin{gathered}A\subset\bigcup_{n=1}^{\infty}I_n,\\\text{$I_n$は右半開区間}\end{gathered}}$

がこれらの性質を満たしているのではないか？」と考えたいところですが，惜しいことにルベーグ外測度$m^{*}$は３つ目の性質のみ満たしません．

ルベーグ積分１｜外測度とは何か？集合の「長さ」の測り方

ルベーグ積分を考えるには「集合の長さ」が鍵となり，この「集合の長さ」を測るために重要なものとして外測度があります．外測度を用いれば有理数の集合ℚのようなまばらな集合にも「長さ」を考えることができます．

しかし，３つ目の性質を少し緩めて２つに分けた

$A\subset B$なら$m(A)\le m(B)$が成り立つ．
共通部分が空集合とは限らない$A_1, A_2,\dots$に対して$m^{*}\bra{\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}A_n}\le\sum\limits_{n=1}^{\infty}m^{*}(A_n)$が成り立つ．

を満たすことは証明することができます．すなわち，次が成り立ちます．

ルベーグ外測度$m^{*}$は次の５つの性質を満たす．

[非負値性]　集合$A\subset\R$に対して$m^{*}(A)\ge0$が成り立つ．また，$m^{*}(\emptyset)=0$が成り立つ．

[平行移動不変性]　集合$A, B\subset\R$が平行移動で移り合うとき$m^{*}(A)=m^{*}(B)$が成り立つ．

[単調性]　集合$A, B\subset\R$が$A\subset B$を満たすとき$m^{*}(A)\le m^{*}(B)$が成り立つ．

[劣加法性]　集合$A_1, A_2,\dots\subset\R$に対して$m^{*}\bra{\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}A_n}\le\sum\limits_{n=1}^{\infty}m^{*}(A_n)$が成り立つ．

[区間の外測度]　右半開区間$I\subset\R$に対して，$m^{*}(I)=|I|$が成り立つ．

ルベーグ測度

先ほど写像$m$が「$\R$の部分集合の『長さ』を測る」ものであれば満たしていて欲しい４つの性質として

$m(A)\ge0$が成り立つ．また，$m(\emptyset)=0$が成り立つ．
$A$, $B$が平行移動で移り合うなら$m(A)=m(B)$が成り立つ．
$A_1, A_2,\dots$が互いに素（$i\neq j$なら$A_i\cap A_j=\emptyset$）なら$m\bra{\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}A_n}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}m(A_n)$が成り立つ．
右半開区間$I=[a,b)$に対して$m(I)=b-a$が成り立つ．

を挙げました．この３つ目の性質は完全加法性や$\sigma$-加法性などと呼ばれ，測度論的において基礎的な性質です．

しかし，残念ながら$m$の定義域を$\R$の冪集合$\mathcal{P}(\R)$で考えている限りでは，このような$m$は存在しないことが知られています．

$\R$の冪集合$\mathcal{P}(\R)$は$\R$の部分集合全部を集めてできる集合のことでした．よって，$\mathcal{P}(\R)$は「集合の集合」ですね．

実は$m^{*}$の定義域を$\mathcal{P}(\R)$全体と欲張らずに少しだけ小さくすると，これら４つの性質を満たすことが証明でき，この定義域を制限してできる写像$m$をルベーグ測度と呼びます．

このルベーグ測度$m$はルベーグ積分を定義する際に本質的に重要となるもので，そのためルベーグ測度を特徴付ける上の４つの性質も本質的に重要です．

そのため，この記事のテーマの「外測度が満たす５つの重要性質」はルベーグ測度の性質を導くために重要と言えるわけですね．

外測度の５つの性質の証明

それでは上で説明した５つの性質の証明を与えていきましょう．

非負値性

外測度の非負値性は「どんな集合の外測度も$0$以上であり，空集合$\emptyset$の外測度は$0$である」というものでした．

集合$A\subset\R$に対して$m^{*}(A)\ge0$が成り立つ．また，$m^{*}(\emptyset)=0$が成り立つ．

証明を表示

任意の$A\subset\R$に対して，外測度$m^{*}$の定義

$m^{*}(A)=\inf\set{\dsum_{n=1}^{\infty}|I_n|}{\begin{gathered}A\subset\bigcup_{n=1}^{\infty}I_n,\\\text{$I_n$は右半開区間}\end{gathered}}$

