ルベーグ積分の基本

２変数関数fに対してF(t)=∫f(x,t)dxで定まる関数Fを微分するとき，微分と積分の順序交換をしたいことがよくあります．ルベーグの収束定理を用いることで，微分と積分の順序交換ができるための条件を導くことができます．

有界閉区間上の有界関数fがリーマン積分可能なら，fはルベーグ積分可能であり，リーマン積分とルベーグ積分が等しいことが証明できます．また，有界閉区間上でない積分にも応用できることがあります．

ルベーグ積分は極限と相性が良く，その中でも積分と極限が順序交換であることを保証する「ルベーグの優収束定理」は非常に便利で広く用いられます．この記事ではルベーグの優収束定理の使い方を例題をもとに解説し，定理の証明をします．

下極限とルベーグ積分の交換に関する定理として「ファトゥの補題」があります．ファトゥの補題は極限の発散の証明に便利であったり，ルベーグの収束定理を証明する際に鍵となる定理です．

可測集合A上の広義単調増加する非負値可測単関数列{fₙ}が各点収束するとき，{fₙ}はA上で項別積分可能です．この記事では，この「単関数列の項別積分定理」の考え方・応用・証明を解説します．

可測集合A上の広義単調増加する非負値可測単関数列{fₙ}が各点収束するとき，{fₙ}はA上で項別積分可能です．この記事では，この「単関数列の項別積分定理」の考え方・応用・証明を解説します．

非負値可測関数に対してルベーグ積分の性質から，一般の可測関数のルベーグ積分でも同様の性質が成り立つことが多いです．この記事では，非負値可測関数の性質を中心に，ルベーグ積分の基本性質を証明します．

可測単関数にルベーグ積分は簡単に定義でき，非負可測関数fは非負可測単関数列{fₙ}でしたから近似できることを踏まえて，この記事では一般の可測関数にルベーグ積分を定義します．

ルベーグ可測関数は単関数で近似することができ，ルベーグ積分はこの事実をもとに定義されます．この記事では，ルベーグ積分の定義のために「可測関数の単関数近似定理」を説明します．

ルベーグ可測関数のルベーグ積分の考え方を理解する前に，先に「単関数」と呼ばれる関数のルベーグ積分を考えておくと見通しが良くなります．この記事では，具体例を踏まえて可測単関数のルベーグ積分を説明します．