上極限と下極限のイメージ｜具体例から定義と性質を理解する

実数列$\{a_n\}$に対して極限$\lim\limits_{n\to\infty}a_n$を考えることはよくありますが，極限はいつでも存在するとは限らず，これによって数列の扱いが面倒になることは少なくありません．

そこで，極限の一歩手前のものとして

上極限$\varlimsup\limits_{n\to\infty}a_n$ $\bra{\limsup\limits_{n\to\infty}a_n}$
下極限$\varliminf\limits_{n\to\infty}a_n$ $\bra{\liminf\limits_{n\to\infty}a_n}$

があり，上極限と下極限は（$\pm\infty$を許せば）いつでも存在するという良さがあります．

上極限と下極限の定義は一見してややこしそうに見えますが，具体例を考えるとイメージはすぐに理解できるでしょう．

この記事では

上極限と下極限の定義
上極限と下極限の具体例
上極限と下極限の性質

を順に説明します．

上極限と下極限
上極限と下極限の性質

上極限と下極限

まずは上極限と下極限の定義を説明し，具体例を考えます．

定義

定義のためには上限と下限が必要です．上限と下限について詳しくは以下の記事を参照してください．

微分積分学１｜最大・最小より便利な上限・下限

例えば，「５未満の実数全部の集合」には最大値は存在しませんが，「５は最大っぽい値」という気持ちはありますね，そこで，「最大値もしくは最大っぽい値」を併せて上限といい，数学では頻繁に用いられます．同様に下限も定義されます．この記事では，上限とか下限の定義と基本性質を説明しています．

実数列$\{a_n\}$に対して，

$\begin{align*} \lim\limits_{n\to\infty}\biggl(\sup_{p\ge n}a_p\biggr),\quad \lim\limits_{n\to\infty}\biggl(\inf_{p\ge n}a_p\biggr) \end{align*}$

をそれぞれ$\varlimsup\limits_{n\to\infty}a_n$, $\varliminf\limits_{n\to\infty}a_n$と表し，数列$\{a_n\}$の上（じょう）極限，下（か）極限という．

上極限の$\sup\limits_{p\ge n}a_p$は$\sup\{a_n,a_{n+1},a_{n+2},\dots\}$のことで，下極限の$\inf\limits_{p\ge n}a_p$は$\inf\{a_n,a_{n+1},a_{n+2},\dots\}$のことですね．

つまり，

$a_1$以降の上限，$a_2$以降の上限，……と続けていったときの近付き先が上極限
$a_1$以降の下限，$a_2$以降の下限，……と続けていったときの近付き先が下極限

というわけですね．

上極限を$\limsup\limits_{n\to\infty}a_n$，下極限を$\liminf\limits_{n\to\infty}a_n$と表すこともあります．

具体例１

まずは簡単な例で丁寧に上極限と下極限を求めましょう．

一般項が$a_n=\dfrac{1}{n}$の数列$\{a_n\}$の上極限と下極限を求めよ．

数列$\{a_n\}$を初項から順に書き並べると

$\begin{align*}1,\ \frac{1}{2},\ \frac{1}{3},\ \frac{1}{4},\ \frac{1}{5},\dots\end{align*}$

である．

[１]　上極限について

$\begin{align*} &\sup_{p\ge 1}a_p=1,\ \sup_{p\ge 2}a_p=\frac{1}{2},\ \sup_{p\ge 3}a_p=\frac{1}{3},\dots \end{align*}$

である．つまり，$\sup\limits_{p\ge n}a_p=\dfrac{1}{n}$なので，

$\begin{align*}\varlimsup_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\biggl(\sup_{p\ge n}a_p\biggr)=0\end{align*}$

である．

[２]　下極限について

$\begin{align*} &\inf_{p\ge 1}a_p=0,\ \inf_{p\ge 2}a_p=0,\ \inf_{p\ge 3}a_p=0,\dots \end{align*}$

である．つまり，$\inf\limits_{p\ge n}a_p=0$なので，

$\begin{align*}\varliminf_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\biggl(\inf_{p\ge n}a_p\biggr)=0\end{align*}$