について，$\sum_{n=1}^{\infty}|I_n|\ge0$だから$m^{*}(A)\ge0$である．

また，外測度の定義より$0\le m^{*}(\emptyset)$である．さらに，空集合$\emptyset$は任意の集合の部分集合だから，任意の$\epsilon>0$に対して$\emptyset\subset[0,\epsilon)$なので，外測度の定義より

$\begin{align*} m^{*}(\emptyset)\le|[0,\epsilon)|=\epsilon \end{align*}$

である．これより$\epsilon$の任意性より$m^{*}(\emptyset)\le0$が成り立つ．よって，$m^{*}(\emptyset)=0$を得る．

ただし，可算集合$A$に対して$n^{*}(A)=0$であることを前回の記事の最後に具体例として示したように，空集合$\emptyset$でなくとも外測度が$0$になることもあるので注意してください．

なお，この性質から外測度$m^{*}$は$m^{*}:\mathcal{P}(\R)\to[0,\infty]$なる写像ということができますね．

単調性

外測度の単調性は「大きい集合の方が外測度は大きいか等しい」というものでした．

集合$A, B\subset\R$が$A\subset B$を満たすとき

$\begin{align*}m^{*}(A)\le m^{*}(B)\end{align*}$

が成り立つ．

証明を表示

$A\subset B$より，右半開区間の列$\{I_n\}$が$B\subset\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}I_n$を満たせば$A\subset\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}I_n$を満たすので，

$\begin{align*} \set{\{I_n\}}{B\subset\bigcup_{n=1}^{\infty}I_n} \subset\set{\{I_n\}}{A\subset\bigcup_{n=1}^{\infty}I_n} \end{align*}$

が成り立つ．よって，外測度$m^{*}$の定義と併せて

$\begin{align*} m^{*}(A) =&\inf\set{\dsum_{n=1}^{\infty}|I_n|}{A\subset\bigcup_{n=1}^{\infty}I_n} \\\le&\inf\set{\dsum_{n=1}^{\infty}|I_n|}{B\subset\bigcup_{n=1}^{\infty}I_n} =m^{*}(B) \end{align*}$

が成り立つ．

この証明が分かりにくい人は，以下のように言い換えると分かりやすいかも知れません：

$B$を被覆する右半開区間の列$\{I_n\}$は必ず$A$を被覆するので，$A$を被覆する右半開区間の列$\{I_n\}$の方が選択肢が多いか等しいことになります．このため，$\set{\sum\limits_{n=1}^{\infty}|I_n|}{B\subset\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}I_n}$より$\set{\sum\limits_{n=1}^{\infty}|I_n|}{A\subset\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}I_n}$の方が多くの元を含み得るため，$\inf$は後者の方が小さいか等しくなりますね．

平行移動不変性

外測度の平行移動不変性は「平行移動して移り合う集合の外測度は等しい」というものでした．

集合$A, B\subset\R$が平行移動で移り合うとき

$\begin{align*}m^{*}(A)=m^{*}(B)\end{align*}$

が成り立つ．

証明を表示

集合$X\subset\R$をちょうど$c\in\R$だけ平行移動して得られる集合$\set{x+c\in\R}{x\in X}$を$X+c$と表す．

$A$, $B$が平行移動で移り合うことから，ある$c\in\R$が存在して$A+c=B$が成り立つ．

このとき，$B\subset\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}I_n$を満たす右半開区間の列$\{I_n\}$に対して，$A\subset\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}(I_n+c)$が成り立つ．

