上極限limsupと下極限liminfの定義・性質を例題から理解する

実数列$\{a_n\}$に対して極限$\lim\limits_{n\to\infty}a_n$を考えることはよくありますが，実数列はいつでも収束するとは限らないのでした．

そこで，極限の一歩手前のものとして上極限$\limsup\limits_{n\to\infty}a_n$と下極限$\liminf\limits_{n\to\infty}a_n$を考えることがよくあり，普通の極限とは違って上極限と下極限は（$\pm\infty$を許せば）いつでも存在するという良さがあります．

上極限と下極限の定義は一見ややこしそうに見えますが，具体例を考えるとイメージを掴みやすいです．

この記事では

上極限と下極限の考え方
上極限と下極限の定義と具体例
上極限と下極限の性質

を順に説明します．

上極限と下極限の考え方
1. 上極限の考え方
2. 下極限の考え方
上極限と下極限の定義と具体例
上極限と下極限の性質
参考文献
1. 解析入門
2. 微分積分学

上極限と下極限の考え方

まずは一般項が$a_n=\dfrac{1}{n}$の実数列$\{a_n\}$を考えましょう．この数列$\{a_n\}$を初項から順に書き並べると

$\begin{align*}1,\ \frac{1}{2},\ \frac{1}{3},\ \frac{1}{4},\ \frac{1}{5},\dots\end{align*}$

となっていますね．

上極限の考え方

この実数列$\{a_n\}$に対して，

集合$\{a_1,a_2,a_3,\dots\}$
集合$\{a_2,a_3,a_4,\dots\}$
集合$\{a_3,a_4,a_5,\dots\}$

の上限$\sup$はそれぞれ

$\begin{align*}\sup\{a_1,a_2,a_3,\dots\}=&\sup\brb{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\dots}=1, \\\sup\{a_2,a_3,a_4,\dots\}=&\sup\brb{\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\dots}=\frac{1}{2}, \\\sup\{a_3,a_4,a_5,\dots\}=&\sup\brb{\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5},\dots}=\frac{1}{3}\end{align*}$

ですね．このように，$\{a_n,a_{n+1},a_{n+2},\dots\}$の上限$\sup$を追いかけていくと，

$\begin{align*}\lim_{n\to\infty}\sup\{a_n,a_{n+1},a_{n+2},\dots\}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0\end{align*}$

となります．このように，$a_1$から項を少なくしていったときの$\sup\{a_n,a_{n+1},a_{n+2},\dots\}$の近付き先を実数列$\{a_n\}$の上極限といいます．

下極限の考え方

下極限は上極限の下限バージョンです．つまり，この実数列$\{a_n\}$に対して，

集合$\{a_1,a_2,a_3,\dots\}$
集合$\{a_2,a_3,a_4,\dots\}$
集合$\{a_3,a_4,a_5,\dots\}$

の下限$\inf$はそれぞれ

$\begin{align*}\sup\{a_1,a_2,a_3,\dots\}=&\sup\brb{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\dots}=0, \\\sup\{a_2,a_3,a_4,\dots\}=&\sup\brb{\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\dots}=0, \\\sup\{a_3,a_4,a_5,\dots\}=&\sup\brb{\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5},\dots}=0\end{align*}$

ですね．このように$\{a_n,a_{n+1},a_{n+2},\dots\}$の下限$\inf$を追いかけていくと，

$\begin{align*}\lim_{n\to\infty}\inf\{a_n,a_{n+1},a_{n+2},\dots\}=&\lim_{n\to\infty}0=0\end{align*}$

となります．このように，$a_1$から項を少なくしていったときの$\inf\{a_n,a_{n+1},a_{n+2},\dots\}$の近付き先を実数列$\{a_n\}$の下極限といいます．

上極限と下極限の定義と具体例

いまの上極限，下極限を一般の場合にきちんと定義して，具体例を考えましょう．

定義

実数列$\{a_n\}$に対して，

$\begin{align*}\lim\limits_{n\to\infty}\Bigl(\sup_{p\ge n}a_p\Bigr),\quad \lim\limits_{n\to\infty}\Bigl(\inf_{p\ge n}a_p\Bigr)\end{align*}$