である．

普通の極限$\lim\limits_{n\to\infty}a_n$も存在して$0$ですね．実は一般に

上極限と下極限がともに$\alpha\in\R$に収束すること
普通の極限が$\alpha\in\R$に収束すること

は同値です（のちに示します）．

具体例２

一般項が$a_n=(-1)^n$の数列$\{a_n\}$の上極限と下極限を求めよ．

数列$\{a_n\}$を初項から順に書き並べると

$\begin{align*}-1,\ 1,\ -1,\ 1,\ -1,\dots\end{align*}$

である．

[１]　上極限について

$\begin{align*}1=\sup_{p\ge 1}a_p=\sup_{p\ge 2}a_p=\sup_{p\ge 3}a_p=\dots\end{align*}$

となり$\sup\limits_{p\ge n}a_p=1$だから，$\varlimsup\limits_{n\to\infty}a_n=0$である．

[２]　下極限について

$\begin{align*}-1=\inf_{p\ge 1}a_p=\inf_{p\ge 2}a_p=\inf_{p\ge 3}a_p=\dots\end{align*}$

となり$\inf\limits_{p\ge n}a_p=-1$だから，$\varliminf\limits_{n\to\infty}a_n=-1$である．

普通の極限$\lim\limits_{n\to\infty}a_n$は存在しませんが，上極限と下極限は存在していますね．

冒頭でも書いたように，実数列の上極限と下極限は（$\pm\infty$を許せば）必ず存在します（のちに示します）．

具体例３

一般項が

$\begin{align*}a_n=(-1)^n\bra{1+\frac{1}{n}}\end{align*}$

の数列$\{a_n\}$の上極限と下極限を求めよ．

数列$\{a_n\}$を初項から順に書き並べると

$\begin{align*} -2,\ \frac{3}{2},\ -\frac{4}{3},\ \frac{5}{4},\ -\frac{6}{5},\ \frac{7}{6},\ -\frac{8}{7},\ \dots \end{align*}$

である．

[１]　上極限について

$\begin{align*}&\sup_{p\ge 1}a_p=\sup_{p\ge 2}a_p=\frac{3}{2}, \\&\sup_{p\ge 3}a_p=\sup_{p\ge 4}a_p=\frac{5}{4}, \\&\sup_{p\ge 5}a_p=\sup_{p\ge 6}a_p=\frac{7}{6},\dots\end{align*}$

となり，$\varlimsup\limits_{n\to\infty}a_n=1$である．

[２]　下極限について

$\begin{align*}&\inf_{p\ge 1}a_p=-2, \\&\inf_{p\ge 2}a_p=\sup_{p\ge 3}a_p=-\frac{4}{3} \\&\sup_{p\ge 4}a_p=\sup_{p\ge 5}a_p=-\frac{6}{5},\dots\end{align*}$

となり，$\varliminf\limits_{n\to\infty}a_n=-1$である．

上極限と下極限の性質

それでは，上極限と下極限の性質を説明します．

存在

以下，見やすくするため$\sup\limits_{p\ge n}a_p$を$\overline{a_n}$で表し，$\inf\limits_{p\ge n}a_p$を$\underline{a_n}$で表しましょう．

このとき，上極限は$\lim\limits_{n\to\infty}\overline{a_n}$と下極限は$\lim\limits_{n\to\infty}\underline{a_n}$と表せますね．

任意の実数列$\{a_n\}$に対して，上極限と下極限は（$\pm\infty$を許せば）常に存在する．

証明を表示

便宜上，$\pm\infty$も実数として扱うと

$\{\overline{a_n}\}$は広義単調減少な数列
$\{\underline{a_n}\}$は広義単調増加な数列

である．一般に広義単調する数列は（$\pm\infty$を許して）極限をもつから，$\lim\limits_{n\to\infty}\overline{a_n}$, $\lim\limits_{n\to\infty}\underline{a_n}$が存在する．

すなわち，上極限と下極限が存在する．

$\pm\infty$を実数に加えた集合$\R\cup\{\pm\infty\}$を拡大実数といいます．上記の証明のように（一定の規則のもとで）拡大実数上では$\pm\infty$も実数のように扱うことが正当化できます．