各$n$に対して$|I_n|=|I_n+c|$なので，

$\begin{align*} m^{*}(A) =&\inf\set{\dsum_{n=1}^{\infty}|I_n+c|}{\begin{gathered}A\subset\bigcup_{n=1}^{\infty}(I_n+c)\end{gathered}} \\\le&\inf\set{\dsum_{n=1}^{\infty}|I_n|}{\begin{gathered}B\subset\bigcup_{n=1}^{\infty}I_n\end{gathered}} =m^{*}(B) \end{align*}$

が成り立つ．

また，$A=B-c$と考えれば同様に$m^{*}(B)\le m^{*}(A)$が成り立つから，$m^{*}(A)=m^{*}(B)$を得る．

劣加法性

外測度の劣加法性は「和集合の外測度より，外測度の和の方が大きいか等しい」というものでした．

集合$A_1, A_2,\dots\subset\R$に対して

$\begin{align*}m^{*}\bra{\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n}\le\sum_{n=1}^{\infty}m^{*}(A_n)\end{align*}$

が成り立つ．

少し直感的な説明をしておきます．

有限集合の元の個数のイメージをもてば，この性質も直感的に理解できます．有限集合$X$の元の個数を$n(X)$で表すことにすると，有限集合$A$, $B$に対して，

$\begin{align*} n(A\cup B) =n(A)+n(B)-n(A\cap B) \end{align*}$

となりますから，$n(A\cup B)\le n(A)+n(B)$が成り立ちます．

これは$n(A)+n(B)$では$A\cap B$に属する元の個数を$n(A)$, $n(B)$の両方でカウントしますが，和集合$n(A\cup B)$では１回しかカウントしないことが理由ですね．

これと同様に外測度の劣加法性の右辺$m^{*}\bra{\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}A_n}$では共通部分をまとめて外測度を考えているのに対し，左辺$\sum\limits_{n=1}^{\infty}m^{*}(A_n)$では共通部分をそれぞれの集合の外測度で考えるため，この不等式が得られるわけですね．

証明を表示

一般に$m^{*}\bra{\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}A_n}\le\infty$なので，$\sum\limits_{n=1}^{\infty}m^{*}(A_n)=\infty$のときは成り立つ．よって，以下$\sum\limits_{n=1}^{\infty}m^{*}(A_n)<\infty$のときを示す．

このとき，任意の$n$に対して$m^{*}(A_n)<\infty$が成り立つから，外測度$m^{*}(A_n)$の$\inf$の性質より

$\begin{align*} m^{*}(A_n)+\frac{\epsilon}{2^n}>\sum_{k=1}^{\infty}|I_n^{(k)}| \end{align*}$

なる右半開区間の列$\{I_n^{(k)}\}_k$が存在する．

$m^{*}(A_n)<\infty$でなければこの不等式は成り立たないので，先に$\sum_{n=1}^{\infty}m^{*}(A_n)=\infty$の場合を排除している．

このとき，$\set{I_n^{(k)}}{n,k=1,2,\dots}$を並べ替えて$\{I_{\ell}\}$と表すと$\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}A_n\subset \bigcup\limits_{\ell=1}^{\infty}I_{\ell}$が成り立つから，外測度の定義より

$\begin{align*} m^{*}\bra{\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n} \le\sum_{\ell=1}^{\infty}|I_{\ell}| \le\lim_{L\to\infty}\sum_{\ell=1}^{L}|I_{\ell}| \end{align*}$

が成り立つ．

また，任意の$\epsilon>0$, $L\in\N$に対して

$\begin{align*} \sum_{\ell=1}^{L}|I_{\ell}| \le\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty}|I_n^{(k)}| <\sum_{n=1}^{\infty}\bra{m^{*}(A_n)+\frac{\epsilon}{2^n}} =\epsilon+\sum_{n=1}^{\infty}m^{*}(A_n) \end{align*}$