をそれぞれ実数列$\{a_n\}$の上（じょう）極限，下（か）極限といい，$\varlimsup\limits_{n\to\infty}a_n$, $\varliminf\limits_{n\to\infty}a_n$と表す．

上極限を$\limsup\limits_{n\to\infty}a_n$，下極限を$\liminf\limits_{n\to\infty}a_n$と表すこともある．

つまり，

$a_1$以降の上限，$a_2$以降の上限，……と続けていったときの近付き先が上極限$\varlimsup\limits_{n\to\infty}a_n$
$a_1$以降の下限，$a_2$以降の下限，……と続けていったときの近付き先が下極限$\varliminf\limits_{n\to\infty}a_n$

というわけですね．

いくつか具体例を考えましょう．

例１

一般項が$a_n=(-1)^n$の数列$\{a_n\}$の上極限と下極限を求めよ．

数列$\{a_n\}$を初項から順に書き並べると

$\begin{align*}-1,\ 1,\ -1,\ 1,\ -1,\dots\end{align*}$

である．

［上極限］

$\begin{align*}1=\sup_{p\ge 1}a_p=\sup_{p\ge 2}a_p=\sup_{p\ge 3}a_p=\dots\end{align*}$

となり$\sup\limits_{p\ge n}a_p=1$だから，$\varlimsup\limits_{n\to\infty}a_n=1$である．

［下極限］

$\begin{align*}-1=\inf_{p\ge 1}a_p=\inf_{p\ge 2}a_p=\inf_{p\ge 3}a_p=\dots\end{align*}$

となり$\inf\limits_{p\ge n}a_p=-1$だから，$\varliminf\limits_{n\to\infty}a_n=-1$である．

普通の極限$\lim\limits_{n\to\infty}a_n$は存在しませんが，上極限と下極限は存在していますね．

冒頭でも書いたように，実数列の上極限と下極限は（$\pm\infty$を許せば）必ず存在します（のちに示します）．

例２

一般項が

$\begin{align*}a_n=(-1)^n\bra{1+\frac{1}{n}}\end{align*}$

の数列$\{a_n\}$の上極限と下極限を求めよ．

数列$\{a_n\}$を初項から順に書き並べると

$\begin{align*}-2,\ \frac{3}{2},\ -\frac{4}{3},\ \frac{5}{4},\ -\frac{6}{5},\ \frac{7}{6},\ -\frac{8}{7},\ \dots\end{align*}$

である．

［上極限］

$\begin{align*}&\sup_{p\ge 1}a_p=\sup_{p\ge 2}a_p=\frac{3}{2}, \\&\sup_{p\ge 3}a_p=\sup_{p\ge 4}a_p=\frac{5}{4}, \\&\sup_{p\ge 5}a_p=\sup_{p\ge 6}a_p=\frac{7}{6},\dots\end{align*}$

となり，$\varlimsup\limits_{n\to\infty}a_n=1$である．

［下極限］

$\begin{align*}&\inf_{p\ge 1}a_p=-2, \\&\inf_{p\ge 2}a_p=\inf_{p\ge 3}a_p=-\frac{4}{3} \\&\inf_{p\ge 4}a_p=\inf_{p\ge 5}a_p=-\frac{6}{5},\dots\end{align*}$

となり，$\varliminf\limits_{n\to\infty}a_n=-1$である．

上極限と下極限の性質

それでは，上極限と下極限の性質を説明します．

以下，見やすくするため$\sup\limits_{p\ge n}a_p$を$\overline{a_n}$で表し，$\inf\limits_{p\ge n}a_p$を$\underline{a_n}$で表しましょう．

このとき，上極限は$\lim\limits_{n\to\infty}\overline{a_n}$と下極限は$\lim\limits_{n\to\infty}\underline{a_n}$と表せますね．

存在

任意の実数列$\{a_n\}$に対して，上極限と下極限は（$\pm\infty$を許せば）常に存在する．

便宜上，$\pm\infty$も実数のように扱うと

$\{\overline{a_n}\}$は広義単調減少な数列
$\{\underline{a_n}\}$は広義単調増加な数列

である．一般に広義単調な数列は（$\pm\infty$を許して）極限をもつから，$\lim\limits_{n\to\infty}\overline{a_n}$, $\lim\limits_{n\to\infty}\underline{a_n}$が存在する．