不等式

普通の極限と同様に次が成り立ちます．

[命題１]　実数列$\{a_n\}$と$c\in\R$について，次が成り立つ．

ある$N\in\N$が存在して，$n>N$で$c\ge a_n$なら$c\ge\varlimsup\limits_{n\to\infty}a_n$が成り立つ．
ある$N\in\N$が存在して，$n>N$で$c\le a_n$なら$c\le\varliminf\limits_{n\to\infty}a_n$が成り立つ．

証明を表示

$n>N$とする．$c\ge a_n$の両辺で上限$\sup\limits_{p\ge n}$をとって，極限$n\to\infty$をとると

$\begin{align*}c\ge\lim_{n\to\infty}\overline{a_n}=\varlimsup_{n\to\infty}a_n\end{align*}$

を得る．

同様に$c\le a_n$の両辺で下限$\inf\limits_{p\ge n}$をとって，極限$n\to\infty$をとると$c\le\varliminf\limits_{n\to\infty}a_n$が得られる．

上極限と下極限について，次は基本的な不等式です．

[命題２]　実数列$\{a_n\}$に対して，$\varlimsup\limits_{n\to\infty}a_n\ge\varliminf\limits_{n\to\infty}a_n$が成り立つ．

証明を表示

一般に実数の集合$S$に対して$\sup S\ge \inf S$が成り立つから，任意の$n\in\N$に対して

$\begin{align*}&\sup\{a_n,a_{n+1},\dots\}\ge\inf\{a_n,a_{n+1},\dots\}\iff\overline{a_n}\ge\underline{a_n}\end{align*}$

が成り立つ．よって，両辺で極限$n\to\infty$をとれば

$\begin{align*}\varlimsup\limits_{n\to\infty}a_n\ge\varliminf\limits_{n\to\infty}a_n\end{align*}$

が得られる．

極限と上極限・下極限

上極限と下極限を用いて，極限が存在するための必要十分条件を述べることができます．

実数列$\{a_n\}$に対して，次は同値である．

上極限$\varlimsup\limits_{n\to\infty}a_n$と下極限$\varliminf\limits_{n\to\infty}a_n$がともに収束して一致する
極限$\lim\limits_{n\to\infty}a_n$が存在する

証明を表示

上極限$\varlimsup\limits_{n\to\infty}a_n$と下極限$\varliminf\limits_{n\to\infty}a_n$がともに収束して一致するとき，不等式

$\begin{align*}\underline{a_n}\le a_n\le\overline{a_n}\end{align*}$

で極限$n\to\infty$をとると，はさみうちの原理から極限$\lim\limits_{n\to\infty}a_n$が存在する．

逆に極限$\lim\limits_{n\to\infty}a_n$が存在するとする．$\alpha:=\lim\limits_{n\to\infty}a_n$とし，任意に$\epsilon>0$をとる．

このとき，ある$N\in\N$が存在して，

$\begin{align*}n>N\Ra \alpha-\epsilon<a_n<\alpha+\epsilon\end{align*}$

が成り立つ．よって，先ほどの[命題１]から

$\begin{align*}\varliminf\limits_{n\to\infty}a_n\ge\alpha-\epsilon,\quad \varlimsup_{n\to\infty}a_n\le\alpha+\epsilon\end{align*}$

が成り立つから

$\begin{align*}\varlimsup\limits_{n\to\infty}a_n-\varliminf\limits_{n\to\infty}a_n\le2\epsilon\end{align*}$

を得る．

また，先ほどの[命題２]より$0\le\varlimsup\limits_{n\to\infty}a_n-\varliminf\limits_{n\to\infty}a_n$であることを併せると，$\epsilon$の任意性より$\varlimsup\limits_{n\to\infty}a_n=\varliminf\limits_{n\to\infty}a_n$が成り立つ．

この証明から，さらに次が成り立つことまで言えますね．

実数列$\{a_n\}$と$\alpha\in\R$に対して，次は同値である．