すなわち，上極限と下極限が存在する．

$\pm\infty$を実数に加えた集合$\R\cup\{\pm\infty\}$を拡大実数といいます．拡大実数上では$\pm\infty$も実数のように扱うことができ，上記の証明も正当化できます．

不等式

普通の極限と同様に次が成り立ちます．

［命題１］実数列$\{a_n\}$と$c\in\R$について，次が成り立つ．

ある$N\in\N$が存在して，$n>N$で$c\ge a_n$なら$c\ge\varlimsup\limits_{n\to\infty}a_n$が成り立つ．
ある$N\in\N$が存在して，$n>N$で$c\le a_n$なら$c\le\varliminf\limits_{n\to\infty}a_n$が成り立つ．

$n>N$とする．$c\ge a_n$の両辺で上限$\sup\limits_{p\ge n}$をとって，極限$n\to\infty$をとると

$\begin{align*}c\ge\lim_{n\to\infty}\overline{a_n}=\varlimsup_{n\to\infty}a_n\end{align*}$

を得る．

同様に$c\le a_n$の両辺で下限$\inf\limits_{p\ge n}$をとって，極限$n\to\infty$をとると$c\le\varliminf\limits_{n\to\infty}a_n$が得られる．

上極限と下極限について，次は基本的な不等式です．

［命題２］実数列$\{a_n\}$に対して，$\varlimsup\limits_{n\to\infty}a_n\ge\varliminf\limits_{n\to\infty}a_n$が成り立つ．

一般に実数の集合$S$に対して$\sup S\ge \inf S$が成り立つから，任意の$n\in\N$に対して

$\begin{align*}&\sup\{a_n,a_{n+1},\dots\}\ge\inf\{a_n,a_{n+1},\dots\}\iff\overline{a_n}\ge\underline{a_n}\end{align*}$

が成り立つ．よって，両辺で極限$n\to\infty$をとれば

$\begin{align*}\varlimsup\limits_{n\to\infty}a_n\ge\varliminf\limits_{n\to\infty}a_n\end{align*}$

が得られる．

極限と上極限・下極限

上極限と下極限を用いて，極限が存在するための必要十分条件を述べることができます．

実数列$\{a_n\}$に対して，次は同値である．

上極限$\varlimsup\limits_{n\to\infty}a_n$と下極限$\varliminf\limits_{n\to\infty}a_n$がともに収束して一致する
極限$\lim\limits_{n\to\infty}a_n$が存在する

上極限$\varlimsup\limits_{n\to\infty}a_n$と下極限$\varliminf\limits_{n\to\infty}a_n$がともに収束して一致するとき，不等式

$\begin{align*}\underline{a_n}\le a_n\le\overline{a_n}\end{align*}$

で極限$n\to\infty$をとると，はさみうちの原理から極限$\lim\limits_{n\to\infty}a_n$が存在する．

逆に極限$\lim\limits_{n\to\infty}a_n$が存在するとする．$\alpha:=\lim\limits_{n\to\infty}a_n$とし，任意に$\epsilon>0$をとる．

このとき，ある$N\in\N$が存在して，

$\begin{align*}n>N\Ra \alpha-\epsilon<a_n<\alpha+\epsilon\end{align*}$

が成り立つ．よって，先ほどの[命題１]から

$\begin{align*}\varliminf\limits_{n\to\infty}a_n\ge\alpha-\epsilon,\quad \varlimsup_{n\to\infty}a_n\le\alpha+\epsilon\end{align*}$

が成り立つから

$\begin{align*}\varlimsup\limits_{n\to\infty}a_n-\varliminf\limits_{n\to\infty}a_n\le2\epsilon\end{align*}$

を得る．

また，先ほどの[命題２]より$0\le\varlimsup\limits_{n\to\infty}a_n-\varliminf\limits_{n\to\infty}a_n$であることを併せると，$\epsilon$の任意性より$\varlimsup\limits_{n\to\infty}a_n=\varliminf\limits_{n\to\infty}a_n$が成り立つ．

この証明から，さらに次が成り立つことまで言えますね．

実数列$\{a_n\}$と$\alpha\in\R$に対して，次は同値である．